Transformada de Laplace Solução de Modelos Lineais

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Aníbal Giovanni Mendes Farias
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1 TEQ CONTROE DE PROCESSOS Dmo d Eghi Químic d Pólo UFF Tfomd d lc Solução d Modlo ii Pof Niok Bojog A Tfomd d lc EDO: dy 5 y y d Equção Difcil Odiái Equção Algéic y -,8,5,5 Solução d Equção Difcil - Solução d Equção Algéic

2 Po qu Tfomd d lc? Eco olução d qução difcil udo álg. Rlção com Tfomd d Foui, o qu mi um mi fácil d cciz im. Não há cidd liz um oção d covolução o il d d o d olução d qução difcil. Úil m im d cool múlilo oco A Tfomd d lc Dfiição: Dd um fução f dfiid o ivlo [, dfiimo u fomd d lc, F, o f F [ f ] d od é um viávl comlx j. σ F é chmd fomd d lc d f. F é um fução coíu um ivlo [, F ão coém hum ifomção o f <. A ifomção d m f < é ilv.

3 A Tfomd Iv d lc F { f } f d f { F } πj σ j σ j F d 5 é um viávl l, é um viávl comlx! A T. Iv qu um áli comlx olv No qu fomd : f F, od é igd é um viávl E iv d F f, é um viávl é igd Aum f odo < Rvião d Viávi Comlx fuçõ comlx j Tom d Eul co j i 6 Pov: Coid xõ d éi d Tylo d fuçõ x x 6 θ θ θ x x coθ!!!! 6! 5 7 θ θ θ iθ θ! 5! 7! coθ j iθ j j Cooláio co i j j j

4 [ f ] f d, <, [ ], d [ ] d d lim 7 A! [ A ] f Aco ω, jω jω [ Aco ω ] A jω jω A A A A A jω jω jω jω jω jω A ω

qi Flujo d d A á do qu h R qo Fluxo d íd iêci d válvul 5 5 5 5 5-5 -5-5 6 7 8 9-5 6 7 8 9 Ed do oco fução foç ou ímulo

5 qi Flujo d d A á do qu h R qo Fluxo d íd iêci d válvul Ed do oco fução foç ou ímulo Síd do oco o o ímulo 9 Fuçõ d Tfomd d lc Dgu uiáio, f, >. { f }, R{ } > d [ f ] mo Rm, f, >. d d { f }, R{ } > [ ] d m mo

6 Tfomd d lc d lgum fuçõ comu: Fução xocil, f, >. [ ] { f }, R{ } > d mo Fução Hviid, < u, > { u }, R{ } > u- mo Tfomd d lc d lgum fuçõ comu: 5 Fução imulo uiáio, fδ f δ lim / > < u [ ] lim d lim δ mo { f } Hoil : lim f lim g g f

7 Tfomd d lc d lgum fuçõ comu: 6 Fução ulo gul U RP h < < h mo [ P ] h d h h U RP h [ ] Tfomd d lc d lgum fuçõ comu: 6 Fução igooméic Ididd Eul: j co j co j j j j j j j j j j j j co j j j j

8 5 Poidd d Tfomd d lc iidd S c c ão co f f ão fuçõ cuj fomd d lc ão, civm, F F, ão { c f c f } cf cf. Dvido oidd, diz qu fomd d lc é um odo li. ou Suoição [ f g ] F G 6

9 Poidd d Tfomd d lc Tfomd d lc d divd d um fução A fomd d lc d um divd d ª odm d um fução á dd o: 7 { f ' } F f f é o vlo d f m. A fomd d lc d gud divd d um fução á dd o: { f '' } F f f ' Poidd d Tfomd d lc Similm, 8 { f } F f f ' f Tfomd d lc d Igi { } F f u du

10 Poidd d Tfomd d lc Tom do vlo fil 9 S lim f xi, ão lim f lim F 5 Tom do vlo iicil O vlo iicil f d fução f cuj fomd d lc é F: f lim f lim F Poidd d Tfomd d lc 6 Igl d covolução A oção f f d cohc como τ τ τ covolução d f f, do como f * f. A fomd d lc d oção á dd o f * f } F F 7 Tmo moo { f d f F d S F f d F d f F S /

11 Tfomd d lc d lgum fuçõ Fução co: f F d Fução xocil: f - F d d [ ] Tfomd d lc d lgum fuçõ Divd igi df d df d d f d f F f d f d F f f f f f * d * f * d * d F

12 Solução d Equçõ Difcii A licção d fomd d lc olução d quçõ difcii lii com cofici co é d gd imoâci o olm d im d cool. Ddo qu codiçõ iicii ão icluíd fomd d lc d qução difcil, méodo ó oocio olução coml olução comlmi olução icul d qução difcil. Tfomd d lc d um divd No qu: miuc. f idic fução d mo. miuc F idic um fução d. d f F f d Muliliqu o difcição ci o mo

13 Solução d Equçõ Difcii Pocdimo olv EDO udo fomd d lc: Suoh qu qu olv qução difcil d gud odm y '' y' βy u 5 com codiçõ iicii: y, y', od, β, ão co. Tomdo fomd d lc mo ldo d qução uiuido codiçõ iicii, oém um qução lgéic, od od dmi Y { y }. A olução quid oém- o clcul fomd iv d lc - Y. EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS Coid qu F á fom 6 F N K z z zm, > D z m od: íz d N íz d D z, z, K, zm,, K, ão o zo d F, ão o ólo d F.

14 od : cofici co cohcido o íduo do olo m oém- mdi como ão f á dd co o k, k k k k F ] [ k k k k F f } { F m om olo i diio. co odmo cv F como d F 7 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS F m olo diio, icluido vlo comlxo. Sjm olo comlxo cojugdo d F. A xão m fçõ cii d F á dd o: P o mulilic qução io o vli m d od mo qu d F, ] [ F O: qução io, igulm l imgiái d mo mmo djm o vlo d EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS 8

15 c F m olo ido. Coid qu F m um ólo múlil m d mulilicidd. A xão m fçõ cii d F á dd o F 9 EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS od o cofici ão ddo o,...,, ] [! ] [! ] [ ] [ j j j F d d F d d j F d d F M M EXPANSÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS

16 Ex : Solução d EDO o fomd d lc EDO: dy 5 y y d Alicdo Tfomd d lc 5 [ Y y] Y Suiuido y & jdo qução, mo: 5. Y 5.8 Tfomd iv d lc y [ Y ]..8 Exmlo : Solução d EDO o fomd d lc Tl. Sog...coiução Noo olm Suiuido imlificdo. y.8.8.

17 EXEMPO : EXPANSÃO DE FRAÇÕES PARCIAIS A B Exd- um mo cd fo o domido. Rcomi D A B Igul m mo o mo co. Rolv. A B A B Cd mo á m um fom iml qu - o licd.. Ou licçõ d A. Tom do vlo fil lim y y lim Y off Exmlo: Ro dgu Y τ Y τ lim τ off o do d quilíio é.

18 Ou licçõ d 5 B. Tom vlo iicil lim y lim Y P Y y lo om do vlo iicil y lo om do vlo fil Ex : Alic Tom iicil vlo fil xmlo 6 Y Tfomd d lc d fução. Vlo Fil: Alic o om do vlo fil lim [ f ] y lim Y Vlo Iicil: lim [ ] Alic o om do vlo iicil f lim y lim Y

19 Tfomd d lc Suoh qu fução d fêci ão od iv xlicim K G τ 7 M, i odmo dcomo co vlo d d modo qu A A B τ K. τ E o u ivão, udo l d lc, Exão m Fçõ Pcii Exão m Fçõ Pcii. D m como fo i dii D i i 8 xdi como i i. D l com fo ido xdido D i...

20 Exão m Fçõ Pcii Exão d Hviid P um fução d fom ciol 9 od, co ão dd como: i i i i i N D N G i i i D P Exão m Fçõ Pcii Exão d Hviid P um fução ciol com fo ido ogo, co ão dd o: i i D P P Q P... i i D P d d i i D P d d

21 Exão m Fçõ Pcii Exmlo Od o oliômio m íz o qul od fodo como: E o xão m fçõ cii mo: Exão m Fçõ Pcii Coiução... ogo, o Hviid 5 á Po fomd iv, ul:

22 Exmlo 5: Fo ido Y Y / / / ] [ S Y y Exão m Fçõ Pcii Exmlo 6 o oliômio m íz D modo qu: o xão cil

23 Exão m Fçõ Pcii Po Hviid 5 9 d d ogo, : Po fomd iv: coi.. Exmlo 7: Exão Fção Pcil Y - Exão m fçõ cii 5 5 Y y / / ] [ - Dmição do cofici - Tfomd iv d lc

24 Exmlo 8: Fo qudáico S Y y Y Y i.8 co... ] [ od Exmlo 9: Exão m Fçõ Pcii 8 o oliômio, Ríz: Pod fodo como: Po fçõ cii:

25 Coiução... O qu ul: Tomdo fomd iv: 9 Exão m Fçõ Pcii A fomd iv Coiução... 5 Pod odd

26 Exmlo : Exão m Fçõ Pcii 5 o oliômio, Ríz: Pod fodo como: Rolvdo A B, Exão m Fçõ Pcii Equçõ d oci imil m, Coiução... 5 mo Po o, mo Tomdo T. -

27 F f A B F A B Exão fçõ cii.. vj g A B B A A A B B: A: A B f B A B Tfomd Iv d lc 5 F A B f δ δ A B ' A B do mmo modo como o olm io. f δ ' δ

28 Tfomd Iv d lc F j j 5 A A F j j j j, 5 f A A j j.9.9 j j f.696 f 5.85 co.9 j.9 A j.5 j.696 j j j A j j Tfomd Iv d lc F A B C A B C C f A B f A B C A B C A B C C d B d [ ] d d A d d

29 Exão m Fçõ Pcii Algoimo gl olução d EDO Tom Tfomd lc d mo o ldo d EDO Dmi íz D Fo qução oliomil ccíic Eco íz x: Fução oo ou ol o Ml Idific o fo mulilicidd Rliz xão m fçõ cii G N D Ivi Tf. d lc udo l d lc 57 P um fução : Exão m Fçõ Pcii G N D O oliômio D m íz do io: Ríz Ri ul mo xocil ul mo co Ríz Comlx ul o xocil c/ o oidl ul um il oidl uo 58

30 Filizdo f f f f f F F F F f F-f-f Tfomd d lc

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