CIRCUITOS EM REGIME SINUSOIDAL

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1 Tmática Circuitos léctricos Capítulo gim Sinusoidal CCUTOS G SNUSODAL NTODUÇÃO Nst capítulo, analisa-s o rgim prmannt m circuitos alimntados m corrnt altrnada. Dduzm-s as quaçõs caractrísticas dos lmntos idais, L C m trmos d amplituds complxas aprsnta-s o concito d impdância complxa. São analisados os circuitos L séri C séri, dtrminando-s as tnsõs corrnts plo método das amplituds complxas. Gnraliza-s para a associação d impdâncias, as xprssõs dduzidas para a associação d rsistências. Pré-rquisitos: Grandzas Sinusoidais Nivl : Bass d ngnharia lctrotécnica Duração stimada: 30 minutos Autor: aria José snd alização: Sophi Labriqu st projcto é financiado pla União uropia no âmbito d uma acção Sócrats-inrva. As informaçõs nl contidas são da xclusiva rsponsabilidad dos sus autors. A União uropia dclina toda a rsponsabilidad rlativamnt ao su uso.

2 . LNTOS DAS SSTÊNCA Considr-s uma rsistência cujos sntidos d rfrência para a tnsão corrnt s ncontram rprsntados na figura sguint. i u Admitindo qu a corrnt qu prcorr a rsistência é altrnada sinusoidal rprsntada pla xprssão: i sin ( + ϕ) através da quação caractrística da rsistência, u i é possívl dtrminar a tnsão aos sus trminais: u i( t) sin ( + ϕ) U sin ( + ϕ) A tnsão aos trminais da rsistência também é uma grandza altrnada sinusoidal d frquência angular ω, stá m fas com i (t) aprsnta uma amplitud dada por. m notação complxa, o vctor girant rprsntativo d i (t) é: ( ) t, através da quação caractrística, o vctor girant da tnsão, U (t) srá: U ( ) t U O vctor girant da tnsão aprsnta a msma frquência angular d (t) é colinar com st; obtém-s u (t) fazndo a projcção dst vctor sobr o ixo dos maginários. Numa rsistência, a tnsão aos sus trminais a corrnt qu a prcorr stão m fas. A figura sguint rprsnta a volução tmporal o diagrama vctorial da tnsão corrnt aos trminais da rsistência.

3 NDUTÂNCA Considr-s uma indutância cujos sntidos d rfrência para a tnsão a corrnt s ncontram rprsntados na figura sguint. i L u Admitindo qu a corrnt qu prcorr a indutância é altrnada sinusoidal rprsntada pla xprssão: i sin ( + ϕ) di através da quação caractrística da indutância, u L é possívl dtrminar a tnsão aos sus dt trminais: d u( t) L [ sin ( + ϕ) ] dt ωl sin ( + ϕ + ) U sin ( + ϕ + ) A tnsão aos trminais da indutância também é uma grandza altrnada sinusoidal d frquência angular ω, stá avançada rlativamnt i (t) aprsnta uma amplitud d ω L. m notação complxa, o vctor girant rprsntativo d i (t) é: 3

4 , através da quação caractrística, o vctor girant da tnsão, U (t) srá: d U L [ ] dt j ω L +ϕ+ ) ωl +ϕ+ ) U O vctor girant da tnsão aprsnta a msma frquência angular d (t) stá avançado rlativamnt a st; obtém-s (t) u fazndo a projcção dst vctor sobr o ixo dos maginários. A figura sguint rprsnta a volução tmporal o diagrama vctorial da tnsão corrnt aos trminais da rsistência. CAPACDAD Considr-s uma capacidad cujos sntidos d rfrência para a tnsão corrnt s ncontram rprsntados na figura sguint. i C u 4

5 Admitindo qu a corrnt qu prcorr a indutância é altrnada sinusoidal rprsntada pla xprssão: i sin ( + ϕ) através da quação caractrística da capacidad, trminais: du i C é possívl dtrminar a tnsão aos sus dt u( t) [ sin ( + ϕ) ] dt C sin ( + ϕ ) sin ( + ϕ ) A tnsão aos trminais da capacidad também é uma grandza altrnada sinusoidal d frquência angular ω, stá atrasada rlativamnt i (t) aprsnta uma amplitud d ω C. m notação complxa, o vctor girant rprsntativo d i (t) é:, através da quação caractrística, o vctor girant da tnsão, U (t) srá: U [ ] dt C j +ϕ ) +ϕ ) U O vctor girant da tnsão aprsnta a msma frquência angular d (t) stá atrasado rlativamnt a st; obtém-s u (t) fazndo a projcção dst vctor sobr o ixo dos maginários. A figura sguint rprsnta a volução tmporal o diagrama vctorial da tnsão corrnt aos trminais da rsistência. 5

6 . CONCTO D PDÂNCA COPLXA Através da notação complxa admitindo qu o vctor girant da corrnt qu prcorria cada um dos lmntos ra rprsntado pla xprssão: obtivram-s, na scção antrior as sguints xprssõs para os vctors girants das tnsõs, rspctivamnt, na rsistência, indutância capacidad: sistência ndutância Capacidad U j U j ω L U Atndndo à xprssão d (t), as xprssõs antriors podm rscrvr-s na forma: sistência ndutância Capacidad U U j ω L U j Dfin-s impdância complxa, Z, a razão ntr os vctors girants da tnsão da corrnt: 6

7 U Z xplicitando a impdância complxa d cada um dos lmntos, L C, obtém-s: sistência ndutância Capacidad j0 j Z L j ω L ω L Z Z C j j Uma impdância complxa xprssa-s m Ohm [ Ω ] Pod rprsntar-s vctorialmnt as impdâncias as amplituds complxas d cada um dos lmntos. sistência ndutância Capacidad Z L (t) (t) U (t) Z U (t) U (t) (t) Z C Not-s qu a impdância não é um vctor girant, pois não stá a rprsntar qualqur grandza altrnada sinusoidal. Salint-s, também, o facto d as impdâncias das indutâncias dos condnsadors s altrar com a frquência d alimntação do circuito, contrariamnt ao qu acontc com a impdância da rsistência Como a tnsão a corrnt aos trminais d um lmnto oscilam com a msma frquência ω, o j t trmo ω pod sr suprimido das quaçõs caractrísticas dos lmntos scritas m notação vctorial, simplificando-s a notação. As quaçõs ficarão scritas, não m trmos d vctors girants, mas sim d amplituds complxas, isto é, a rprsntação do vctor girant no instant t 0. sistência ndutância Capacidad U Z L Z L L U U Z C C C 7

8 3. CCUTO L SÉ Considr-s o circuito L séri alimntado por uma font d tnsão altrnada sinusoidal cuja tnsão é dscrita pla xprssão sin ( ) i u ( t ) (t) L u L ( t ) Figura squma do circuito L séri Conhcidos os valors d L, prtnd dtrminar-s o rgim prmannt da volução tmporal da corrnt no circuito, i (t), das tnsõs aos trminais da rsistência, u (t), da indutância, u L (t). Através da Li das alhas, a soma da tnsão aos trminais da rsistência, com a tnsão aos trminais da bobin, igualará a tnsão da font: u + ul m trmos d amplituds complxas a xprssão antrior scrv-s: ond + jωl ( + jωl) + jωl rprsnta a impdância complxa da rsistência m séri com a indutância. xplicitando na xprssão antrior, obtém-s: jϕ com + ( ωl) ωl ϕ arctan 0 < ϕ < O diagrama vctorial da impdância, amplituds complxas da tnsão da font corrnt, stá rprsntado na figura sguint. m Z T + jωl Z L jωl ϕ Z Figura Diagrama vctorial 8

9 Uma vz dtrminada a corrnt, é imdiato o cálculo das tnsõs aos trminais dos lmntos: A amplitud complxa stão m fas. U + ( ωl) jϕ U é colinar com, isto é, tnsão corrnt aos trminais da rsistência, lativamnt à tnsão aos trminais da bobin, tm-s: U L jωl ωl + ( ωl) jϕ+ A amplitud complxa U L stá avançada rlativamnt, isto é, a tnsão aos trminais da bobin stá avançada rlativamnt à corrnt qu a prcorr. O diagrama vctorial complto das tnsõs corrnt do circuito, ncontra-s rprsntado na figura sguint, ond s vidnciou a li das alhas: a soma dos vctors U L U iguala o vctor. U L U U Figura 3 Diagrama vctorial do circuito L séri Para s obtrm as xprssõs das voluçõs tmporais das grandzas há qu dtrminar os j t rspctivos vctors girants (multiplicação das amplituds complxas por ω ) fazr a sua projcção sobr o ixo dos imaginários. u { ( t) } sin( ω ϕ) i m t + ( ωl) { U } sin( ω ϕ) u m t + ( ωl) L ωl { U L } sin( ω ϕ + ) m t + ( ωl) 9

10 com ωl ϕ arctan 0 < ϕ < As xprssõs qu foram dduzidas admitiram qu a tnsão qu alimnta o circuito tm uma fas inicial nula. Como xrcício, podr-s-á rsolvr o msmo circuito C séri, admitindo qu é a corrnt no circuito qu tm uma fas inicial nula, isto é rprsntada pla amplitud complxa. U rprsntando a tnsão aos trminais da rsistência é colinar com, A amplitud complxa isto é, tnsão corrnt aos trminais da rsistência, stão m fas. U lativamnt à amplitud complxa L, rprsntativa da tnsão aos trminais da indutância, stá adiantada rlativamnt, isto é, a tnsão aos trminais da indutância stá adiantada rlativamnt à corrnt qu a prcorr. 0

11 Finalmnt, os diagramas vctorial tmporal qu s obtêm são prfitamnt quivalnts aos obtidos quando s considra a tnsão d alimntação com fas inicial nula; apnas difrm no instant a qu s rfrm. 4. CCUTO C SÉ Considr-s o circuito C séri alimntado por uma font d tnsão altrnada sinusoidal cuja tnsão é dscrita pla xprssão ) sin ( ω ) ( t t

12 i(t) u (t) (t) C u C (t) Figura 4 squma do circuito C séri Conhcidos os valors d C, prtnd dtrminar-s o rgim prmannt da volução tmporal da corrnt no circuito, i (t), das tnsõs aos trminais da rsistência, u (t), da capacidad, u C (t). Através da Li das alhas, a soma da tnsão aos trminais da rsistência, com a tnsão aos trminais da capacidad, igualará a tnsão da font: u + uc m trmos d amplituds complxas a xprssão antrior scrv-s: + j j ond j rprsnta a impdância complxa da rsistência m séri com o condnsador. xplicitando na xprssão antrior, obtém-s: jϕ com + ( ) ϕ arctan < ϕ < 0 O diagrama vctorial das impdâncias, amplituds complxas da tnsão da font corrnt, stá rprsntado na figura sguint. m Z C j Z ϕ Z T j Figura 5 Diagrama vctorial Uma vz dtrminada a corrnt, é imdiato o cálculo das tnsõs aos trminais dos lmntos:

13 U + ( ) jϕ A amplitud complxa U é colinar com, isto é, tnsão corrnt aos trminais da rsistência, stão m fas. lativamnt à tnsão aos trminais da capacidad, tm-s: U C j + ( ) jϕ A amplitud complxa U C stá atrasada rlativamnt, isto é, a tnsão aos trminais da capacidad stá atrasada rlativamnt à corrnt qu a prcorr. O diagrama vctorial complto das tnsõs corrnt do circuito, ncontra-s rprsntado na figura sguint, ond s vidnciou a li das alhas: a soma dos vctors U C U iguala o vctor. U U L Figura 6 Diagrama vctorial do circuito C séri Para s obtrm as xprssõs das voluçõs tmporais das grandzas há qu dtrminar os j t rspctivos vctors girants (multiplicação das amplituds complxas por ω ) fazr a sua projcção sobr o ixo dos imaginários. u u L { ( t) } sin( ω ϕ) i m t + ( ) { U } sin( ω ϕ) m t + ( ) ωl { U L } sin( ω ϕ ) m t + ( ) 3

14 com ϕ arctan < ϕ < 0 As xprssõs qu foram dduzidas admitiram qu a tnsão qu alimnta o circuito tm uma fas inicial nula. Como xrcício, podr-s-á rsolvr o msmo circuito C séri, admitindo qu é a corrnt no circuito qu tm uma fas inicial nula, isto é i sin ( ) rprsntada pla amplitud complxa A amplitud complxa U rprsntando a tnsão aos trminais da rsistência é colinar com, isto é, tnsão corrnt aos trminais da rsistência, stão m fas. 4

15 lativamnt à amplitud complxa U C, rprsntativa da tnsão aos trminais da capacidad, stá atrasada rlativamnt, isto é, a tnsão aos trminais da capacidad stá atrasada rlativamnt à corrnt qu a prcorr. Finalmnt, os diagramas vctorial tmporal qu s obtêm são prfitamnt quivalnts aos obtidos quando s considra a tnsão d alimntação com fas inicial nula; apnas difrm no instant a qu s rfrm. 5