A Transformada de Laplace

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1 UFPEL IFM/DME - Equaçõ Difrnciai Tranformada ingrai: A Tranformada d Laplac Uma da difrn manira d rolvr quaçõ difrnciai linar é conidrar a chamada ranformada ingrai. Uma ranformada ingral é uma rlação qu ranforma uma função m oura mdian uma ingração. Ou ja, T é uma ranformada ingral qu ranforma a função f m F não pod r crio: b T(f(= K (, f ( d, a ond f é uma função dada qu é ranformada m F por mio da ingral dfinida indicada. A função F é chamada ranformada d f K é o núclo da ranformação T. O inr é uilizar a ranformada para ranformar um problma m f num problma m F (por mio d uma ranformada convnin, rolvr o problma m F (ond l dv r mai impl ou d olução conhcida não obr a olução m f mdian a ranformada invra. Exim difrn ipo d ranformada ingrai, cada uma apropriada para um cro conxo iuacional. No cao da ranformada d Laplac, o núclo é K(,= -, da forma, a ranformada á rlacionada à quaçõ difrnciai linar d coficin conan. Tranformada d Laplac A Tranformação d Laplac é uma ranformação linar qu auxilia na rolução d quaçõ difrnciai qu rprnam iuaçõ problma ou fnômno qu urgm no ambin profiional. O méodo d rolvr quaçõ por mio da ranformada d Laplac coni m rê apa principai: i inicialmn a quação difrncial é ranformada numa quação algébrica, mdian o cálculo da ranformada d Laplac d cada um do mmbro da quação difrncial, ii m guida a quação algébrica é rolvida por mio d manipulaçõ algébrica, obndo- uma olução da quação algébrica, iii a olução da quação algébrica é ranformada na olução procurada da quação difrncial uilizando- a ranformação invra d Laplac. E méodo é vanajoo m rlação a ouro méodo, poi lva m cona a condiçõ iniciai dd o início, m ncidad d drminar primiro a olução gral para dpoi obr a olução qu aifaz a condiçõ dada. Além dio, a ranformação d Laplac é pcialmn úil na buca d olução d quaçõ difrnciai qu rprnam iuaçõ d naurza dconínua ou impuliva, dcria por funçõ ccionalmn conínua. Chama- ranformação d Laplac (proco qu ranforma a ranformação L qu a cada função f, ral dfinida m (,, aifazndo drminada condiçõ (conínua por par d ordm xponncial: vr p. / do livro da bibliografia aocia a função

2 F : XR - f( d ond X é o conjuno do valor d para o quai a ingral imprópria convrg. A ranformação d Laplac d f é dnoada por L(f, ond L(f=F( ou L(f( = F( quando qur chamar anção para a variávl indpndn d f. Exmplo: S f é a função f : (, R dfinida por f( =, não a ranformada d Laplac d f é a função F:XR dada por - d = /, para. Aim, L(=/ para. D um modo gral, f : (, R não a ranformada d Laplac d f é a função F:XR dada por - f(d = F( S f( = a,, a R, não a ranformada d Laplac d f é dada por: (a- d = /(-a, para a. D manira análoga é poívl calcular a ranformada d Laplac d divra funçõ. Na maioria do cao da aplicaçõ é poívl calcular L(f como foi fio no xmplo anrior a parir do cálculo da ingral imprópria qu a dfin. O orma qu nvolvm a xiência da ranformada d Laplac d funçõ rão omiido, m prjuízo para noo objivo. Para maior dalh podm r conulado o livro indicado na bibliografia. Uma vz qu noa ma é uilizar a ranformação d Laplac para rolvr problma nvolvndo quaçõ difrnciai, farmo uo d uma abla qu coném a ranformada da principai funçõ qu aparcm na aplicaçõ. É imporan ralar qu a ranformada d Laplac d uma função, quando xi é única, qu dua funçõ conínua êm a mma ranformada d Laplac, não la ão iguai, ou ja, L(f=L(g não f = g, para um dado inrvalo ond m nido dfinir L(f L(g, (orma d Lrch. Propridad da Tranformada d Laplac A ranformação d Laplac poui vária propridad a parir da quai é poívl calcular a ranformada d alguma funçõ d manira mai fácil. Uma dla é a L linaridad: a ranformação d Laplac é uma ranformação linar, io é, f g admim L(f L(g, não L(af+bg = al(f + bl(g, para a,b R.

3 (oura propridad podm r nconrada no manual, livro da bibliografia. Propridad do Dlocamno: Muliplicar uma função por b é quivaln a ubiuir por -b na xprão d ua função ranformada. Ex.: L (cox. Calcul ( x L cox : Ex.: Ex.: L (nx. Calcul ( x L nx : 9 x L (cohx. Calcul L( cohx Exrcício Conul uma abla nconr a ranformada d Laplac da guin funçõ, conidrando a propridad linar da ranformação d Laplac: f( = f( = n( f( =. co( f( = k, k R f( = - co( f( = - n(. 7g( = n ( 8f( =, 9f(x = x + x - x g(y = y + -y q( = n( (x = x - Calcul, com auxílio da abla a guin ranformada: al(, bl( -, cl(n, dl(co, L(coh, fl(,nh, gl( -, hl( -, il( - co, jl( n, kl( - coh, ll(+ -, ml(,-, nl( +co-, ol(/+- - /, pl( -, co,, ql( -, m(/, rl( -, nh, L(co-n, L(/co-/n, ul(, vl(n+co,. Rpoa xrcício : - :, 9 k ( (,, 7 ( ( (

4 Rpoa xrcício : a, b, c, d, 9, f 9, g -, h (, i (, j 8 (, k (, l (, m, (, n ( ( (, o (, p, (,,, q / (, / 9, r (,, ( (, / ( ( (, u 9, v ( ( (, (, Tranformada Invra d Laplac Chama- ranformação invra d Laplac a ranformação L - (ranformação invra d L - qu a cada função F : XR, F(= f( d, aocia a função f: (,, ou ja, F( é a ranformada d Laplac d f(, não f( é a ranformada invra d Laplac d F(, ou ja, F( = L(f( não a ranformada invra d Laplac d F, qu rá dnoada por L - (F( é f(, ou ainda : F( = L(f( L - (F( = f(. Para calcular L - d uma função, rá uilizada uma abla d ranformada d Laplac. Exmplo: L - ( + = - poi L( - = + L - ( = n( poi L(n( = + + A ranformação L - é linar, ou ja, L - (af+bg = a L - (F + b L - (G = af( + bg(, ond L(f( = F( L(g( = G(. À vz, é ncário fazr alguma manipulaçõ algébrica na função dada.

5 Numrador: Muliplicar dividir plo mmo faor. Ex.: L - Ex.: L - Dnominador: Complar quadrado. Ex.: x +x+=(x+ + Ex.: L - Ex.: L - 8 Ex.: L - Ex.: L - 8 Exrcício Conidrando a propridad dfinição da ranformação invra d Laplac, nconr a ranformada invra d Laplac da guin funçõ: F(= F(= F(= H(= G(= - G(= 7 F(= - 8 G(= G( = + F(= + F(= F(= - G(= G(= H(= , H(= (- -

6 7 G(= H(= - 9 G(= F(=, - F(= - Rpoa: G(= H(= n(x nx co x x x x nh x 7 x 8 coh x nh x 9 x+x x+x cox+nx 7 x x x co x n x x ( x x x x 7 8 x x x x x x 8 ( n co 9 co x n x cox. x x coh nh x n 8x 8 x x co x n x co x n x Tranformada d drivada: S L(f( = F(, na condiçõ já aprnada, não mo: L(f (n ( = n L(f( - n - f( - n - f '( - n - f ''( f (n - ( - f (n - ( dd qu f ua drivada jam conínua para N, para N ral poiivo, d ordm xponncial para drminado valor d M, M. Exmplo: L(y' = L(y - y( L(y'' = L(y - y( - y'( Como fica L(y'''? A dmonração da propridad linar da ranformada d drivada podm r fia a parir da dfinição do oprador L ão nconrada no livro indicado na bibliografia. Exrcício

7 Tranform a quaçõ difrnciai abaixo m quaçõ algébrica mdian a uilização da ranformação d Laplac ua propridad: a y'+,y=, y(= olução: y(x=/(- -,x + -,x b y'+,y= y(= olução: y(x= -,x c q'+,q= q(=9 olução: q(=9 -, d I'+,I= I(= olução: I(=(- -, z'+,z=,x z(= olução: z(x=,x-,+, -,x f q'+,q= q(=, olução: q(=, -, +- g I'+I+,= I(= olução: I(=-/(- -8 h y'-y= y(= olução: y(x= x i y'-y= x y(= olução: y(x=x x j y''+y= y(=; y'(= olução: y(x=cox+nx Exrcício d aplicação d Tranformada d Laplac Rolva a quaçõ difrnciai abaixo: a y' ' 7y' y, y (, y' ( b q' q co, q ( c y' ' y' y, y (, y' ( d y' y nh, y ( y' y coh, y ( Rpoa: a Fraçõ parciai: A=, B=-/ C=/, olução: b Fraçõ parciai: A=/, B=/ C=-/, olução: c Fraçõ parciai: A=/, B-/ C=-, olução: d Fraçõ parciai: A=-/, B=/ C=/, olução: y( 8 co n n co. q( y( y( 7

8 Fraçõ parciai: A=/, B=/ C=-/, olução: y( Uando ranformada d Laplac, nconr a olução da guin quaçõ difrnciai: a. y'+y=, y(= olução: y(= -/ b. y'-7y=, y(= olução: y(= 7 - c.y''+y=, y(= y'(= olução: y(=co d. y''-y'=, y(= y'(=- olução: y(=-. y''+y'+y=, y(= y'(= olução: y(= - (+ f. y''-y'+y=, y(= y'(= olução: y(= g. z''+z'+z=x -x, z(= z'(= olução: z(x= ( +x+,x -x h. q''+q'-q=, q(= q'(=- olução: q(= - + i. x''+x=n, x(= x'(= olução: x(=/n-/n. Um circuio RCL ligado m éri com uma riência d ohm, um capacior d capaciância, farad uma induância d, hnry não m não aplicada. Drmin a corrn no circuio a carga inicial, no capacior é, C a corrn inicial é nula. Rpoa: I(=(/( A função H(= é a função d ranfrência num circuio abro. A rpoa ao ima é ( dada por L - (H(=y(. Enconr a rpoa ao ima, n cao, io é, y(. Qual o valor da rpoa ao ima quando = gundo? Rpoa: y(=,-,co y(=, +. S L(q(= nconr q(, io é, a função qu rprna a carga m cada inan. 8 Faça o mmo para a função qu rprna a corrn no circuio. Rpoa: q(= - co+ - n i(=- - n. S L(I(=, calcul a corrn m cada inan. ( ( Rpoa: I(= +co+n 8

9 7. A função G(= é a função d ranfrência num circuio abro. A rpoa ao ( - ( ima é dada por L - (G(=y(. Enconr a rpoa ao ima, n cao, io é, y(. Rpoa: y(=co- + Funçõ Sccionalmn Conínua Uma função é chamada ccionalmn conínua m um inrvalo (a,b, a função for conínua m cada ubinrvalo d (a,b o limi larai d f, m cada um do ubinrvalo for finio. Exmplo: Em cada cao a guir, boc o gráfico da função vrifiqu qu la é ccionalmn conínua, no inrvalo ond á dfinida. f( = g( = h( = - f( = - h( = - r( = n, > 9

10 Alguma funçõ ccionalmn conínua aparcm m quaçõ difrnciai qu rprnam problma d ngnharia. Uma dla é a chamada função calão uniário ou função impulo. Ela é dnoada dfinida por: u a ( = a a Faça o gráfico da função u a (. a A ranformada d Laplac da função u a ( é dada por: L(u a ( = -a / a (confira na abla. Exrcício Faça o gráfico calcul a ranformada d Laplac da funçõ guin: f( = u ( g( = u ( h( = - u ( f( = +u ( h( = u / ( h( = u (- u ( 7 r( = u (-u ( 8 u(=- u ( Em cada xrcício a guir, crva numa forma mai implificada a funçõ indicada faça o gráfico d cada uma dla. a u ( b u (n c u (co(- d u (n u / ((-/ fu ((- g-u ( h u, ( -, + Equaçõ Difrnciai Envolvndo Funçõ Sccionalmn Conínua Para rolvr quaçõ difrnciai nvolvndo funçõ ccionalmn conínua é ncário calcular a ranformada invra d funçõ qu nvolvm o rmo -a. Aim vamo udar o rulado guin, qu é um orma imporan dnro da oria d ranformada d Laplac. Sja F( = L(f(, para a ja c. Da forma f(=l - (F(. Enão: L(u a (f(-a = -a Lf(, a, ou ja, como f( = L - (F(, a xprão pod r cria aim: u a (f(-a = L - ( -a F(.

11 A parir d rulado é poívl calcular a ranformada invra da funçõ qu aparcrão na rolução da quaçõ difrnciai qu nvolvm funçõ ccionalmn conínua. Exrcício Conidrando o concio dfiniçõ anrior, calcul a ranformada invra d Laplac da funçõ guin. Expr a função f(=l - (F(, indicando o inrvalo ond la muda d comporamno faça o gráfico da função obida, m cada cao. F( = - /(+ G( = - /( + F( = - /(+ F( = - / G( = - /( + H( = -/ /( + 7 F( = (- - / 8 G( = - /( + 9 H( = (+ - / H( = - /(- G( = - /(+ F( = (+ - / T( = - /( -+ F( = - /( ++ G( = - /( + G( = -/ /( - 7 R( = (-/ (+/( + 8H( = (-/ (-/( Rpoa: u ( -+ u (,n(- u ( [ ] u (,( u ( n( u, ( n (, 7 u ( ( 8 u ( [co( ] 9 u( ( 9 u ( ( [ ] u u( (,( u ( ( u( [ n,7( ],7

12 u ( co ( u coh (,, ( 7 u ( [co ( n ( ] 8 u ( ( Rolva a quaçõ abaixo, uilizando a ranformada d Laplac. a y''+y = y(= y'(= Rpoa: y(=co [, ;,+,7 para [, ] co para [, b y''+y = f(x ond f(x= x x y(= y'(= Rpoa: y(=u ((-co(-+co( c y''+y'+y = y( = y'( = Rpoa: y(=-u ((- -+ d y'+y = y( = Rpoa: y(=(- - -u ((- - y''+y = / y( = y'( = / Rpoa: y(=+n-co+u / ((-co(-

13 Conidr a função d ranfrência d uma malha abra, dada por -/ (, + G(= (, Calcul a rpoa do ima a um ímulo inicial, qu é rprnada por y( = L - (G(. Qual o valor da rpoa do ima para =, para =? Rpoa: y u ( (co (, n (, (, Idm para a funçõ guin: a G( = - ( +( + -, c F( = ( +, - ( - b G( = (, +( + - d H(= ( Rpoa:,( ( a y ( u ( b,9 y ( u ( (, 9,9,( c,, y ( u (, d, y( u (,( n,7(,7 Exrcício Exra: Um circuio RC m E(=u (, riência d ohm, capaciância d - farad inicialmn uma carga d coulomb no capacior. Enconr a função qu dá a carga a função qu dá a corrn m cada inan. Calcul a carga para = para =. Rpoa: q (,u ( ( Enconr a corrn m = num circuio RL ond R= ohm, L= hnry, E(=-u (, ndo qu a corrn inicial no circuio é nula. Rpoa: I ( ( u( (

14 Enconr a oluçao da quação difrncial ' y y com condição inicial y(=, aravé da ranformada d Laplac. Ecrva a olução numa forma mai implificada faç a o gráfico da função nrada. Rpoa: ( ( ( ( u y Enconr a olução da quação difrncial ' ' y y com condiçõ iniciai y(= y (=, aravé da ranformada d Laplac. Ecrva a olução numa forma mai implificada. Faça o gráfico da função nrada nconr y(: Rpoa: ( co ( co ( u y Num circuio RC, R= ohm, C=, farad E(=u (-u (. Supondo qu a carga inicial ja d coulomb, nconr a carga m cada inan d mpo, crvndo-a numa forma mai implificada faça o gráfico da função nrada: Rpoa:, (, ( ( u u q