log 2, qual o valor aproximado de 0, 70

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1 UNIERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ GABARITO DE FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA PROA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR // CANDIDATO: CURSO PRETENDIDO: OBSERAÇÕES: Prova SEM consula A prova PODE sr fia a lápis PROIBIDO o uso d calculadoras similars Duração: HORAS a Qusão ( ponos): O númro d raízs rais da quação ponncial a) b) c) d) ) é: Tmos: Enão: Esa quação não possui raízs rais a Qusão ( ponos): Supondo qu, a) b) c) d) ) log, qual o valor aproimado d,? Da dfinição d logarimo, podmos dizr qu:, Mas:,, Porano:,,,,

2 a Qusão ( ponos): Sab-s qu é um númro ral prncn ao inrvalo, qu o riplo da sua scan, somado ao dobro da sua angn, é igual a Calcul o cossno do númro a) b) c) 6 d) ) 8 D acordo com o nunciado da qusão, mos: sc g Podmos, não, scrvr: sn cos cos sn cos sn cos Elvando ao quadrado os dois mmbros dssa igualdad, mos: sn cos sn 9cos 8cos 9 Porém, como sn cos cos 9cos 8cos 9 cos 9cos cos 8cos 8cos 9, rmos: A quação acima é d sgundo grau na variávl Porano, aplicando Bhaskara, rmos: 8 cos cos 6 cos cos cos A solução cos não srv, pois não aparc no inrvalo Porano, rmos finalmn: cos a Qusão ( ponos): Sjam f g funçõs dfinidas no conjuno dos Númros Rais S f f g, não g é igual a: a) b)8 c)9 d) ) b) Tmos f g g g g rmos: g 9 Para

3 a Qusão ( ponos): Sab-s qu o pono P, é o pono d maior ordnada do gráfico da função dfinida por f a 8b Nsas condiçõs, o valor d a) b) c) d) ) 6 f é: Como a função é quadráica possui um valor máimo, não a O pono P, é o véric da parábola a 8b Assim: 8b a b () a f ac b a 6b 6b () a a a a 6 a Subsiuindo () m (): a a a Como a b, não b Porano, a função quadráica é: f 8 Para, rmos: f 8 f 6 a Qusão ( ponos): Rsolva a inquação ponncial: Podmos scrvr: Como a bas é mnor qu, não dvmos r: A quação m raízs:, iso é, uma inquação d sgundo grau Fazndo o sudo d sinais dssa inquação, concluimoccqu o conjuno solução dsa inquação é: S /

4 a Qusão ( ponos): O logarimo d um númro posiivo numa cra bas val p Enão, quano val o logarimo dss msmo númro numa bas igual ao quadrado da bas anrior? Sjam b a bas N o númro Enão, podmos scrvr: N p log p b N b Tomando como bas N log b b supondo qu sja o númro procurado, mos: p b N b b p Porano, o rsulado procurado é: 8 a sn sn Qusão ( ponos): Rsolva a quação Podmos scrvr: sn sncos sn sncos Colocando sn m vidência: p cos, sabndo qu sn sncos sn cos sn cos Para sn, mos ; Para cos, mos ou cos Porano, o conjuno solução dsa quação é: S,, 9 a Qusão ( ponos): Enconr o Domínio da função dfinida pla quação log Dvmos r Tal como no mplo anrior, dvmos rsolvr uma inquação d sgundo grau cujas raízs são Fazndo o sudo d sinais, obmos: D f ou

5 a Qusão ( ponos): Rsolva a quação sn sn 8sn para Faorando: sn sn sn sn sn Tmos, não, duas possibilidads: sn sn sn sn ( impossívl) Porano, as soluçõs dsa quação srão: 6 6

6 UNIERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ GABARITO DE CÁLCULO PROA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR // CANDIDATO: CURSO PRETENDIDO: OBSERAÇÕES: Prova SEM consula A prova PODE sr fia a lápis PROIBIDO o uso d calculadoras similars Duração: HORAS a Qusão ( ponos): S f g são funçõs ais qu f g f não a) g é igual a: b) 6 c) d) 8 Tmos: f g g Assim: g g f g g Para ) 9, rmos: g g f, a Qusão ( ponos): Sjam f g funçõs ais qu f g Sabndo qu g f, não o valor d g é: a) b) 6 c) d) 8 ) 9 Tmos: f g g A sgunda drivada srá: f, iso é, a drivada d um produo d funçõs 6 g g g g f 6 g 6 g g Para, rmos: f 6 g 6 g g Subsiuindo os valors dados, rsula: 8 g g 8 g,

7 a Qusão ( ponos): Sndo, não o valor d d para é: d a) b) c) d) ) 6 A função dada sá na forma paramérica Ns caso, sabmos qu: d d d d d d d d Porano: d d d d Para, mos: Fazndo na prssão da drivada, rsula: d d d d 6 a Qusão ( ponos): A função f, dfinida d m por f a a m um valor máimo admi duas raízs rais iguais Nsas condiçõs, o valor da prssão f f f f A f é: a) b) c) d) 6 ) 8 Dvmos r a Assim: 6 a a a Logo: f f f f 8 f f f 8 f f f 98 Porano: A 98 A

8 a Qusão ( ponos): A ára limiada plas curvas val: a) b) c) d) ) Dvmos inicialmn fazr um sboço das curvas nvolvidas para localizar a ára a sr calculada: Assim: A ára limiada plas duas curvas srá: S * d d ra parábola S d Calculando, obmos finalmn: S u A

9 6 a Qusão ( ponos): Enconrar dois númros rais cuja soma sja igual a, d modo qu a soma do cubo do mnor com o quadrado do maior sja: a) Máima; b) Mínima Sjam o mnor númro o maior númro Sab-s qu Tomando S, subsiuindo a quação acima, mos: S Como qurmos obr os rmos dsa soma, dvmos nconrar os Ponos Críicos, ou ds sja, dvmos r: d Assim: 8 Rsolvndo a quação, obmos:, qu são os Ponos Críicos 6 d S Plo Ts da Drivada Sgunda: 6 d Porano: Para d S d S (Pono d Máimo Rlaivo) d d d S d S Para (Pono d Mínimo Rlaivo) d d Máima : Mínima : 6 8

10 a Qusão ( ponos): Achar a quação da ra qu é angn à curva pono P, plo Sabmos qu a quação da ra angn à curva da função dada por f ou P f plo pono P, é No nosso caso, mos: Para obrmos P f, vamos drivar impliciamn a função dada Assim: 6 Subsiuindo o pono P, na prssão acima, obmos: 9 P P P 9 Porano, a ra angn é: a Qusão ( ponos): Rsolvr a ingral I arcg d, usando o Méodo d Ingração por Pars u dv u v v du Fazndo: u arcg du d dv d dv d v Assim, rmos: I arcg d A sgunda ingral é imdiaa (Diriva da Função Quocin) Basa arrumarmos o numrador do ingrando, ou sja: I arcg d I arcg ln C

11 9 a Qusão ( ponos): Rsolvr a ingral d I, usando uma subsiuição d variávis convnin Fazndo: d d ln Assim: C arcg I d I d I Como, não: C arcg I a Qusão ( ponos): Calcular o volum do sólido obido pla roação m orno do io da ára limiada plas curvas O volum a sr calculado é mosrado na figura abaio: Tmos: d d 6 d d d d u 8 par ra