ANALISE DE CIRCUITOS DE 1 a E 2 a. J.R. Kaschny ORDENS

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1 ANAISE DE IRUITOS DE a E a J.R. Kaschny ORDENS

2 Inrodução As caracrísicas nsão-corrn do capacior do induor inroduzm as quaçõs difrnciais na anális dos circuios léricos. As is d Kirchhoff as caracrísicas nsão-corrn dos lmnos conduzm, m conjuno, a uma quação difrncial linar, cuja solução dfin a dinâmica mporal das variávis corrn nsão lérica nos divrsos componns do circuio. D acordo com a ordm as caracrísicas da quação difrncial obida, classificas os circuios, as rspcivas soluçõs, d acordo com: ORDEM DA EQUAÇÃO ircuios d a ordm Ex. R, R Equação inar d a ordm ircuios d a ordm Ex. R Equação inar d a ordm TIPO DA SOUÇÃO Solução Naural Equaçõs Difrnciais inars Homogênas Solução Forçada Equaçõs Difrnciais inars não-homogênas

3 EXEMPOS DE IRUITOS DE a ORDEM EXEMPOS DE IRUITOS DE a ORDEM

4 ircuios d a ordm SOUÇÃO NATURA Dsigna-s por rgim, solução ou rsposa naural a dinâmica mporal d um circuio xciado plas nrgias armaznadas nos capaciors nas induors qu o consium. Ao conrário dos circuios puramn rsisivos, nos quais a ausência d fons indpndns drmina o valor nulo das corrns das nsõs no msmo, os circuios R, R R sm fons indpndns podm aprsnar dinâmicas não nulas como rsulado das nrgias lérica magnéica inicialmn armaznadas nos condnsadors nas bobinas. onsidrmos os circuios R R ilusrados abaixo:

5 i i R v -v R i R v R /R i.dv /d v R Ri R v.di /d dv d v R di d R i

6 ou sja, obmos quaçõs difrnciais do ipo: dx d x R circuio R /R circuio R dx d x d dx x dx d ln[ x ] B x x A ou sja v i A A R R

7 A imposição da condição d coninuidad da nrgia lérica armaznada num capacior, qüival a xigir a coninuidad da nsão aos rminais rspcivos, ou sja: v v A coninuidad da nrgia magnéica armaznada num induor, qüival a impor a coninuidad da corrn, ou sja: i i om a finalidad d drminarmos a consan qu surg na solução da quação difrncial, admiamos as condiçõs iniciais: v i v i v V o i I o

8 Assim obmos: v V R i I R

9 SOUÇÃO NATURA OMUTADA < < > R V v R R A v // A v V v R R V A

10 SOUÇÃO FORÇADA v R v v s i R i i s v R v R d dv S i R i R d di S y x d dx

11 / como y x d dx y x d dx [ ] x d d x d dx [ ] y x d d A d y x

12 A d y x Solução Paricular da Equação não Homogêna y é usualmn chamada xciação Solução Gral da Equação Homogêna Associada A d y x

13 Por xmplo, considrmos um xciação snoidal, ou sja: y v s V s.u.cosω..inicial v c V v ond V S cos A V A ω φ ωr φ arcgω R R φ ωr cos R Ω ω. rad/s ω rad/s F Vo - V

14 ircuios d a ordm Um circuio é dio d.ª ordm quando l coném dois lmnos capazs d armaznar nrgia qu são irrduívis nr si Ex. dois capaciors, dois induors ou um capacior um induor. Dois lmnos são considrados irrduívis nr si quando não é possívl rduzir os msmos a um único lmno via associação séri ou parallo. Um dos xmplos mais noávis são os circuios R sri parallo, ou sja: R-sri R-parallo d V d R dv V d d V d dv V R d

15 Em ambos os casos é obido uma quação difrncial linar d a ordm, do ipo: d d x dx α ω x d No caso ond xisa uma fon d xciação, rmos: A quação prmanc com a msma forma, incluindo agora uma não homognidad: d x dx α ω d d x y

16 Exis divrsos méodos para nconrar a solução ds ipo d quação difrncial. A scolha do méodo mais adquado irá, m principio, dpndr da forma da função y. Por xmplo, podmos mprgar as ransformadas d aplac, ond: fs [x] [dx/d] s.fs x gs [y] [d x/d ] s.fs s. x x ond: x x x dx/d Assim obmos uma quação algébrica para fs, do ipo: cuja solução é: s.fs s.[α.fs] ω.fs [α s.x x ] gs gs α s.x x fs x s α.s ω [fs] adicionar condiçõs iniciais d conorno adquadas

17 Rsringindo nossa analis para o caso ond y q. homogênas sol. naural, com as condiçõs iniciais x x, obmos: f α s x x ± s ond s α ± α ω s s s s Surg não quaro siuaçõs disinas: o ASO: omporamno Sobr-Amorcido Ns caso mos α > ω s s são raízs disinas rais. x { A. w. A. w. }. α. ond w α ω ½ é um numro ral sndo A A drminadas a parir das condiçõs iniciais.

18 o ASO: omporamno riicamn-amorcido Aqui mos α ω s s α são raízs idênicas rais. x A. α. A.. α. A A são drminadas a parir das condiçõs iniciais. 3 o ASO: omporamno Sub-Amorcido Ns caso mos α < ω s s são raízs disinas complxas. x { A. w. A. w. }. α. ond w α ω ½ é um numro complxo puro. A A são drminadas a parir das condiçõs iniciais. s s são complxos conjugados

19 4 o ASO: omporamno Oscilaório Ns caso mos α s s são raízs disinas complxas puras. x A. w. A. w. ond w ω ½ é um numro complxo puro, sndo A A drminadas a parir das condiçõs iniciais. Escolhndo um Parâmro Único... s s são complxos conjugados Q ω α i sobr-amorcida: α > ω < Q <.5 ii criicamn-amorcida: α ω Q.5 iii sub-amorcida: α < ω Q >.5; iv oscilaória: α Q

20 Rfrncias bibliográficas Analis d ircuios m Engnharia, William H. Hay Jack E. Kmmrly, diora McGraw-Hill do Brasil 973. Analis d ircuios Eléricos, Vicor da Fon Dias, Insiuo Suprior Técnico - IFR, disponívl m hp:// Porugal 996/97.