que representa uma sinusoide com a amplitude modulada por uma exponencial. Com s real, tem-se,

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1 Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III Frquência Complxa rvião n Conidr- a xprão, σ v V co qu rprna uma inuoid com a ampliud modulada por uma xponncial. Com ral, m-, n σ>0 a ampliud d v crc com o mpo; n σ<0 a ampliud d v dcrc com o mpo; n σ0 a ampliud d v é conan. não conan não dc σ 0 0 v V co v V v Figura.9 Tnão conan dc. Ocávio Pácoa Dia 9

2 Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III Frquência Complxa rvião con. con. não inuoidal d ampliud conan σ 0 0 v V co não xponncial crcn v Figura.0 Tnão inuoidald ampliud conan. σ σ > 0 0 v V co v v V σ Figura. Tnão xponncial crcn. Ocávio Pácoa Dia 0

3 Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III Frquência Complxa rvião con. con. não xponncial dcrcn σ σ < 0 0 v V co v v V σ Figura. Tnão xponncial dcrcn. n Conidrando o cao paricular da não xponncial, v V σ Ocávio Pácoa Dia

4 Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III Frquência Complxa rvião con. con. ubiuíndo por w v V α coα Ocávio Pácoa Dia qu coincid com a rprnação complxa d uma função inuoidal. D faco, ndo m cona a fórmula d Eulr, umagrandza inuoidal, pod crvr- na forma: ond, inα x X co m x R X [ X ] X m rprna a ampliud complxa da grandza inuoidal x

5 Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III Frquência Complxa rvião con. con. Im X X m n A analogia nr a xprõ, R Figura.3 Ampliud complxa d uma função inuoidal. σ v V v V Prmi indnificar, com a par ral d uma frquência complxa w com a par imaginária da frquência complxa. Ocávio Pácoa Dia 3

6 Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III Frquência Complxa rvião con. con. n Rprnando por a frquência complxa acabada d dfinir, pod crvr-, σ n D modo, uma função do mpo, qu poa r cria na forma, f Ocávio Pácoa Dia 4 k ond, k ão conan complxa indpndn do mpo, é caracrizada pla frquência complxa, σ n Dv r ralçado qu a rprnação, f k é compaívl com o rulado obido anriormn.

7 Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III Frquência Complxa rvião con. con. D faco, não conan não dc pod r cria na forma, v V v 0 V 0 σ 0 0 não xponncial corrpond a, v V σ σ 0 σ 0 0 Ocávio Pácoa Dia 5

8 Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III Frquência Complxa rvião con. con. Quano à não inuoidal d ampliud conan, m-, Rcorrndo à idnidad d Eulr, pod crvr-, v V co coα co α α Ocávio Pácoa Dia 6

9 Ocávio Pácoa Dia 7 Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III Frquência Complxa rvião con. Frquência Complxa rvião con. aim, V V V V V v co Podndo crvr-, k k v com, V k V k ; ; ;

10 Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III Frquência Complxa rvião con. con. D modo, a função, v V co pod r rprnada pla oma d dua xponênciai complxa, v k k ndo d ralçar a prnça d dua frquência complxa, Ocávio Pácoa Dia 8 Tndo m cona qu k é o conugado d k qu é o conugado d, pod concluir- qu o doi rmo da oma, k k ão complxo conugado, aim, a ua oma conduz a uma quanidad ral.

11 Ocávio Pácoa Dia 9 Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III Frquência Complxa rvião con. Frquência Complxa rvião con. Romando a xprão da inuoid modulada por uma xponncial, co σ V v abndo qu la pod r rprnada na forma xponncial rcorrndo à idnidad d Eulr, obém-, V V V V V V v co σ σ σ σ σ σ co α α α

12 Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III Frquência Complxa rvião con. con. logo, v V σ V Vrifica-, aim, qu a frquência complxa, σ σ σ ão ambém ncária para rprnar uma inuoid com a ampliud modulada por uma xponncial. D faco, a xprão, σ v V co com σ 0 0, rprna o cao mai gral d uma inuoid, Ocávio Pácoa Dia 30

13 Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III Frquência Complxa rvião con. con. ond, n a não conan não dc, σ0 0; n a não inuoidal d ampliud conan σ0 0; n a não xponncial σ 0 0 cao paricular qu dla podm r drivado. Pod, aim, concluir-, qu a frquência complxa,, dcrv a variação da inuoid, ando: n a par ral,, aociada à variação xponncial da ampliud; n par imaginária, w, à variação da frquência cíclica. Ocávio Pácoa Dia 3

14 Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III Frquência Complxa rvião con. con. σ Figura.4 Comporamno d v com a variação d w. Ocávio Pácoa Dia 3

15 Ocávio Pácoa Dia 33 Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III Frquência Complxa rvião con. Frquência Complxa rvião con. Aim, º in in v v v v

16 Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III.. Uilização da dafrquência Complxa rvião Tomando a xprão gral da inuoid modulada por uma função xponncial, σ v V co ndo m cona a idnidad d Eulr, conaa- qu a par ral d, α coα inα V σ V σ co in dcrv a não, σ v V co Ocávio Pácoa Dia 34

17 Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III.. Uilização da dafrquência Complxa rvião con. con. io é, ou, uma vz qu, v v R R co { σ V } { σ V } co Conaa- aim, qu o par d frquência conugada, w -w, á aociado à rprnação d uma função inuoidal d ampliud variávl 0 ou ampliud conan 0. A xprão, Pod r cria na forma, v R v R { σ V } { σ } { σ V v V R } Ocávio Pácoa Dia 35

18 Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III.. Uilização da dafrquência Complxa rvião con. con. como, obém-, σ v R { V } Tndo m cona qu a ampliud complxa d uma grandza inuoidal pod r dcria por, não, V V ou V V v R { } V qu no domínio da frquência fíica, w, oma a forma, { } V V V ou V V v R ; Ocávio Pácoa Dia 36

19 Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III.. Uilização da dafrquência Complxa rvião con. con. Para umacorrn inuoidal, m-,, I σ i I co I I I i R { } I I I ou I I Para a frquência fíica, w { } I I V ou I I i R ; Ocávio Pácoa Dia 37

20 Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III.. Impdância Admiância no no Domínio rvião Bobina Para o circuio com bobina rprnado na figura.5, m-, v i v R R L { } { } V v R V { } R{ } φ I i I di d d v R L d i I v L Figura.5 Rprnação no domínio do mpo d um circuio com bobina. Ocávio Pácoa Dia 38

21 Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III.. Impdância Admiância no no Domínio rvião con. con. Dado qu, m-, R v R v R { } IL { } V { } { } V R IL V IL Eliminando o rmo d ambo o mmbro da quação, V I L Tndo m cona qu a impdância, Z, é dfinida pla rlação, aim, V Z I V I L ZL Z L ZL I I Ocávio Pácoa Dia 39 L

22 Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III.. Impdância Admiância no no Domínio rvião con. con. E como a admiância, Y, dfin por, m-, Y L Y Z YL Z L L A figura.6 a b rprnam o circuio com bobina no domínio da frquência complxa,, fíica, w, rpcivamn. I I V L V L a b Figura.6 Circuio com bobina no domínio da frquência Ocávio Pácoa Dia 40

23 Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III.. Impdância Admiância no no Domínio rvião con. con. Condnador Para o circuio com condnador ilurado na figura.7, m-, v i R R dv i C d { } { } V v R V { } R{ } φ I i I i R C i d d V v C Figura.7 Rprnação no domínio do mpo d um circuio com condnador. Ocávio Pácoa Dia 4

24 Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III.. Impdância Admiância no no Domínio rvião con. con. Dado qu, m-, R i R i R { } VC { } I { } { } I R V C I VC Dividindo por ambo o mmbro da quação, I V C Como a admiância, Y, é dfinida pla rlação, m-, I Y V I V C YC YC YC V V Ocávio Pácoa Dia 4 C

25 Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III.. Impdância Admiância no no Domínio rvião con. con. Dado qu a impdância, Z, é dfinida pla rlação, m-, Z C Z Y ZC Y I C I C A figura.8 a b iluram, rpcivamn, o circuio com condnador no domínio da frquência complxa,, fíica, w. V C V C a b Figura.8 Circuio com condnador no domínio da frquência Ocávio Pácoa Dia 43

26 Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III.3.3 Tranformada d d Laplac rvião A inrodução ao concio d frquência complxa foi ralizada com ba no rgim inuoidal, ndo- ablcido uma corrpondência biunívoca nr a função do mpo a função da frquência. Por inrmédio da frramna mamáica dignada por Tranformada d Laplac pod r ablcida aqula corrpondência para uma xciação difrn da inuoidal. D faco, a Tranformada d Laplac ablc uma corrpondência biunívoca nr a função do mpo x a ua ranformada X. x X ranformada d Laplac Ocávio Pácoa Dia 44

27 Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III.3.3 Tranformada d d Laplac rvião n É uual indicar qu X é a ranformada d Laplac d x por inrmédio da noação, XL[x] ond a variávl w é a frquência complxa. n Diz- qu x é a ranformada invra d X, rprnando- por, xl - [X] n A ranformada d Laplac é dfinida por, X x d 0 Ocávio Pácoa Dia 45

28 Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III.3.3 Tranformada d d Laplac rvião xiindo ranformada, c x < M, para > 0 ndo M c conan poiiva. O ingral convrg para >c. n Exmplo da ranformada d Laplac: d L[ d f ] F ; L[ a L[ ] ; L[co ] a, 0 L[ u ], com u 0, < 0 0 f λ dλ] F ; ; L[ δ ] ; in L[in ] ; Ocávio Pácoa Dia 46

29 Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III.4.4 Dcrição do do comporamno ao aorminai do do componn d d rd rd rvião n Riência v Ri V RI n Bobina v L di d V LI n Condnador i C dv d I CV V I R V I L V I C Ocávio Pácoa Dia 47

30 Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III.4.4 Corrpondência nr nra a rd rdriiva a a rd rdraciva A abla. mora a quaçõ no domínio do mpo, da frquência fíica da frquência complxa. Variávi Rd riiva valor inaâno v, i Rd raciva ranformada d Laplac rgim inuoidal condiçõ iniciai nula V, I V, I Li d Kirchhoff i 0, v 0 I 0, V 0 I 0, V 0 Componn vri V Z I V Z I Tabla. Corrpondência nr o domínio do mpo, frquência fíica frquência complxa. Ocávio Pácoa Dia 48

31 Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III.4.4 Corrpondência nr nra a rd rdriiva a a rd rdraciva con. n A analogia formal nr a dcrição da rd riiva rd raciva prmi uilizar muio rulado ablcido para a rd riiva, nomadamn: aociação m éri m parallo, divião d nõ divião d corrn, orma da obrpoição d Thvnin- Noron. né imporan noar qu, quando conidra a impdância Z da bobina ou do condnador faz, w, obém o rulado nconrado para no udo do rgim inuoidal. Pod aim r ablcida uma corrpondência abla. nr a dcrição da rd m rmo da ranformada d Laplac com condiçõ iniciai nula, a quaçõ do rgim forçado inuoidal m rmo da ampliud complxa. Ocávio Pácoa Dia 49

32 Curo d Engnharia Elcrónica d Compuador - Elcrónica III.5.5 Corrpondência nr nro rgim inuoidal a frquência complxa ranformada d Laplac condiçõ iniciai nula V I R L /C rgim inuoidal V I R L /C Tabla. Corrpondência nr o rgim inuoidal o domínio. Ocávio Pácoa Dia 50