UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade de Ribeirão Preto Departamento de Economia

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1 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Faculdad d Economia, Administração Contabilidad d Ribirão Prto Dpartamnto d Economia Nom: Númro: REC200 MICROECONOMIA II PRIMEIRA PROVA (20) () Para cada uma das funçõs d produção abaixo, ncontr a taxa técnica d substituição dtrmin s a função aprsnta rndimntos constants, crscnts ou dcrscnts d scala (a) f (x, x 2 ) x 4 x 2 (Não us simplsmnt a fórmula da TST para a função Cobb Douglas, mas mostr como a TST é calculada) (b) f (x, x 2 ) x + 2 x 2 (c) f (x, x 2 ) x + 2x 2 (2) Encontr as funçõs d dmanda dos fators d produção a função d ofrta para cada uma das funçõs d produção abaixo: (a) f (x, x 2 )2 x + x 2 (b) f (x, x 2 )min { x, x 2 } () S a função d lucro d uma mprsa é π(p, w, w 2 ) ω +, na qual p é o prço do produto w w 2 são os prços dos dois insumos d produção, dtrmin as funçõs d ofrta d dmanda dos fators d produção dssa mprsa (Expliqu como você chgou a sss rsultados) (4) Encontr as funçõs d dmanda condicional d custo das funçõs d produção abaixo: (a) f (x, x 2 ) x + 2 x 2 (b) f (x, x 2 )x + 2x 2 (5) A função d custo d uma mprsa é c(y) y 6y 2 + 5y Dtrmin: (a) A partir d qu prço do produto da mprsa a quantidad ofrtada por la passa a sr positiva (b) A mnor quantidad positiva qu podria sr ofrtada por ssa mprsa (c) A função d ofrta invrsa (prço d ofrta m função da quantidad produzida) dfinida no domínio das quantidads maiors ou iguais à quantidad do itm antrior RESPOSTAS () Para rspondr os itns dssa prgunta mprgarmos o fato d qu a taxa técnica d substituição (TTS) é (o ngativo) da razão ntr as produtividads marginais dos dois fators d produção, a dfinição d rndimntos crscnts d scala, sgundo a qual uma função d produção f (x, x 2 ) aprsnta rndimntos crscsts d scala: caso, para qualqur α>0, s α>, f (αx,αx 2 )> αf (x, x 2 ), s α<, f (αx,αx 2 )<αf (x, x 2 ),

2 rndimntos dcrscnts d scala: caso, para qualqur α > 0, s α >, f (αx,αx 2 )<αf (x, x 2 ), s α<, f (αx,αx 2 )>αf (x, x 2 ) (a) f (x, x 2 ) x 4 x 2 Nss caso, tmos, PMg f (x, x 2 ) PMg 2 f (x, x 2 ) 4 x 2 4 x2 2 x 4 x 2 4x 4 2 Assim a taxa técnica d substituição é calculada como s sgu: TTS PMg PMg 2 4 x2 2 x 4x x 2 x Para dtrminar s há conomias ou dsconomias d scala, obssrv qu f (αx,αx 2 ) αx 4 αx 2 α 4 x 4 x 2 α 4 f (x, x 2 ) Como α 4 < α para qualqur α> α 4 > α para qualqur 0<α<, concluímos qu, s 0<α<, f (αx,αx 2 )>αf (x, x 2 ), s α> f (αx,αx 2 )< αf (x, x 2 ) Portanto, a função d produção aprsnta rndimntos dcrscnts d scala (b) f (x, x 2 ) x + 2 x 2 Nss caso, Assim, PMg ( + 2 x 2 ) 2 x PMg 2 ( + 2 x 2 ) x2 TTS PMg x2 PMg 2 2 x Para vrificar a xistência d rndimntos d scala, notmos qu f (αx,αx 2 ) αx + 2 αx 2 α ( x + 2 x 2 ) αf (, x 2 ) Como, para qualqur α >, α < α, para qualqur 0 < α <, α > α Concluímos qu, caso, α >, f (αx,αx 2 ) < αf (x, x 2 ), caso 0 < α <,f (αx,αx 2 )>αf (x, x 2 ) Portanto a função d produção aprsnta rndimntos dcrscnts d scala (c) No caso m qu a função d produção é f (x, x 2 ) x + 2x 2, as produtividads marginais dos fators d produção são: PMg ( ) + 2x 2 2 x + 2x 2 2

3 PMg 2 ( ) + 2x 2 + 2x 2 Portanto a taxa d substituição técnica srá (2) TST PMg PMg 2 2 Essa função d produção aprsnta rndimntos dcrscnts d scala pois, para qualqur α>0, f (αx,αx 2 ) αx + 2αx 2 α x + 2x 2 αf (x, x 2 ) Novamnt, como, para qualqur α>, α<α, para qualqur 0<α<, α>α Concluímos qu, caso, α>, f (α,αx 2 )<αf (x, x 2 ), caso 0< α <,f (αx,αx 2 ) > αf (x, x 2 ) Portanto a função d produção aprsnta rndimntos dcrscnts d scala (a) Como s trata d uma função d produção côncava, sabmos qu as condiçõs d máximo d sgunda ordm srão atndidas Nss caso, basta vrificar as condiçõs d lucro máximo d primira ordm, igualando o valor da produtividad marginal d cada fator d produção ao su prço As produtividads marginais dos fators d produção são PMg PMg 2 2 x 2 Assim, a condição d maximização d lucro é p ω p 2 x2 Rsolvndo para x x 2 ncontramos as funçõs d dmanda dos dois fators d produção: x (p,ω, ) p2 x 2 (p,ω, ) 9 4 Para ncontrar a função d ofrta, basta substituir na função d produção x x 2 por ssas xprssõs: 2 y(p,ω, ) 9 p + 2 p 2 ω (b) Obrv qu s trata d uma função d produção com complmntaridad prfita ntr os insumos d produção, sndo os insumos 2 complmntars na razão d 9 unidads do insumo por unidad do insumo 2 Nss caso, para maximizar su lucro, a mprsa não dv mantr nnhum dsss insumos m xcsso Assim, a solução d lucro máximo dv implicar 9x x 2 O lucro da mprsa srá dado por p min { x, x 2 } ω x x 2

4 Substituindo nssa xprssão, a igualdad x 2 9x, ficamos com a xprssão do lucro intiramnt m função d x : ω x 9 x + p x Encontramos a função d dmanda plo insumo drivando ssa xprssão m rlação a x igualando o rsultado a zro ou sja, p ω x (p,ω, ) 9 4 (ω + 9 ) 2 A dmanda plo insumo 2 é ncontrada aplicando-s novamnt a igualdad 9x, d tal sort qu x 2 (p,ω, ) 8 4 (ω + 9 ) 2 A função d ofrta é ncontrada substituindo-s as funçõs d dmanda na função d produção obtndo-s y(p,ω, ) 9 p 2 ω + 9 () Plo lma d Hottling, a drivada parcial da função d lucro m rlação ao prço do produto é a função d ofrta os ngativos das drivadas parciais da função d lucro m rlação aos prços dos fators são as funçõs d dmanda dsss fators Assim trmos: (4) y(p,ω, ) π p 2 p, ω + x (p,ω, ) π ω (ω + ) 2 x 2 (p,ω, ) π (ω + ) 2 (a) Nss, caso, como a função d produção é stritamnt côncava, portanto, stritamnt quas-côncava, podmos usar as condiçõs d custo mínimo d primira ordm dscritas plo sistma d quaçõs: { TST ω f (x, x 2 ) y As produtividads marginais dos insumos 2 são PMg 2 x PMg 2 x2 Obsrv qu s trata d uma função côncava, portanto, a condição d máximo d sgunda ordm stá garantida 4

5 Assim, a taxa d substituição técnica é TST PMg x2 PMg 2 2 x Portanto, o sistma d quaçõs qu xprssam as condiçõs d custo mínimo é { x2 2 ω x + 2 x 2 y Rsolvndo ss sistma, ncontramos as funçõs d dmanda condicionais: 2 x (y,ω, ) y 2 (4ω + ) 2 x 2 (y,ω, )4 y 2 (4ω + ) 2 Finalmnt, a função d custo é obtida somando-s os valors das dmandas condicionais: c(y,ω, )ω x (y,ω, )+ x 2 (y,ω, ) ω y 2 4ω + (b) Trata d um caso d substitutos prfitos na produção, pois as produtividads marginais dos dois insumos são: P M g f (x, x 2 ) P M g 2 f (x, x 2 ) 2, d tal sort qu a taxa d substituição técnica é constant igual a TST PMg PMg 2 2 Quando isso ocorr, ao minimizar su custo, a mprsa dv contratar xclusivamnt o insumo caso o prço rlativo ω / sja infrior ao módulo da taxa d substituição técnica, xclusivamnt o insumo 2 caso ω / > T ST, ou qualqur combinação d insumo caso ω / T ST Assim, as funçõs d dmanda dos dois insumos são dadas por ] 0 [ ] [ (y,ω, ) 0 x 2 (y,ω, ) [ y ] {[ 2 y x 2 ] : x + 2x 2 y } caso 2 < ω caso 2 > ω caso 2 ω Dss modo, a função d custo, obtida somando-s os produtos das dmandas d cada fator vzs su prço, srá dada por { c(y,ω, ) ω y caso 2 ω 2 y caso 2 ω, 5

6 (5) ou, usando a função mínimo, c(y,ω, )min { ω y, } 2 y (a) A quantidad ofrtada pla mprsa só é positiva para prços maiors ou iguais ao custo variávl médio mínimo Nossa mprsa não possui custo fixo Portanto, su custo médio é igual a su custo variávl médio é igual a CVM c(y) y 2 6y+ 5 y O ponto d custo variávl médio mínimo ocorr quando y é tal qu dcvm(y) 0 2y 60 y d y Para calcular o custo variávl médio mínimo basta, assim, calcular o valor do custo variávl médio quando y : CVM min 6 Assim, a mprsa ofrtará quantidads positivas d su produto para prços maiors ou iguais a 6 (b) A mnor quantidad positiva qu podrá sr ofrtada por ssa mprsa é a quantidad qu minimiza o custo variávl médio y Essa quantidad podrá sr ofrtada no caso m qu o prço do produto é igual ao custo variávl médio mínimo A ss prço a mprsa staria indifrnt ntr ofrtar ssa quantidad ou zrar sua produção, pois, nos dois casos, obtria um xcdnt nulo Para prços infriors ao custo variávl médio mínimo, a quantidad ofrtada sria nula, para prços supriors, a quantidad ofrtada sria suprior a (c) A função d ofrta invrsa tm domínimo para y, ou sja, a partir do ponto d custo variávl médio mínimo Ela é dfinida pla curva d custo marginal, qu é dada pla drivada da função d custo m rlação à quantidad produzida Assim, a função d ofrta invrsa srá dada por p(y)y 2 2y+ 5 6