( 1). β β. 4.2 Funções Densidades Con2nuas

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1 4 Funçõs Dnsidads Connuas Dnsidad Eponncial A dnsidad ponncial é u:lizada comumn para sablcr sruuras d probabilidads m primnos cujos nos são siuados na ra ral [, ] Uma aplicação gral comum corrspond à rprsnação ou modlagm d primnos associados à ida ú:l d objos ou duração d ocorrências Da dnsidad Gama, fazndo, f ( ;, ) rparamrizando θ, obém-s a rprsnação da dnsidad ponncial: parâmro: θ > θ ( ; θ ) I f, θ

2 4 Funçõs Dnsidads Connuas Dnsidad Eponncial Média Variância: d θ E X f ; θ d θ Rsolndo por pars ud u du, Assim: u du d θ θ θ d d θ E E ( X ) ( X ) θ θ + Var X θ Proa: rcício para casa θ θ θ θ θ d θ

3 4 Funçõs Dnsidads Connuas E: 48 (M c4) Tmpo médio d ida ú:l d um quipamno 5 horas Qual a probabilidad do quipamno funcionar por ao mnos horas? U:lizando um dnsidad ponncial com 5 E X θ dfinindo a ariál alaória X : mpo d duração do quipamno, busca-s conhcr: P( X ) d θ θ P ( X ), d 5 5 5

4 4 Funçõs Dnsidads Connuas Dnsidad Qui-Quadrado A Dnsidad Qui-Quadrado é uma das famílias d dnsidad ambém driada da Dnsidad Gama cuja par:cularidad mais prominn sá na sua associação com a Dnsidad Normal, assim, na possibilidad d sua u:lização frqun m aplicaçõs d ss d hipóss s:mação d inralos d confiança Formalmn, da Dsnsidad Gama, f ( ;, ) rdfinindo os parâmros d forma qu: é possíl obr: ( ),, f ( ;, ) ( ) ( ) ( ) f ( ;) ( )

5 4 Funçõs Dnsidads Connuas Ou sja, Dnsidad: Parâmro: f ( ;) > ( ) ( ), iniro O parâmro é rfrido como graus d librdad da disribuição, o qu, como rmos, sá associado ao númro d dnsidads Normal (padronizadas) cuja soma pod sr rprsnada por uma Dnsidad Qui- Quadrado E Média Variância: ( X ) ( ) d ( ) ( ) ( ) d Rsolndo por pars ud u du : u d du d ( ) d

6 4 Funçõs Dnsidads Connuas Como, já qu da Dnsidad Gama, não: Ercício para casa: mosrar qu d d X E + d X E d d X E d X Var

7 4 Funçõs Dnsidads Connuas Dnsidad Qui-Quadrado Dnoação: X ~ χ ( ) Há duas imporans propridads da dnsidad Qui-Quadrado qu dm sr dsacadas: i) S X,,X k são k ariáis alaórias indpndns com dnsidads Qui-Quadrado com, rspc:amn, graus d librdad (parâmros) dados por,, k, não: Y k X i ~ χ k ( ) i i i ond Proa: rcício para casa (usar propridad da Dnsidad Gama)

8 4 Funçõs Dnsidads Connuas Dnsidad Qui-Quadrado ii) Assuma qu X X são duas ariáis alaórias indpndns, ond X ~ χ ( ) Y X m dnsidad Qui-Quadrada com + X > graus d librdad Enão m disribuição Qui-Quadrado com X graus d librdad Proa: rcício para casa (usar propridad da Dnsidad Gama) Obsração: Em aplicaçõs d ss d hipóss, m gral, há inrss m s conhcr os limis suprior infrior, rspc:amn, h l, ais qu P ( h) P l, ond,

9 4 Funçõs Dnsidads Connuas Em gral,,,, 5,, 5,, A probabilidad dss nos, com o associado pod sr nconrada m ablas consruídas para a dnsidad χ ( ) No-s qu os limis h l podm nconrados solucionando-s as quaçõs: h ( ) ( ) ( ) l d d ( )

10 4 Funçõs Dnsidads Connuas E 49: Assuma qu X ~ χ ( 5) ( h) P( l), 5 P Obnha não os alors d h l ais qu Na abla da Qui-Quadrado com 5,5 é possíl noar qu: ( 37, 655), 5 h 37, 655 P ( l) P( l), 5 P, assim: ( l), 5, 95 l 4, 64 P

11 4 Funçõs Dnsidads Connuas Dnsidad Normal Passíl d sr u:lizada para modlar uma grand aridad d sruuras d probabilidad ariáis alaórias, a Dnsidad Normal é a dnsidad mais u:lizada m rabalhos aplicados Três razõs são, m gral, u:lizada para jus:ficar su uso frqun: sua raabilidad analí:ca, su formao simérico m orno da média fácil caracrização m rmos d da média ariância o fao d, sob drminadas condiçõs (Torma do Limi Cnral), podr sr u:lizada como aproimação para difrns disribuiçõs m grands amosras Formalmn, al dnsidad é dada pla função: f ( ;a,b) a b π b Parâmros: a, b > Noação: X ~ N( a,b )

12 4 Funçõs Dnsidads Connuas Dnsidad Normal Um rsulado basan ú:l a rspio da Dnsidad Normal é o sguin: X a S X ~ N a,b, não Z ~ N(, ) b Para mosrar s imporan rsulado, no-s qu: X a P ( Z z) P z P X zb + a b Usando o fao d qu X ~ N a,b, P b ( Z z) P( X zb + a) d π b zb+ a a Subs:uindo, agora, a b d b d : ( )

13 4 Funçõs Dnsidads Connuas Dnsidad Normal P ( Z z) π b zb+ a O qu indica a dnsidad π z a b ( ) d g d ( z;, ) π b zb+ aa para Z ou qu X a Z ~ N(, ), ou ainda qu Z m uma Dnsidad Normal b Padronizada (Dnsidad Normal com a b ) π b ( ) ( ) bd

14 4 Funçõs Dnsidads Connuas Dnsidad Normal Média Variância: Como ( X a) Z X Zb + a, E ( X ) be( Z) + a Assim: b E ( Z ) ( z ) z dz π Como E d dz ( z) ( Z ) π z ( z ) ( X ) b + a a µ E ( z), não: π ( ) Logo:

15 4 Funçõs Dnsidads Connuas Dnsidad Normal ( X a) Para obr a ariância d X, prcba-s qu com Z X Zb + a, b Var X b Var Z Para obr a ariância d Z, no-s qu: ( Z) E( Z ) ( EZ) E( Z ) Var E ( Z ) u d ( z ) z dz π z du dz z z dz z Rsolndo por pars: E ( Z ) z + dz + π π z ( z ) ( z ) dz + E Z z, já qu é Dnsidad Normal d Z π

16 4 Funçõs Dnsidads Connuas Assim, Var ( Z) E( Z ) O qu prmi prcbr qu: Var ( X ) b Var( Z) b σ A dnoação gnralizada é X ~ N µ, σ Z ~ N, O procsso d ransformação d uma ariál alaória X ~ N µ,σ m uma oura ariál alaória Normal Padrão Z ~ N(, ) é imporan nas aplicaçõs uma z qu prmi associar nos para X a nos m Z Mais spcificamn, s A é um no associado a X, não a probabilidad d ocorrência d A, P(A), ob:da a par:r da dnsidad f ( ;µ,σ ) é quialn à probabilidad d ocorrência d B, P(B), ob:da a par:r da dnsidad g ( z;, ), ond z µ σ

17 4 Funçõs Dnsidads Connuas Dnsidad Normal E4: (Mc4) Consumo d gasolina ficiência d um carro X: milhas ou km por galão, com assumida Disribuição Normal com 7 σ, 5 Ou sja, X ~ N 7,, 5 Qual a probabilidad d um carro fazr nr 6 9 milhas por galão? µ Em rmos d uma ariál com Dnsidad Normal Padrão, a indagação é: P P 6 7, 5 7, 5 8 7, 5 ( 6 8) P ou ( 6 8) P( z ) F F( ) Ond F(z) é a função d disribuição acumulada d Z Da abla da Disribuição Normal Padronizada: F π ( ) d, 977

18 4 Funçõs Dnsidads Connuas Dnsidad Normal Pla simria: ( ) F, 977, 8 F O qu prmi obr: ( 6 8) P( z ), 977, 8, 9544 P Torma 4 S X ~ N(, ), não Y X m dnsidad χ, ou sja, Y X ~ χ Proa: rcício para casa A proa faz uso da associação nr a Função Gradora d Momnos (FGM) a função dnsidad Espcificamn, para dnsidad Gama, a FGM é ob:da fazndo: M X E( ) d ( ) ( ) d

19 4 Funçõs Dnsidads Connuas Noando, agora, qu para a b consans posi:as, é um dnsidad Gama (a, b), m-s qu: Assim, é possíl fazr: Qu, subs:uindo ma FGM da Dnsidad Gama acima, gra: d d E M X d M X b a a b a ;a,b f ou d b a b a a a b a b a d d

20 4 Funçõs Dnsidads Connuas Prmim obr: Ou sja, para uma Dnsidad Gama (a,b): Para, é infinia não is No caso da Dnsidad Qui-Quadrado, Assim: d M X d para M X < para M X < < d M X

21 4 Funçõs Dnsidads Connuas, para : Com, a Função Gradora d Momnos d Y é dada por: Mas no-s qu O qu prmi fazr: X M χ, M X <, N ~ X X Y d E E M y Y π d d π π d π d, N d π, M Y <

22 4 Funçõs Dnsidads Connuas M Y, < Qu corrspond a Função Gradora d Momnos d uma Y X ~ χ χ Logo, Torma 4: Sjam X,,X n ariáis alaórias indpndns com dnsidads n Normal Padrão ( ~ N(, ) ) Enão Y X i ~ χ, ou sja Y n X i i X i ( n ) m disribuição Qui-Quadrado com n graus d librdad Proa: a proa faz uso do sguin rsulado para ariáis alaórias indpndns: Y n i X i M Y n M i X i i

23 4 Funçõs Dnsidads Connuas No caso do Torma 4, Mas como foi iso no Torma 4,, com Logo, com, O qu indica qu Como ocorr com a Dnsidad Qui-Quadrado, a Dnsidad Normal é basan ú:l na ralização d ss d hipóss a rspio d alors d parâmros n i X i Y χ ~ X i X M i n i X i Y, M M n i n n i X Y i < n ~ Y χ

24 4 Funçõs Dnsidads Connuas Ns sn:do, é smpr ú:l conhcr os alors limis suprior, h, infrior, l, para dado : h F d h P h πσ σ µ l F d l P l πσ σ µ

25 4 Funçõs Dnsidads Connuas Na prá:ca, a obnção dss limis a probabilidad dss nos associados é fia u:lizando as ablas para o caso da Dnsidad Normal Padronizada, o qu ig a padronização d X: Tabla da Normal Padrão σ µ σ µ σ µ l l ond l z P l P l P * * σ µ σ µ σ µ h h ond h z P h P h P * *,,,5,,,9,9744

26 4 Funçõs Dnsidads Connuas Ond as nradas forncm a sguin probabilidad: z, P d π, 95 ' ( z z ) d, 9744 π E4 (Mc4) Com ~ N,4, obr P X 5,9 P X 5, 9 P z 645,, 955, ( 5, 9) P P( z 645, ) 5