Prova de Conhecimentos Específicos. 1 a QUESTÃO: (1,5 ponto) PROAC / COSEAC - Gabarito. Considere a função f definida por. f(x)=.

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Aurélio Bacelar Vieira
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1 Prova d Conhcimntos Espcíficos 1 a QUESTÃO: (1,5 ponto) Considr a função f dfinida por Dtrmin: -x f(x). a) as quaçõs das assíntotas horizontais vrticais, caso xistam; b) as coordnadas dos pontos d máximo mínimo locais, caso xistam; c) as coordnadas dos pontos d inflxão, caso xistam; d) um sboço do gráfico d f, considrando os lmntos obtidos nos itns a, b, c. -x y a) assíntotas vrticais não há, pois o domínio da função é. assíntotas horizontais: x x lim 0 lim x + x (a função é par) y 0 é assíntota horizontal -x x b) y y' x y' 0 s x 0 s x < 0 y' > 0 ycrscnt s x > 0 y' < 0 ydcrscnt (0, 1) é ponto d máximo local; não tm ponto d mínimo local.. x x x c) y" + x x ( 1+ x ) 1 y" 0 x 1 x x ± 1 1,, são as coord. dos pontos d inflxão y d) 1/ - 1/ V V X 1

2 a QUESTÃO: (1,5 ponto) Calcul 0 xdx 4 x π / xdx 4sn θ.cosθ dθ 4 x 4 4sn θ 0 0 x sn θ dx cos θ d θ x 0 θ 0 x θ π π / 4 8 sn 0 1 sn θ θ cosθ dθ π / π / 4 (1 cos ) 0 0 sn θdθ θ dθ cos θ + sn θ 1 cos θ sn θ cos θ snθ θ π π π / 0 sn θ 1 cos θ

3 3 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Mostr qu a função z ln(x + y ) satisfaz à quação d Laplac: z z + 0 x y. z ln(x + y ) z x z ( x + y ) x.x ( y x ) ; x x + y x ( x + y ) ( x + y ) z y z ( x + y ) y.y ( x y ) ; y x + y y ( x + y ) ( x + y ) Logo, z z y x + x y + 0 x y ( x + y ) 3

4 4 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Considr a matriz A Dtrmin: a) A T ; b) dt A; c) A 1, caso xista. A a) A T b) dt A ( 1) c) Como dt A 0 xist A / 1/ / 5/ i) L 1 L 1 ; L 1 x (5) + L L iii) L 3 x L 3 ; ii) L x ( 1) + L 3 L 3 L 3 + L 1 L 1 L 3 x ( 5) + L L 1 0 1/ 1/ / 5/ / 5/ Logo: A

5 5 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Um garoto, com uma pdra, qur atingir o macaco qu stá pndurado no galho d uma árvor. A distância horizontal ntr o garoto o macaco é d 6,0 m. O garoto lança a pdra apontando dirtamnt para o animal, com uma vlocidad inicial d 10 m/s fazndo um ângulo d 53 o com a horizontal. No instant m qu a pdra é lançada, o macaco larga o galho, caindo vrticalmnt. Considr dsprzívl a rsistência do ar g 10 m/s. Dados: sn 53 o 0,80; cos 53 o 0,60 v o Nsta situação, o macaco srá atingido pla pdra? Em caso ngativo, a pdra passará por cima ou por baixo do macaco? Justifiqu sua rsposta por mio d cálculos. macaco t 0 h H v o t v oy y pdra: x v ox. t v o cosθ. t 6 t 1s 10x0,6 v ox t 0 pdra x y v oy. t - 1 gt y 8 x 1-1 x 10 x 1 y 3 m v oy v o. snθ 10 x 0,8 8m/s macaco: tgθ snθ 0,8 4 H 4 tg θ H 6 x 8 m cosθ 0,6 3 x 3 h 1 gt h 1 x 10 x 1 5 m H h m No instant t 1 s, tanto a pdra quanto o macaco stão a 3m do solo. Portanto l srá atingido pla pdra nst instant. 5

6 6 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Um bald com água, prso a uma corda d pso dsprzívl, gira no sntido anti-horário numa circunfrência vrtical d raio R. A massa d água dntro do bald é m a vlocidad do conjunto no ponto mais alto da trajtória é v. Considrando st ponto: a) faça um dsnho indicando a dirção sntido das forças xrcidas sobr a água, idntificando o agnt qu xrc cada uma dlas; b) dtrmin o módulo da força xrcida plo bald sobr a água. a) F água F : Força xrcida plo bald P : pso; ação gravitacional xrcida pla Trra v b) F + P Fc P F + mg v m R F v m R - mg F v m g R 6

7 7 a QUESTÃO: (1,0 ponto) A figura mostra um pquno bloco d massa 0,50 kg abandonado, a partir do rpouso, do ponto A d uma rampa. Embora no trcho AB da rampa o atrito sja dsprzívl, no trcho horizontal BC, dv sr considrado. Ao ntrar m contato com a mola idal, d constant lástica igual a 1,5 x 10 N/m, o bloco provoca uma dformação máxima d 0 cm na mola, atingindo, ntão, o ponto C. A Dado: g 10 m/s 0,80m Pd-s: B,0 m C a) a nrgia cinética do bloco ao atingir o ponto B pla primira vz; b) a nrgia dissipada por atrito no trcho BC; c) vrificar s, após atingir a mola pla primira vz, o bloco, ao rtornar, ultrapassa o ponto B. a) E E E mgh 0,5 x 10 x 0,8 4,0J C P C A B A B b) 1 E Dis E C E B l 4 x 1,5 x 10 x 4 x ,0J C c) Ultrapassa, pois a nrgia do sistma massa-mola é 3,0 J (4 J 1 J), maior do qu a nrgia dissipada dvido ao atrito no trcho CB(1,0 J) 7

8 8 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Uma bóia cilíndrica flutua numa piscina, mantndo suas bass parallas à suprfíci da água. A ára da sção rta da bóia é 0,50 m. S um homm com massa d 90 kg ficar m pé sobr a bóia, quantos cntímtros la afundará? Dados: µágua 1,0 x 10 3 kg/m 3 g 10 m/s ants dpois ants Bóia dpois F P H Bóia h 1 P B PB P B h E 1 E P 1 B E EP + P B H E E 1 + P H P H E E 1 m.gvìg V.ì.g H s l s l m g (V H m S(h 1 V ) ì.g s s l 1 H 1 l m 90 h h h h H S.ì l 0,5 x10 1 h).ì 3 h h 180x10 18x10 m A bóia afundará 18 cm 8

9 9 a QUESTÃO: (1,0 ponto) Um mol d gás idal, a 0,0 o C, sofr uma transformação isotérmica d A B, conform mostra abaixo o diagrama prssão x volum. Dados: R 8,31 J/mol.K ln 0,693 p A p A isotrma p B p A B V A V B V A V Para sta transformação, calcul: a) o trabalho ralizado plo gás; b) a variação da nrgia intrna do gás; c) a quantidad d calor forncida ao gás. a) dw p.dv p nrt V W nrt p.dv dv nrt V VB VB VB VA VA VA dv V W n R T V n V B l W 1 x 8,31 x 93 x ln A V A V A W 8,31 x 93 x 0,693 W 1,69 x 10 3 J b) transformação isotérmica: T constant U 0 c) Q W U U 0 Q W Q 1,69 x 10 3 J 9

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