UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE FÍSICA FÍSICA III (FIM230) /1 GABARITO DA PROVA FINAL UNIFICADA DATA: 03/07/2009

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Ruth Antas Sales
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE FÍSICA FÍSICA III (FIM230) - 2009/1 GABARITO DA PROVA FINAL UNIFICADA DATA: 03/07/2009 PROBLEMA 1 (Cilindros coaxiais) [ 2,5 ponto(s)] Um cilindro

mostrado m sção transvrsal na figura ao lado. Os dois cilindros possum o msmo ixo d simtria. (a) Dtrmin o valor das cargas nas suprfícis intrna xtrna do cilindro oco.

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO INSTITUTO DE FÍSICA FÍSICA III (FIM230) /1 GABARITO DA PROVA FINAL UNIFICADA DATA: 03/07/2009 PROBLEMA 1 (Cilindros coaxiais) [ 2,5 ponto(s)] Um cilindro condutor maciço muito longo, d comprimnto L, com uma carga positiva total + é compltamnt nvolvido por um cilindro oco condutor, d msmo comprimnto, u tamém possui uma carga positiva total +, como é mostrado m sção transvrsal na figura ao lado. Os dois cilindros possum o msmo ixo d simtria. (a) Dtrmin o valor das cargas nas suprfícis intrna xtrna do cilindro oco. [0,5 ponto] () Otnha a xprssão vtorial do campo létrico na rgião situada ntr os dois cilindros, indicando num diagrama sua orintação a suprfíci gaussiana utilizada. [1,0 ponto] (c) Calcul a difrnça d potncial ntr os dois cilindros. [1,0 ponto] Rsolução (a) Sor toda a suprfíci gaussiana cilíndrica númro 1, o campo létrico é nulo, por situar-s no intrior d um condutor m uilírio ltrostático. Então: E d A = dntro (1) Por consrvação da carga: int + xt = +. Então: xt = + int = + ( ) = +2 0 d A = dntro (2) 0 = (+) + ( int ) (3) int = (4) () Sor toda a suprfíci gaussiana cilíndrica númro 2, o vtor campo létrico é radial orintado como mostrado na Figura. Por simtria, su módulo é o msmo m todos os pontos dssa suprfíci. Então: E da = EdAcos(0) = E da = + (5) E.2πrL = + (6) E(r) = + 2π Lr (7) 1

2 Vtorialmnt: E(r) = + ˆr () 2π Lr (c) a a V (a) V () = E dl = + 2π Lr ˆr dl = 2π L V (a) V () = + 2π L ln a a dr r = 2π L ln a (9) (10) PROBLEMA 2 (Potncial Elétrico) [ 2,5 ponto(s)] Considr uma coroa circular, d raio intrno a raio xtrno (cf.figura aaixo), com uma carga total uniformmnt distriuída m sua suprfíci. Dtrmin o potncial ltrostático no cntro P da coroa, tomandoo como zro no infinito. Rsolução A dnsidad suprficial d cargas na coroa srá dada por σ = π( 2 a 2 ) (11) d = σds = σ2πrdr (12) Para dtrminarmos o potncial létrico da coroa, usamos o potncial létrico d uma carga pontual intgramos na coroa. V P = 1 d 4πε 0 r = 1 σ2πdr = σ ( a) = (13) 4πε 0 2ε 0 2πε 0 ( + a) a 2

3 PROBLEMA 3 (Espira como part d uma coroa circular) [ 2,0 ponto(s)] Uma corrnt létrica I passa por uma spira condutora formada por dois arcos d circunfrência d raios a (a < ) dois sgmntos rtilínos prpndiculars a sss arcos, u fazm um ângulo d π/2 ntr si, conform mostra a figura ao lado. As stas na spira indicam o sntido da corrnt. Dtrmin o campo magnético B (módulo, dirção sntido) no ponto P, u coincid com o cntro dos dois arcos. Rsolução Vamos sparar a spira m uatro parts dtrminar o campo magnético criado por cada uma das parts, utilizando a li d Biot Savart db( r) = µ 0 i d l û 4π r r 2, (14) com û = r r r r. (15) Dpois, usando o Princípio da Suprposição, trmos u o campo magnético B srá a soma dos uatro campos dtrminados. Da figura acima vmos u, como o ponto P s ncontra na origm do sistma d ixos, r = 0. Part 1 sgmnto rtilíno sor o ixo x: Nst caso, o produto vtorial srá Logo i d l = I dx î, (16) û = î (17) id l û = 0 (1) B 1 = 0. (19) Part 2 arco d circunfrência d raio a: Nst caso, o produto vtorial srá Então i d l = I a dφ ˆφ = I a dφ( sin φ î + cosφ ĵ), (20) û = ˆρ = cosφ î sin φ ĵ, (21) i d l û = I a dφ(sin 2 φ + cos 2 φ) ˆk = I a dφ ˆk. (22) B 2 = r r 2 = a 2. (23) db 2 = µ 0 I a dφ ˆk (24) 4π a 2 π/2 0 d B 2 = µ 0 I aˆk (25) 3

4 Part 3 sgmnto rtilíno sor o ixo y: Nst caso, o produto vtorial srá Logo i d l = I dy ĵ, (26) û = ĵ (27) i d l û = 0 (2) B 3 = 0. (29) Part 4 arco d circunfrência d raio : Nst caso, o produto vtorial srá Então i d l = I dφ ˆφ = I dφ(sin φ î cosφ ĵ), (30) û = ˆρ = cosφ î sin φ ĵ, (31) i d l û = I dφ(sin 2 φ + cos 2 φ) ˆk = I dφ ˆk. (32) B 4 = r r 2 = 2. (33) db 4 = µ 0 I dφ ˆk (34) 4π 2 π/2 Somando os uatro campos magnéticos trmos u B = µ 0 (I a I )ˆk = µ 0 0 d B 4 = µ 0 I ˆk (35) I( a) ˆk (36) a PROBLEMA 4 (Bastão dslizant) [ 2,5 ponto(s)] A figura ao lado mostra um astão d comprimnto L u s mov com vlocidad constant v ao longo d trilhos condutors horizontais fixos, d modo u a forma da spira s mantnha rtangular. Ess sistma stá imrso m um campo magnético grado por uma corrnt I u prcorr um longo fio rtilíno parallo aos trilhos, no msmo plano do astão afastado dos trilhos d uma distância. A rsistência do astão é R a rsistência dos trilhos é dsprzívl Samos u o módulo do campo magnético grado por uma corrnt rtilína infinita é dado por B(r) = µ 0 i/(2πr), ond r é a distância do fio ao ponto considrado.. (a) Dtrmin o fluxo magnético através dsta spira. [1,5 ponto] 4

5 () Dtrmin a intnsidad da corrnt induzida I na spira condutora, dsprzando sua auto-indutância, indiu o sntido d tal corrnt.[1,0 ponto] Rsolução (a) Para dtrminarmos o fluxo magnético pla spira prcisamos sar a o sntido a dirção do campo magnético B grado pla corrnt no fio. No plano dfinido pla spira podmos dizr u Escolhndo o vtor normal a suprfíci da spira no sntido d ẑ, trmos : () Φ B = B d S = x0+l I = E R = 1 dφ R dt = µ 0i 2πR ln B = µ 0i (37) 2πxẑ. µ 0 i 2πx dx [ x0 + L dy = µ 0i 2π ln [ x0 + L ] y(t) (3) ] dy dt = µ ] 0i [1 2πR ln + Lx0 v (39) com o sinal ngativo indicando u a corrnt circula no sntido contrário ao scolhido para a circulação. Isto é, a corrnt circula no sntido horário na spira. 5

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