Capítulo 4 Resposta em frequência

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1 Capítulo 4 Rsposta m frquência 4. Noção do domínio da frquência 4.2 Séris d Fourir propridads 4.3 Rsposta m frquência dos SLITs 4.4 Anális da composição d sistmas através da rsposta m frquência 4.5 Transformadas d Fourir propridads 4.6 Filtragm 4.7 Amostragm rconstrução d sinais Rsposta m frquência dos SLITs Modlos d spaço d stados são prcisos concisos, mas não tão potnts como a rsposta m frquência Para um SLIT a rsposta m frquência rvla bastant acrca da rlação ntr o sinal d ntrada o sinal d saída Os SLITs podm sr dscritos por modlos d spaço d stados, através d quaçõs à difrnça quaçõs difrnciais Mas modlos d spaço d stados podm dscrvr também sistmas qu não são SLITs Portanto modlos d spaço d stados são mais podrosos, mas com infriors técnicas d dsnho d anális 28

2 4.3 Rsposta m frquência dos SLITs Dada uma sinusóid na ntrada, a saída do SLIT é uma sinusóid com a msma frquência mas possivlmnt com uma fas amplitud difrnts Dado um sinal d ntrada qu é dscrito como uma soma d sinusóids d crtas frquências, a saída pod sr dscrita como uma soma d sinusóids com a msma frquência mas com a fas amplituds possivlmnt modificadas m cada frquência S a ntrada para um SLIT contínuo é t ntão a saída é H t, ond H é uma constant qu dpnd da frquência da xponncial complxa. Quando a saída do sistma é apnas uma vrsão scalada da ntrada, a ntrada é dnominada d função própria ignfunction Rsposta m frquência dos SLITs Quando na ntrada tmos t Rais, xt t A saída é dfinida por t Rais, yth t A função H:Rais Complxos é dnominada rsposta m frquência Dfin a rsposta d um SLIT a uma ntrada xponncial complxa numa dada frquência Dfin a pondração qu o sistma impõ nssa xponncial complxa 30 2

3 4.3 Rsposta m frquência dos SLITs No caso dos sistmas discrtos é smlhant Quando na ntrada tmos n Intiros, xn n A saída é dfinida por n Intiros, ynh n A função H:Rais Complxos é dnominada rsposta m frquência Exist uma difrnça fundamntal ntr o discrto o contínuo n +2πn +4π n logo Rais, H H+2Kπ Dfin a rsposta m frquência d um SLIT discrto como sndo priódica com príodo 2π Rsposta m frquência dos SLITs Exmplo: Considr um sistma discrto dfinido pla quação às difrnças n Intiros, ynxn+xn-/2 Assumindo qu a ntrada é dada por n Intiros, xn n qu a saída tm a forma n Intiros, ynh n obtmos H n n + n- /2 Rsolvndo m ordm a H obtmos Rais, H+ - /2 32 3

4 4.3 Rsposta m frquência dos SLITs Exmplo: Considr um sistma contínuo com ntrada x saída y rlacionadas pla quação difrncial t Rais, RC dyt/dt + ytxt Assumindo qu a ntrada é dada por t Rais, xt t qu a saída tm a forma t Rais, yth t obtmos RCH t +H t t ou sa, Rais, H/+RC Rsposta m frquência dos SLITs Equação às difrnças linar Considr um sistma dscrito por uma quação às difrnças linar n Intiros, a 0 yn+a yn-+...+a N yn-n b o xn+b xn-+...+b M xn-m Os coficints podm sr rais ou complxos Assumindo qu a ntrada é dada por xn n qu a saída tm a forma ynh n obtmos a 0 H n +a H n a N H n-n b o n +b n b M n-m ou sa, b Rais, H a b + a b a M M N N 34 4

5 4.3 Rsposta m frquência dos SLITs Equação difrncial Considr um sistma dscrito por uma quação difrncial N M, N + 0 t d y dy d x dx t Rais a t a t + a0 y t bm t b t N M dt dt dt dt Os coficints podm sr rais ou complxos Assumindo qu a ntrada é dada por xt t qu a saída tm a forma yth t obtmos a N w N H t +...+a wh t +a 0 H t b M w M t +...+b w t +b 0 t ou sa, b Rais, H a M N M N b + b a + a 0 0 b x Rsposta m frquência dos SLITs Pod-s xprimir uma rlação ntr sinusóids a xponncial complxa cost t + -t /2 S for st o sinal d ntrada para um SLIT com rsposta m frquência H ntão a saída srá yth t + H- -t /2 Quando a ntrada é ral normalmnt a saída d um SLIT é também ral, o qu implica qu H H * - Esta propridad é dnominada d simtria conugada 36 5

6 4.3 Rsposta m frquência dos SLITs A rsposta m frquência d um sistma ral cuos sinais d ntrada d saída são rais é simétrica conugada Quando a ntrada for xtcost a saída srá t Rais, ytr{h t } Escrvndo H na forma polar H H H prmit-nos obtr a saída como t Rais, y t H cos t + H H consist d um ganho H d uma fas H qu o sinal d ntrada sinusoidal d frquência sofr Rsposta m frquência dos SLITs Exmplo: Considr um sistma, qu raliza um atraso T, dfinido como ytxt-t Assumindo qu a ntrada é dada por t Rais, xt t qu a saída tm a forma t Rais, yth t obtmos H -T m qu H H -T Uma ntrada na forma d cosno gra na saída um cosno da msma amplitud com um dslocamnto d fas Um filtro com uma rsposta m amplitud unitária constant é dnominado filtro passa-tudo 38 6

7 4.3 Rsposta m frquência dos SLITs Exmplo: Considr o sistma discrto dfinido pla quação às difrnças n Intiros, ynxn+xn-/2 A rsposta m frquência H é dada por Rais, H+ - /2 A rsposta d frquência m amplitud é dada por H + - /2 Est sistma tm um comportamnto d um filtro passa-baixo Rsposta m frquência dos SLITs A rsposta m frquência diz-nos tudo o qu prcisamos sabr sobr um sistma Podmos passar a rprsntar um SLIT através da sua rsposta m frquência, m lugar da rprsntação ntrada/saída, modlo d spaço d stados, da rsposta impulsiva,

8 4.3 Rsposta m frquência dos SLITs Exmplo Suponha-s qu a rsposta m frquência H d um SLIT discrto é dada por Hcos2 Considrmos o sinal d ntrada x n n par n ímpar qu pod scrito como xncosπn A saída é dada por y n H π cos πn + H π cos πn x n Ou sa o sistma não altra a ntrada Rsposta m frquência dos SLITs Exmplo Suponha-s qu a rsposta m frquência H d um SLIT discrto é dada por Hcos2 Considrmos o sinal d ntrada xn5 qu pod scrito como xn5cos0n A saída é dada por y n H 0 5cos0n + H 0 5 x n Ou sa o sistma não altra a ntrada 42 8

9 4.3 Rsposta m frquência dos SLITs Exmplo Suponha-s qu a rsposta m frquência H d um SLIT discrto é dada por Hcos2 Considrmos o sinal d ntrada xncosπn/2 A saída é dada por y n H π / 2 cos πn / 2 + H π / 2 cos πn / 2 + π cos πn / 2 x n Ou sa o sistma invrt a ntrada Rsposta m frquência dos SLITs Exmplo Suponha-s qu a rsposta m frquência H d um SLIT discrto é dada por Hcos2 Considrmos o sinal d ntrada xncosπn/4 A saída é dada por y n H π / 4 cos πn / 4 + H π / 4 0 Ou sa o sistma anula a ntrada 44 9

10 4.3 Rsposta m frquência dos SLITs Rsposta m frquência para séris d Fourir No caso das séris d Fourir rprsntámos o sinal d ntrada como t Rais x t + X k t k 0, k ond 0 2π/p A saída do SLIT para a ntrada priódica é rprsntada por t, y t k t k 0 0 k Para um SLIT, s a ntrada é dada pla soma d xponnciais complxas, a saída é dada pla soma das msmas xponnciais, cada uma scalada pla rsposta m frquência, avaliada na frquência corrspondnt Rsposta m frquência dos SLITs Todas as componnts d frquência da saída stão na ntrada A saída consist das msmas componnts m frquência da ntrada m qu cada componnt aparc scalada Os SLITs podm sr usados para ampliar ou suprimir crtas componnts d frquência, opração dnominada d filtragm A rsposta m frquência caractriza quais as frquências qu são ampliadas ou suprimidas também quais os dslocamntos d fas impostos plo sistma nas componnts individuais 46 0

11 Capítulo 4 Rsposta m frquência 4. Noção do domínio da frquência 4.2 Séris d Fourir propridads 4.3 Rsposta m frquência dos SLITs 4.4 Anális da composição d sistmas através da rsposta m frquência 4.5 Transformadas d Fourir propridads 4.6 Filtragm 4.7 Amostragm rconstrução d sinais Anális da composição d sistmas através da rsposta m frquência A composição d sistmas prmit-nos obtr sistmas mais complxos Ao intrligarmos SLITs, o sistma composto rsultant também é um SLIT Conhcndo a rsposta m frquência d cada SLIT podmos dtrminar a rsposta m frquência do sistma composto Isto prmit-nos construir sistmas complxos intrssants através da intrligação d blocos d componnts simpls Esta composição aplica-s d modo idêntico a sistmas discrtos contínuos 48

12 4.4 Anális da composição d sistmas através da rsposta m frquência Ligação m séri ou cascata Sistma S Rsposta impulsiva h t Rsposta m frquência H Sistma S 2 Rsposta impulsiva h 2 t Rsposta m frquência H 2 Sistma S rsultant Rsposta impulsiva hth t*h 2 t Rsposta m frquência HH.H Anális da composição d sistmas através da rsposta m frquência Ligação m parallo S y Sistma S Rsposta impulsiva h t Rsposta m frquência H x S S 2 + y 2 y Sistma S 2 Rsposta impulsiva h 2 t Rsposta m frquência H 2 Sistma S rsultant Rsposta impulsiva hth t+h 2 t Rsposta m frquência HH +H

13 4.4 Anális da composição d sistmas através da rsposta m frquência Ligação com rtroacção Sistma S Rsposta impulsiva h t Rsposta m frquência H Sistma S 2 Rsposta impulsiva h 2 t Rsposta m frquência H 2 Sistma S rsultant Não é possívl calcular a rsposta impulsiva d uma forma dircta Rsposta m frquência H H H H Anális da composição d sistmas através da rsposta m frquência Exmplo: Considr um sistma discrto com rtroacção como na figura Considr S dfinido como yn0.9 xn Considr S 2 dfinido como ynxn- H 0.9 H 2 - A rsposta m frquência do sistma édada por 0.9 H

14 4.4 Anális da composição d sistmas através da rsposta m frquência Exrcício: Dtrmin a rsposta m frquência do sguint sistma H2 H H2 H H2 H H H H2 H H H Capítulo 4 Rsposta m frquência 4. Noção do domínio da frquência 4.2 Séris d Fourir propridads 4.3 Rsposta m frquência dos SLITs 4.4 Anális da composição d sistmas através da rsposta m frquência 4.5 Transformadas d Fourir propridads 4.6 Filtragm 4.7 Amostragm rconstrução d sinais 54 4

15 4.5 Transformadas d Fourir propridads As séris d Fourir dscrvm um sinal priódico como uma soma d xponnciais complxas S a ntrada do SLIT é uma soma d xponnciais complxas, ntão a rsposta m frquência do SLIT dscrv a rsposta a cada uma das componnts xponnciais Podmos calcular a rsposta do sistma a qualqur sinal d ntrada priódico combinando as rspostas aos componnts individuais A rsposta d um SLIT a qualqur sinal d ntrada pod sr obtida como a convolução do sinal d ntrada a rsposta impulsiva A rsposta impulsiva a rsposta m frquência dão-nos a msma informação acrca do sistma mas m formas difrnts Vamos vr agora qu a rsposta impulsiva a rsposta m frquência stão rlacionadas através da Transformada d Fourir Transformadas d Fourir propridads Vimos antriormnt qu sndo a ntrada dada por xn n a saída tinha a forma ynh n Um SLIT com rsposta impulsiva hn aprsnta como saída yn corrspondnt ao sinal xn S colocarmos na ntrada dst sistma xn n obtmos n Intiros, Comparando as duas xprssõs obtmos h m n Intiros, y n h n x n m x n m y n h n x n m h m nm n m h m m h m Rais, H m m 56 5

16 4.5 Transformadas d Fourir propridads Transformada d Fourir Discrta n Rais, H h n n A rsposta m frquência H é a Transformada d Fourir da rsposta impulsiva A rsposta m frquência pod sr dscrita como a soma pondrada d xponnciais complxas, cuos psos são as amostras da rsposta impulsiva Transformadas d Fourir propridads S hn é ral ntão HH*- qu é a propridad da simtria conugada Isto implica qu H- H qu significa qu para qualqur SLIT com uma rsposta impulsiva ral, uma xponncial complxa com frquência sofr a msma altração d amplitud qu uma xponncial complxa com frquência - Not também qu Rais, H+2π H ou sa qu a Transformada d Fourir Discrta é priódica com príodo 2π 58 6

17 Transformadas d Fourir propridads Exmplo Considr um sistma qu provoca um atraso d M amostras A rsposta impulsiva dst sistma é dada por n Intiros, hnδn-m Podmos obtr a rsposta m frquência calculando a TF Est rsultado mostra-nos qu H, dado qu um atraso não muda a amplitud apnas altra a fas do sinal d ntrada M m m m m M m m h H Rais δ, Transformadas d Fourir propridads Vimos antriormnt qu sndo a ntrada dada por xt t a saída tinha a forma yth t Um SLIT com rsposta impulsiva ht aprsnta como saída yt corrspondnt ao sinal xt S colocarmos na ntrada dst sistma xt t obtmos Comparando as duas xprssõs obtmos τ τ τ d h H Rais, τ τ τ d t x h t x t h t y Rais t, τ τ τ τ τ τ d h d h t x t h t y Rais t t t,

18 4.5 Transformadas d Fourir propridads Transformada d Fourir Contínua h Rais, H t t dt A rsposta m frquência é a Transformada d Fourir da rsposta impulsiva Transformadas d Fourir propridads Exmplo Considr um sistma qu provoca um atraso d T sgundos A rsposta impulsiva dst sistma é dada por t Rais, htδt-t Podmos obtr a rsposta m frquência calculando a TF Rais, H h t T t δ t T dt t dt Est rsultado mostra-nos qu H, dado qu um atraso não muda a amplitud apnas altra a fas do sinal d ntrada 62 8

19 Transformadas d Fourir propridads Exmplo Considr o sguint rctângulo discrto A Transformada d Fourir é dada por X m x X m m m m Transformadas d Fourir propridads Exmplo Considr o sguint rctângulo contínuo A Transformada d Fourir é dada por 0 2 / 2 / sin 2 / 2 / 2 / 2 / 0 X w dt dt t x X t t

20 4.5 Transformadas d Fourir propridads Transformadas invrsas Invrsa da Transformada d Fourir discrta 2π n x n X d 2π 0 Invrsa da Transformada d Fourir contínua t x t X d 2π Transformadas d Fourir propridads Cálculo da transformada invrsa Através da dfinição Divisão m fracçõs simpls Através da quivalência rlativa a sinais básicos Através das propridads 66 20

21 4.5 Transformadas d Fourir propridads Transformadas d Fourir propridads 68 2

22 4.5 Transformadas d Fourir propridads - Tmpo contínuo - Frquência não priódica - Tmpo discrto - Frquência Priódica Priódico no tmpo Frquência discrta x t + X k t k 0 k X x n m p k 0 X k p m 0t p 0 X k x t k0n p p m 0 x m dt mk0 Não priódico no tmpo Frquência contínua x t X t dt n X x n t x t X d 2π n 2π n x n X d 2π

23 4.5 Transformadas d Fourir propridads Exrcício: Calcul a Transformada d Fourir d: xt -2t ut xn/2 n un Calcul a Transformada d Fourir invrsa d X X Transformadas d Fourir propridads Transformada d Fourir d sinais finitos Considr um sinal discrto yn qu é finito Dfina-s um sinal priódico xn como ond + m n Intiros, x n y' n mp y n n Intiros, y' n 0 s n [0, p ] outros casos O sinal xn é priódico portanto pod sr rprsntado através da séri d Fourir O sinal y n é um sinal discrto gnérico portanto tm transformada d Fourir 72 23

24 4.5 Transformadas d Fourir propridads Rais, Y ' n p n 0 y' n y n n n k Intiros, X k p n 0 p n 0 x n y n nk0 nk0 k Intiros X k Y ' k, Transformadas d Fourir propridads Transformada d Fourir para sinais d fala 74 24

25 4.5 Transformadas d Fourir propridads Transformadas d Fourir propridads 76 25

26 4.5 Transformadas d Fourir propridads Transformadas d Fourir propridads Transformada d Fourir d sinais priódicos A transformada d Fourir vai sr basada m funçõs dlta A séri d Fourir prmit-nos trabalhar numa rprsntação no domínio da frquência d um sinal priódico sm lidar com as funçõs dlta d Dirac Suponha-s qu um sinal xt tm transformada d Fourir Rais, X 2πδ- 0 Usando a Transformada d Fourir Invrsa obtmos t 0t t Rais, x t 2πδ 0 d 2π A séri d Fourir para xt é m Intiros, X m m 0 outros 78 26

27 4.5 Transformadas d Fourir propridads Supondo agora qu xt tm múltiplos dltas d Dirac na sua transformada d Fourir, cada um com difrnts psos, X 2π X m δ m0 m Rais rsulta através da Transformada d Fourir Invrsa t Rais x t + X m t m 0, m Esta quação rlaciona para sinais priódicos a Transformada d Fourir as Séris d Fourir Transformadas d Fourir propridads Exmplo Considr o sinal xt dado por t Rais, x t cos 0t Por inspcção da Tabla vrificamos qu / 2 m m Intiros, X m 0 outros Existm apnas dois coficints da Séri d Fourir não nulos Rais, X πδ πδ

28 4.5 Transformadas d Fourir propridads Exmplo Considr a sguint onda quadrada Os coficints da Séri d Fourir são m Intiros, X m / 2 0 / mπ m 0 m par m 0 m ímpar Transformadas d Fourir propridads Exrcício Calcul a Transformada d Fourir do sguint sinal... xt t 82 28