Análise de Sistemas Lineares

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1 nál Sma Lnar Dnvolvo plo Prof. Dr. Emlon Rocha Olvra, EEE-UFG, 6. Propra a ranformaa Laplac Propra a convolção. propra a convolção no omíno o mpo m ma vaa aplcação na anál o ma lnar. Dao o na () h(), cja ranformaa Laplac ão conhca, mo: L ( ) L H ( ) h mno q () h() jam fno apna para >, a convolção nr na po r aa por: h τ h( τ) plcano a ranformaa Laplac à prão acma, mo: { } L h L τ h τ τ h τ Mano a orm ngração: { } L h τ h( τ) Dfnno a varávl µ τ, para a ngral nr colch, rcrvmo a prão acma: { } µτ τ µ L h τ h µ µ τ h( µ ) µ Porano, chgamo ao gn rlao: L h H Emplo. Um crco R aprna rpoa ao mplo aa por h( ) ( ) Drmn a rpoa y() crco ao nal ( ) rc(,). (vr mplo a págna ). Solção. Dao o par conhco Drmnamo não: a L a T L rc T, R ( ) > a T, R ( ) > H, R( ) >, R > (T ) 9

2 D moo, pla propra a convolção: y L h Y ( ) ( ) H ( ) Y Rcrvno: Y, com R ( ) >. Sabno q L{ } -τ, a propra a ngração: L L{ ( ) } ( ) E rlao é a ranformaa nvra o prmro rmo m Y. Ulzano mmo rlao, a propra o locamno no mpo, mo: ( ) L { ( ) ( ) } ( ), q é a ranformaa nvra o gno rmo Y. Da forma, fcamo com: ( ) y ( ) ( ) ( ) ( ) Ea prão po r cra na forma:, para < < y ( ) para > O gráfco () y() ão morao a gr. Fnção ranfrênca. Um ma LT no omíno o mpo po r cro pla a rpoa ao mplo, conform lrao a gr. N cao, crvmo y( ) ( ) h( ). propra a convolção a ranformaa Laplac ablc ma forma frn valzar a rlação nr o na aía nraa. mo q a úlma rlação Y H, no omíno. Na forma gráfca, rprnamo conform a gr: mofca para H é chamao fnção ranfrênca o ma cja rpoa ao mplo é h(). H crv a ranfrênca nr a nraa a aía Y, mpr amno q não há nrga armaznaa no ma m. Enão, crvmo: Y ( ) H Emplo. Em m crco LT a rpoa ao nal nraa ( ) ( ) a rpoa ao mplo para crco. Solção. Sabmo q y( ) ( ) h( ), porano Y ( ) ( ) H ( ) Y { } L, com R( ) > ( ) { } ( ) ( ) é y( ) ( ) L, com R ( ). Drmn Y H. alclano Y: > 9

3 9 m: H, com R > rpoa ao mplo é a ranformaa nvra H: h Emplo. Drmn (), v. Solção. qação frncal o crco é:, τ τ v plcano a ranformaa Laplac: Dao q a conçõ nca ão nla: H Sabno q { } L, rmnamo: Rcrvno a prão: Dao o par n a a L, a > R, mo q { } n L, com R >. m, obmo: n O gráfco v() () ão morao a gr. Tranformaa nvra Laplac. écnca ma commn lzaa para achar a ranformaa nvra Laplac é a panão m fraçõ parca. Ea écnca é mlhor lraa no mplo gn. om o objvo alar no cálclo ranformaa nvra, aprnamo a gr a abla com o par ranformaa a propra já aa.

4 Par Tranformaa Laplac () δ( ) para oo a α T rc T a a ( ) ( ) ( ) ( ) a ( a) co( ) ( ) n( ) ( ) co( ) ( ) a a n( ) ( ) ( T ) α T R > R > R R > a > a R > R > R R > a > a R > Propra a Tranformaa Laplac ( conan) Y ( ) ( ) ( ) ( ) τ Torma o alor ncal: lm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( a) a a ( ) h( ) ( ) H ( ) ( ) Torma o alor Fnal: lm lm ( ) 9

5 9 Emplo. Drmn a ranformaa nvra. Solção. Rcrvno,. Obrvamo q nal po r compoo m a fraçõ o gn moo:, on ão conan a rmnar. Ea forma rprnar é nomnaa panão m fraçõ parca é a frramna prncpal para obr a ranformaa nvra. Ragrpano a panão, mo. omparano a úlma prão com a prão aa, galamo o rmo no nmraor q mlplcam a poênca. rmo m : rmo m : Porano, rmnamo. m,. onlano a abla ranformaa: Emplo. Drmn a ranformaa nvra. Solção. Novamn, mo. compoção m fraçõ parca é:, on, ão a conan a rmnar. Pomo mprgar a mma écnca lzaa no mplo anror. Porém, aq nconraríamo m ma mlâno qaçõ ncógna. Para var rolvr po ma, ralzamo o pao m qüênca: () Mlplcamo a panão plo faor a raz o polnômo nomnaor. Por mplo, para rmnar o cofcn, famo o proo : () rbímo a o valor a raz o polnômo nomnaor corrponn: E méoo, porano, rla Obmo rlao mlhan para : olano à prão, mo: [ ] Porano, rmnamo: onlano a abla ranformaa, nconramo:

6 96 Emplo. Drmn a ranformaa nvra. Solção. E nal já á com o nomnaor faorao. m, crvmo a compoção m fraçõ parca, on, ão a conan a rmnar. Plo méoo mprgao no mplo anror: Porano, rmnamo: Da abla ranformaa, nconramo: Emplo. Drmn a ranformaa nvra. Solção. compoção m fraçõ parca é, on ão a conan a rmnar. Drmnamo: 6 Porano: 6 Da abla ranformaa: 6