Capítulo IV TRANSFORMADAS DE LAPLACE

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1 Cpíulo IV TRANSFORMADAS DE LAPLACE

2 Cpíulo IV Trnormd d Lplc Cpíulo IV O méodo d rnormd d Lplc rolv quçõ dirncii corrpondn problm d vlor inicil problm d vlor ronir O proco d olução coni m rê po principi: Primiro po O diícil problm ddo é rnormdo num qução impl qução ubidiári Sgundo po A qução ubidiári é rolvid purmn por mnipulçõ lgébric Trciro po A olução d qução ubidiári é rnormd novmn pr obr olução do problm ddo D modo, rnormd d Lplc rduz o problm d rolução d um qução dirncil num problm lgébrico O rciro po é impliicdo por bl, cujo objcivo é imilr o d bl d ingri n ingrção E prmu nr oprçõ d cálculo oprçõ lgébric n rnormd é chmd cálculo oprcionl, um ár muio imporn m mmáic plicd, o méodo d rnormd d Lplc é pricmn o méodo mi imporn pr propóio N vrdd, rnormd d Lplc êm numro plicçõ n Engnhri, ndo priculrmn úi m problm ond orç moriz mcânic ou lécric m dconinuidd, é impuliv ou priódic m não mrmn um unção no ou cono Our vngm é qu o méodo rolv problm dircmn N vrdd, o problm d vlor inicil ão rolvido m drminr primiro um olução grl Similrmn, quçõ não homogén ão rolvid m primiro rpondr à corrpondn qução homogén Trnormd d Lplc Anirnormd Linridd Sj () um unção dd qu é dinid pr odo o Muliplic- () por ingr- m rlção d zro é o ininio Enão, o ingrl ruln xi io é, m lgum vlor inio - é um unção d, digmo, F () : 76 Pro Alzir Dini

3 Cpíulo IV Trnormd d Lplc F () = () d E unção F ( ) d vriávl é chmd rnormd d Lplc d unção originl ( ), rá nod por ( ) F () = L ( ) = () L Aim d Porno lmbrmo: unção dd dpnd d nov unção u rnormd dpnd d A oprção dcri, qu origin F () prir d (), é mbém chmd rnormd d Lplc Pr lém dio, unção originl ( ) m F() = ( ) = () L d é chmd L ; - rnormd invr, nirnormd ou invr d F ( ) rá nod por ( ) io é, crvrmo () = L - ( F ) Noção A unçõ origini ão nod por lr minúcul u rnormd pl mm lr m mícul, d modo qu F ( ) rprn rnormd d () Y ( ) rprn rnormd d y (), im ucivmn Exmplo Sj () = qundo Enconr ( ) F D F() = L ( ) = () d obmo por ingrção L ( ) L( ) = d = = ; im, qundo >, L () = = O ingrl com inrvlo d ingrção nr zro é chmdo um ingrl impróprio, por dinição, é clculdo d cordo com rgr () d = lim () T T T d = lim lim = T = T + ( > ) o d Aim no noção igniic Exmplo Sj () = qundo L, ond é um conn Enconr ( ) 77 Pro Alzir Dini

4 Cpíulo IV Trnormd d Lplc Novmn por F() = ( ) = () não, qundo >, ( ) ( ) L d, L ( ) = d = ; L = Srá qu dvmo coninur d modo obr rnormd d um unção pó our dircmn prir d dinição? Não! A rzão é qu rnormd d Lplc m mui propridd gri qu ão úi pr propóio Acim d udo, rnormd d Lplc é um oprção linr l como dirncição ingrção Signiic qu: Torm A rnormd d Lplc é um oprção linr, io é, pr quiqur unçõ () () b, L { () bg() } = L{ ( ) } + bl{ g( ) } g cuj rnormd d Lplc xim quiqur conn + Dmonrção Por dinição, L { () bg() } = [ () + bg() ] d = () d b g() d = L { () } + bl{ g( ) } + + Exmplo Sj () coh = ( + ) L = Enconr ( ) A prir do orm nrior do xmplo nrior obmo L ( coh ) = L( ) + L( ) = + ; io é, qundo > ( ), + L ( coh ) = Exmplo Sj F() = ( )( b) - Enconr ( F ), b L 78 Pro Alzir Dini

5 Cpíulo IV Trnormd d Lplc O invro d um rnormção linr é linr Por rdução d rcção prcil b b - obmo im do pnúlimo xmplo L ( F ) = L = = b - - L L = b b prnd no im d cpíulo b ( ) -, o qu prov ª órmul Exmplo Sj F() = b, b ( )( ) L - Enconr ( F ) Uilizndo idi do xmplo nrior, obmo = b b b b ( b ) - L = - L ( )( b) = Um pqun li d lgum unçõ lmnr imporn d u rnormçõ d Lplc é dd n bl qu gu Um li mi xn virá no im Um vz bid rnormd bixo, qu od rnormd qu ncirmo podm r obid rvé d uilizção d lgun orm impl qu vrmo A rê primir órmul d bl ão co pcii d qur órmul E úlim é provd por indução como gu Vriic- pr n = dvido o primiro xmplo! = Vrmo gor hipó d indução qu vriic pr qulqur iniro poiivo D F() = ( ) = () L n n+ n+ ingrção por pr ( ) ( ) = d = + + n + livr do ingrl é zro pr = pr n ( n ) L( ) L L d obmo n d A pr O ldo dirio é igul + Dqui d hipó d indução obmo n+ n + n ( ) ( ) ( n + ) n! ( n + ) L = =! = n+ n+ Io prov 4ª órmul 79 Pro Alzir Dini

6 Cpíulo IV Trnormd d Lplc Algum unçõ ( ) u rnormd d Lplc L ( ) () ( ) L ( ) L ( ) 6 7 co + 3 3! 8 in + 4 n ( n =,, ) n! n+ 9 coh 5 ( poiivo) Γ ( + ) + inh Γ( +) n órmul 5 é chmd unção gm obmo órmul 5 prir d F () = ( ) = () + L d, dinindo x x Γ = x dx = ( + ) + din Γ( +) No- qu ( n + ) = n! L x dx x = : ( ) = d = =, >, porqu o úlimo ingrl é prcimn o qu Γ qundo n é um iniro não ngivo, d modo qu órmul 4 mbém gu à órmul 5 A órmul 6 oi dmonrd no gundo xmplo Pr dmonrr órmul 7 8, dinimo = i n órmul 6 Enão ( i ) + i + i L = = = = + i i ( i )( + i ) Por ouro ldo, plo orm nrior i = co + iin, vm ( i ) L( co + iin) = L( co) il( in) L = + Equcionndo pr rl imginári d du quçõ, obmo órmul 7 8 A órmul 9 oi dmonrd no rciro xmplo, órmul pod r dmonrd d um orm imilr 8 Pro Alzir Dini

7 Cpíulo IV Trnormd d Lplc Exiênci d Trnormd d Lplc Concluindo pr inroduóri, dvrímo dizr lgo quno à xiênci d rnormd d Lplc: Pr um ixo o ingrl m F() = L ( ) = () xiirá odo o ingrndo ( ) qu nd pr zro uicinmn rápido à mdid, digmo, plo mno como um unção xponncil com xpon γ ngivo Io origin diguldd ( ) M d bixo no ubqun orm d xiênci () não nci d r conínu Io é d imporânci práic um vz qu nrd dconínu orç moriz ão prcimn qul pr qui o méodo d rnormd d Lplc orn priculrmn úil É uicin qu () j conínu por pr m odo o inrvlo inio n gm Por dinição, um unção () é conínu por pr num inrvlo inio b () é dinid n inrvlo é l qu o inrvlo pod r ubdividido m muio inrvlo inio, m cd um do qui ( ) é conínu m limi inio à mdid qu proxim d cd um do pono ini do inrvlo d ubdivião prir do inrior Sgu- d dinição qu o lo inio ão únic dconinuidd qu um unção conínu por pr pod r; ão conhcid como dconinuidd ordinári A igur o ldo mor um xmplo d um unção conínu por pr, ond o pono mrcm o vlor d unção no lo A cl d unçõ conínu por pr inclui od unçõ conínu b Torm Sj () um unção qu é conínu por pr m odo o inrvlo inio n gm γ qu iz ( ) conn γ M Enão rnormd d Lplc d ( ) M - pr odo - pr lgum xi pr > γ Dmonrção Um vz qu ( ) é conínu por pr, ( ) é ingrávl obr γ qulqur inrvlo inio no ixo do D ( ) M, umindo qu > γ, 8 Pro Alzir Dini

8 Cpíulo IV Trnormd d Lplc = γ M L d M d = ond condição γ obmo ( ) () d () > γ oi ncári pr xiênci do úlimo ingrl A condiçõ d úlimo orm ão uicin pr mior pr d plicçõ é ácil d dcobrir um dd unção iz um diguldd d orm γ () M Por xmplo, coh <,! n =,, ) pr odo o > - qulqur n < n ( unção limid m vlor boluo pr odo o, l como unçõ no cono d um vriávl rl, iz qul condição Um xmplo d um unção γ qu não iz um rlção d orm ( ) M é unção xponncil, γ porqu, não inrndo M γ colhido jm m ( ) M muio grnd, vriic- qu > M γ pr odo o >, ond é um númro uicinmn grnd, dpndndo d M γ Dv rir- qu condiçõ no orm nrior ão uicin m vz d ncári Por xmplo, unção é inini pr =, m u rnormd xi; d co, prir d dinição Γ( ) = π obmo x π L = d = x dx = Γ = Solução únic S rnormd d Lplc d um dd unção xi, é drmind d modo único Conqunmn, pod morr- qu du unçõ mb dinid no ixo rl poiivo êm mm rnormd, unçõ não podm dirir m vário pono ioldo Um vz qu não m imporânci n plicçõ, podmo dizr qu invr d um dd rnormd é ncilmn únic Em priculr, du unçõ conínu êm mm rnormd, l ão complmn idênic Trnormd d Drivd Ingri Dicuirmo plicrmo gor propridd mi crucil d rnormd d Lplc, nomdmn, lndo um pouco groirmn, qu dirncição d 8 Pro Alzir Dini

9 Cpíulo IV Trnormd d Lplc unçõ corrpond à muliplicção d rnormd por Aim, rnormd d Lplc ubiui oprçõ d cálculo por oprçõ d álgbr m rnormd Io é rumidmn, idi báic d Lplc, pl qul o dvmo dmirr O primiro orm diz rpio à dirncição d ( ) o gundo à xnão drivd d ordm uprior: Torm Suponh- qu ( ) γ é conínu pr odo o, iz () M, pr lgum γ M, m um drivd ( ) qu é conínu por pr m cd inrvlo inio n gm Enão rnormd d Lplc d drivd () xi qundo > γ, L ( ) = L( ) ( ) Dmonrção Conidrrmo primiro o co qundo ( ) é conínu pr odo o Enão pl dinição por ingrção por pr, ( ) = () d = () [ ] + () L d Um vz qu iz γ () M, pr ingrd à diri é zro no limi uprior qundo > γ, no limi inrior é ( ) O úlimo ingrl é ( ) L, ndo xiênci pr > γ um conquênci do úlimo orm n do qu dmonrmo gor Io prov qu xprão à diri xi qundo > γ, é igul ( ) + L( ) Conqunmn, ( ) L xi qundo > γ L vriic-, ( ) = L( ) ( ) S drivd () é mrmn conínu por pr, dmonrção é bn imilr; n co, gm d ingrção no originl dv r prd m pr i qu é conínu m cd um d pr No E orm pod plicr- mbém unçõ conínu por pr (), m m vz d L ( ) = L( ) ( ), obmo órmul L ( )= = L ( ) ( ) [ ( + ) ( ) ] Aplicndo ( ) = L( ) ( ) gund drivd () obmo ( ) = L( ) ( ) = [ L( ) ( ) ] ( ) 3 io é, L ( ) = L( ) ( ) ( ) Similrmn, L ( ) = L( ) ( ) L à L ; 83 Pro Alzir Dini

10 Cpíulo IV Trnormd d Lplc ( ) ( ) nrior:, c Por indução obmo im guin xnão do Torm ( n Torm Sjm () u drivd ( ), ( ),, ) ( ) pr odo o ( ) () γ, izndo ( ) M, unçõ conínu, pr lgum γ M, j drivd n conínu por pr m odo o inrvlo inio n gm Enão rnormd d Lplc d ( ) ( ) ( n) n n n ( n ( ) = L( ) ( ) ( ) ) ( ) L n xi qundo > γ, é dd por Exmplo Sj () L = Enconr ( ) Um vz qu ( ) =, ( ) =, ( ) =, L ( ) = L( ) =, obmo d L ( ) = L( ) ( ) ( ), L( ) = L( ) = = L( ) Aim L ( ) =, d 3 cordo com órmul d bl O xmplo é ípico, dmonrndo qu m grl xim vári mnir d obr rnormd d unçõ dd Exmplo Dduz rnormd d Lplc d co in Sj () = co Enão ( ) = co = ( ) ( ) =, ( ) = d L ( ) = L( ) ( ) ( ), vm ( ) = L( ) = L( ) + Dqui, não L ( ) = L( co) = Similrmn pr g( ) = in Enão ( ) = g, L + g ( ) =, L( g) = L( g ) = L( g), im ( g) = L( in) = L Exmplo Sj () = in Enconr ( ) Tm- ( ) =, ( ) = ; ( ) = co () = in + co in = co ( ), porno rvé d L ( ) = L( ) ( ) ( ) m- L( ) = L( co) L( ) = L( ) Uilizndo órmul d co 84 Pro Alzir Dini

11 Cpíulo IV Trnormd d Lplc L L + pr rnormd d Lplc obmo ( + ) ( ) = ( co ) = Aim, o ruldo é ( in) L = ( + ) Equçõ Dirncii Problm d Vlor Inicil y y by r y = K Conidrmo um problm d vlor inicil + + = ( ) ( ), ( ) K, com conn b Aqui ( ) y =, r é nrd orç moriz plicd o im y () é íd rpo o im No méodo d Lplc m- rê po: y y by r, y K y = K, Primiro po Trnormmo + + = ( ) ( ) = ( ) rvé d L ( ) = L( ) ( ) L ( ) = L( ) ( ) ( ), crvndo Y [ ] + Y y( ) = L( y) R = L() r Io dá Y y( ) y ( ) [ ] + by R() = chmd qução ubidiári Ordnndo o rmo m Y, m- ( + + b) Y = ( + ) y( ) + y ( ) + R( ) Sgundo po A divião por + + b uilizção d chmd unção d rnrênci, mbém conhcid por H, Q() = dá-no olução d + + b qução ubidiári Y ( ) = [( + ) y( ) + y ( ) ] Q( ) + R( ) Q( ) ( ) = y ( ) = é S y, io é implmn Y = RQ ; im Q é o quocin L( íd) L( nrd) Y Q = = io xplic o nom Q No- qu Q dpnd omn R d b, m não d r () nm d condiçõ inicii Trciro po Rduz- Y ( ) = [( + ) y( ) + y ( ) ] Q() + R() Q(), normlmn por rcçõ prcii, como no cálculo ingrl, um om d rmo cujo invro podm r nconrdo rvé d bl, d orm qu olução y() = L ( Y ) d y + y + by = r( ), y( ) = K, y ( ) = K obid j 85 Pro Alzir Dini

12 Cpíulo IV Trnormd d Lplc y y Exmplo Rolv y =, y( ) =, ( ) = L d bl nrior m- qução ubidiári D ( ) = L( ) ( ) ( ) ( ) y ( ) Y Y y =, im, ( ) = + rnrênci é Q = ( ) ( ) = ( + ) y( ) + y ( ) = + Y ( + ) Q + Q = + = + ( ) Y + A unção d [ ] Q( ) R( ) Q( ) Y + ic D xprão pr Y d bl obmo olução y() = L ( Y ) = L + L L = + inh O digrm guin rum no proximção: Epço Méodo d rnormd d Lplc Epço Problm ddo y y = y ( ) = y ( ) = Equção ubidiári ( ) Y = + + Solução do problm ddo y = + inh () Solução d qução ubidiári Y = + N práic, m vz d juiicrmo o uo d órmul orm n méodo, vriic- implmn no im y ( ) iz qução condiçõ inicii dd A vngn d méodo ão ncilmn du: não há drminção d um olução grl d qução homogén; não há drminção d vlor pr conn rbirári num olução grl Problm d lrção do ddo é um nom curo pr problm d vlor inicil no qui condiçõ inicii rrm um inn mi rdio do qu = O 86 Pro Alzir Dini

13 Cpíulo IV Trnormd d Lplc xmplo mi impl guin xplic como rolvr um problm d pl rnormd d Lplc Exmplo Rolv o problm d vlor inicil y + y =, y π = π, 4 y π = 4 Podmo vr qu y = Aco + Bin + é um olução grl, bmo como dvrímo procdr dqui m din pr nrr com condiçõ inicii O qu vmo prndr é como é qu podmo coninur com rnormd d Lplc mbor y ( ) ( ) y jm dconhcido: º po (blcimno d qução ubidiári) D L ( ) = L( ) ( ) ( ) d bl obmo Y y( ) y ( ) + Y = º po (olução d qução ubidiári) Rolvndo lgbricmn undo rcçõ prcii m- Y = + y ( ) ( ) ( ) + y + + ( + ) + y ( ) ( ) ( ) + y = + 3º po (olução do problm ddo) D bl vm y ( Y ) y = L n orm ( ) = + y( ) co + [ y ( ) ] in = + Aco + Bin - ond y( ) A = B = y ( ), m io já não m inr A primir condição inicil origin y π = π + A + B = π, im B = A Por dirncição, 4 () = Ain + B co y Pl gund condição inicil m- y π = A + B = Tm- A =, B = rpo 4 () co in + y = 87 Pro Alzir Dini

14 Cpíulo IV Trnormd d Lplc Trnormd d Lplc do Ingrl d um Função Um vz qu dirncição ingrção ão proco invro, um vz qu, groirmn lndo, dirncição d um unção corrpond à muliplicção d u rnormd por, pr- qu ingrção d um unção corrpond à divião d u rnormd por, porqu divião é oprção invr d muliplicção Torm S () é conínu por pr iz um diguldd d orm τ ( >, > γ ) γ () M, não L ( ) dτ = L{ () } Dmonrção Suponh- qu ( ) γ é conínu por pr iz () M pr lgum γ M É óbvio qu úlim xprão vriic pr γ ngivo, mbém vriic pr γ poiivo, podmo umir qu γ é poiivo Enão o γ ingrl g() = ( τ ) dτ é conínuo undo ( ) M obmo g M γ M γ γτ γ γ () ( τ ) dτ M dτ = ( ) ( γ > ) Io mor qu g () γ mbém iz um diguldd d orm ( ) () (), xcpo no pono pr o qui ( ) g = M Pr lém dio é dconínu Aim g () é conínu por pr m cd inrvlo inio,, plo primiro orm rlivo rnormd d drivd ingri, { ( ) } = L{ g ( ) } = L{ g( ) } g( ) Aqui, g ( ) é clrmn igul zro, porno ( ) L( g) irmmo cim no orm: L ( τ ) dτ = L{ () } L ( > γ ) compnhir úil, qu obrmo crvndo L { ( ) } = F( ) L = Io implic o qu E qução m um, rocndo o doi mmbro clculndo rnormd invr m mbo Aim L F() = () τ dτ 88 Pro Alzir Dini

15 Cpíulo IV Trnormd d Lplc Exmplo Sj L ( ) Enconr ( ) = ( + ) D bl já no conhcid vm L + = in Dqui do úlimo + orm obmo rpo L = inτdτ = ( co) prov órmul 9 qu vrmo no im d cpíulo Io Exmplo - Sj L ( ) = Enconr ( ) ( + ) Aplicndo o úlimo orm à rpo no xmplo nrior, obmo órmul + in djd: L ( ) = coτ dτ = órmul qu vrmo no im do cpíulo Io prov Dvio d Dvio d Função Eclão Uniário Sbmo qu rnormd d Lplc é linr, qu dirncição d () corrpond groirmn à muliplicção d L ( ) por, qu propridd é ncil n rolução d quçõ dirncii Pr nconrr plicçõ i qu rnormd d Lplc po morr o u rl vlor, mo primiro qu dduzir mi lgum propridd Du propridd muio imporn dizm rpio o dvio do ixo o dvio do ixo, como xpr no doi orm guin Dvio : Subiuição d por m F ( ) Torm S () m rnormd F ( ) ond > γ rnormd F( ) ond > γ ; im, { ( ) } = F( ) L { ()} = F( ), não () m L, não 89 Pro Alzir Dini

16 Cpíulo IV Trnormd d Lplc Aim, conhcrmo rnormd F ( ) d ( ) nconrmo rnormd d ( ) do ixo - io é, por ubiuição d por nconrr ( ) F, rvé do dvio, pr F() F ( ) b No Tomndo rnormd invr m mbo o mmbro inrgindo com o mmbro qurdo dirio obmo d ( ) { F( ) } = ( ) L { } = F( ) L qução Dmonrção Por dinição, F() = () d, porno, F ( ) ( ) = () d = () [ ] d = L{ () } n! = L =, n+ n Exmplo Aplicndo o orm nrior à órmul () ( ) + () = co L ( ) = () = in ( ) = nrior, obmo o guin ruldo: L, d bl + ( ) L ( ) n co in n! ( ) n+ ( ) + ( ) + O qu prov órmul 8, 9, 7 8 qu vrmo no im do cpíulo Exmplo Um bol d rro com m m = á gur n xrmidd inrior d um mol láic cuj xrmidd uprior á ix, ndo o módulo d 9 Pro Alzir Dini

17 Cpíulo IV Trnormd d Lplc licidd k = Sj y () o dlocmno d bol prir d u poição d quilíbrio áico Drmin vibrçõ d bol, comçndo n poição inicil y ( ) = com vlocidd inicil y ( ) = 4, umindo qu xi morcimno proporcionl à vlocidd, ndo conn d morcimno c = 4 O movimno é dcrio pl olução y ( ) do problm d vlor inicil ( ) =, ( ) = 4 y + y + 5y =, y y A qução ubidiári é ( + + b) Y = ( + ) y( ) + y ( ) + R( ), io é, ( + + 5) Y = ( + ) 4 + ( + + 5) Y = ( + ) 4 A unção d rnrênci é Q () = im mo Y () = [( + ) 4] + Q() Y () = = + Enão L = co, L = in ( + ) + ( + ) Dqui do orm nrior obmo o ipo d olução prd y = L Y = co in () ( ) ( ) y Exmplo Rolv o problm d vlor inicil y y + y = +, ( ) =, ( ) = y A qução ubidiári é ( Y ) ( Y ) + Y = + m Y, m- ( ) ( ) Y = + ( ) ( ) 3 ( ) Ordnndo o rmo + Y = Y = + + Tm- im + rmo é ( ) ( ) ( ) ( ) = Aplicmo gor o primiro orm O primiro = invr: A invr do gundo rmo é pl bl plo úlimo orm Em rmo d rcçõ prcii, o úlimo rmo é = A ( ) ( ) + B C D + + A muliplicção plo dnomindor comum origin = A + B ( ) + C( ) + D( ) I Pr = 9 Pro Alzir Dini

18 Cpíulo IV Trnormd d Lplc m- C = Pr = m- A = Equcionndo om do rmo m 3 igulndo zro m- D + B =, D = B Equcionndo om do rmo m igulndo zro obém- C + D =, D =, B = D = A om d invr: + + A invr rul d bl do orm nrior Ordnndo o rmo, nconrmo rcçõ prcii é gor ( ) y L () ( ) = Y = + + ( ) + + = Dvio : Subiuição d por m ( ) O orm qu vimo nriormn diz rpio o dvio do ixo : ubiuição d m F () por corrpond à muliplicção d unção originl () por Vrmo gor o gundo orm, qu diz rpio o dvio do ixo : ubiuição d m () por corrpond groirmn à muliplicção d rnormd F ( ) por ; ndo u ormulção guin: Torm S () m rnormd ( ) F, não unção ~ < () = com rbirário m rnormd ( ) F() Aim > conhcrmo rnormd F ( ) d ( ), nconrmo rnormd d unção ~ (), cuj vriávl oi dvid dvio do ixo - muliplicndo F () por Função Eclão Uniário ( ) u Por dinição, ( ) u é igul zro pr <, m um crécimo d mnho m = é pr > : u( ) = < > ( ) 9 Pro Alzir Dini

19 Cpíulo IV Trnormd d Lplc A igur mor o co pcil u ( () ) u m zro, igur guin: mor o co grl u( ) pr um vlor rbirário poiivo A unção clão uniário é mbém chmd unção Hviid A unção clão uniário ( ), qu m o crécimo u é um bloco d conruçõ báic d vári unçõ, como vrmo, umn grndmn uilidd do méodo d ~ rnormd d Lplc Podmo uá-l pr crvr () n orm u ( ) ( ) u( ), io é, ( ) u( ) E é o gráico d () A du igur guin morm um xmplo Rprnm rpcivmn curv cono () co = < > ( ) pr >, m dvido unidd pr diri = pr > curv ( ) u( ) = co( ) u( ) obid por dvio d unidd pr diri Pr < = unção é nul porqu u ( ) m propridd Undo órmul ( ) u( )= < = ( ) > podmo não gor rormulr o úlimo orm: co co ( ) u( ) Pi +Pi Torm S () = F L { } ( ), não { ( ) u( ) } = F( ) L 93 Pro Alzir Dini

20 Cpíulo IV Trnormd d Lplc No S omrmo nirnormd m mbo o mmbro d qução nrior o rocrmo, obmo órmul complmnr F( ) { } = ( )( u ) L τ ( τ + ) Dmonrção D dinição mo F() = () τ dτ = ( τ ) Subiuindo dτ τ + = no ingrl, obmo F() = ( ) d Podmo crvr io como um ingrl d no criicrmo qu o ingrndo é nulo pr odo o d zro Podmo congui-lo cilmn muliplicndo o prn ingrndo pl unção clão u( ), obndo im L { ( ) u( ) } = F( ) complmnndo dmonrção: F( ) ( ) u( ) d = = L { ( ) u( ) } A rnormd d unção clão uniário ( ) = u é L { u( ) } = ( > ) E órmul gu- dircmn d dinição porqu L { u( ) } = u( ) d = d + d = Vmo conidrr doi xmplo impl d plicção do qu vimo Exmplo Enconr rnormd invr d 3 3 L = 3 Um vz qu ( ), o orm nrior dá-no 3 ( 3 ) = L ( ) 5 = < 3 = ( 3) > 3 ( 3) u( 3) < < π Exmplo Enconr rnormd d unção () = π < < π in > π m rmo d unçõ clão Pr < < π, ommo u() Pr > π qurmo zro, porno mo qu ubrir unção Primiro po Ecrvmo ( ) Pro Alzir Dini

21 Cpíulo IV Trnormd d Lplc clão u( π ) com lo m π Tmo não ( ) u( π ) = u qundo > π Io á bm é ingirmo π ond qurmo qu nr unção in ; porno dicionmo u( π ) in Tudo juno, ( ) u( ) u( π ) + u( π ) in = Sgundo po O úlimo mmbro é igul ( π ) in( π ) u dvido à L = pridiocidd, d modo qu L { ( ) u( ) } = F( ), { u( ) } bl no prmim obr ( ) () π π L = + + Pi Pi 3Pi 4Pi Trnormd d Lplc Fórmul Gri F Fórmul () = L { () } = ( ) () = L { F( ) } d Nom, Comnário Dinição d Trnormd Trnormd Invr { () bg() } = L{ ( ) } bl{ g( ) } L + + Linridd L L ( ) = L( ) ( ) L ( ) = L( ) ( ) ( ) ( n ( ) n n ) ( ) ( ) ( n = L ) ( ) L ( τ ) dτ = L( ) α L { () } = F( ) L { F( ) } = ( ) L { ( ) u( ) } = F( ) { F() } = ( ) u( ) L Dirncição d Função Ingrção d Função Dvio (º Torm do Dvio) Dvio (º Torm do Dvio) 95 Pro Alzir Dini

22 Cpíulo IV Trnormd d Lplc Tbl d Trnormd d Lplc F ( ) = L{ ( ) } ( ) n 3, ( n =,, ) n ( n )! 4 π 3 5 π 6 ( > ) Γ( ) 7 8 ( ) 9 ( ) n, n =,, n ( n )! ( ) k ( n > ) Γ k ( k ) ( )( b) b ( ) ( ) b b ( )( b) b ( ) ( ) b b b 3 + in 4 + co 5 inh 6 coh 96 Pro Alzir Dini

23 Cpíulo IV Trnormd d Lplc F ( ) = L{ ( ) } ( ) ( ) + ( ) + ( + ) in co ( co) ( + ) 3 ( in ) ( + ) 3 ( in co) u( ) 97 Pro Alzir Dini