Solução Numérica para Equações Integrais com Núcleo Fracamente Singular.

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Júlio Costa Amaro
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1 Soução uméric r Equçõ Iri com úco Frcm Siur Lordo Guirmo Fi Cro d Ehri Ciêci E d Uivridd Edu do O do Prá Ru d Fcudd 645 Jd S MriTodoPR oui7@hoocombr Rumo: O obivo d rbho é dvovr dicuir covrêci do méodo umérico irção roduo r roimr oução d quçõ iri d Vorr d ud éci com úco frcm iur T umérico ão rizdo o qui cofirmm o rudo órico obr d covrêci do méodo umérico rooo Pvr chv Covrêci Irção roduo Qudrur Irodução Coidrmo qução ir d Vorr d ud éci K d < od o úco é frcm iur fuçõ K ão dd umid uficim uv d modo rir iêci uicidd d oução ÎC[ b] vr or mo [ATKISO 974] [BRUER HOUWE986] Form íic r ão < < Equçõ do io urm o udo d robm d codução d cor urfuidz roquímic vr or mo [KELLER OLMSTEAD97] [LEVISO 96] Pr quçõ iri d Vorr com úco imido uvidd do úco d fução drmim uvidd d oução o irvo [ X] r X> Por ouro do coidrrmo o úco como do frcm iur ão oução ru é iicm ão uv o oo iici do irvo d irção od u drivd or ão imid Au rudo rciodo com o comormo d oução d quçõ iri do io odm r cordo m [BRUER HOUWE 986] [LUBICH 983]

2 Méodo umérico r rovr quçõ iri d io Ab d ud éci io é do io m ido uddo or [BRUER HOUWE 986] [CAMERO McKEE984] [RIELE 98] [ABDALKHAI 99] [LUBICH 985] r ouro uor O méodo r oução d qução ir qu coidrmo rbho rocur urr dificudd cud o mu comormo d oução o oo iici Aim ddo um irvo rivm quo [ b] rimiro rovmo o robm K d b o méodo d rom obr odo o irvo o qu é bdo rr d irção roduo d io iroório Aó o irvo iici o mu comormo d drivd d é d mor imorâci Loo rovmo o robm K d b < b 3 od b K d or um méodo drão o o r oução rur Um vz qu o cácuo d ddm d roimçõ iicii d r Î[ b] o doi méodo dvm r coidrdo como commr ção d rbho dcrvmo r iici do méodo r qução ir ção 3 rão ddo rudo d covrêci uiform A icção do méodo iici uo com o qum drão r oução d qução ir 3 rão forcido ção 4 oo rudo umérico rão comrdo com o rudo dioívi irur obido or méodo rivo O Méodo d Irção Produo ção dcrvmo o méodo d rom r rovr umricm qução Por coviêci m rd d ridd umirmo qu [ b][] K d 4 Tdo cohido oo diio { } r o irvo [] coocmo qução 4 o ó { } : K d Loo umo o oiômio d iroção d Lr L K; r roimr K obr o ui: od K K 5

3 d 3 O Méodo Iici: Covrêci Em od ção o ímboo C dorá um co oiiv Pr fzr ái d covrêci urmo qução ui d 6 od umirmo qu fução ÎC[] o úco é frcm iur Coqum qução 6 m um úic oução ÎC[] com oivm drivd ão imid o oo Coidrdo um mh { } r icdo o méodo ddo m 5 r qução 6 oução roimd rá obid mdi o méodo d rom od d O méodo umérico é covr d ordm r m [] om r uficim rd i um co C qu r C Pr fzr ái d covrêci uiform d oução roimd r oução d qução 6 obrvmo qu { } od é o rro d rucmo oc dfiido or Loo A I 7 od A é o ordor ir dfiido or Î Î C f f f A ] [ ] [ 8 A d rouir bcmo um rudo obr roridd d covrêci d rr d qudrurroduo: Torm S { } o zro d um couo d oiômio d ru qu ão orooi obr [] m rção fução o / 3/ ³ < b b u 9

4 od u é oiiv coíu m S L f; o oiômio d iroção d ru qu coicid com fução f o ó { } Eão r od fução f codo iuridd do io > ão iiro m ricur r od fução fî C[] é vrdd qu im f d Em ricur mo o imi f O L f d { o < < >} I A Aor irmo o comormo d roóio bcrmo u m rimir m 7 Pr Lm S o couo d ó { } como dfiido o orm com rrição /< b <3/ S o éimo oiômio fudm d Lr Pr [cd] Í [ ] i um úmro C oiivo q> qu / q d d q u d d Cé d dù c c êë úû r odo ÎL q com q é ê ë d q ù d ú û / q Lm Com mm hió do m com o úco ifzdo ï ì Î Lq q> í ' im ' ïî q r odo Î [] Eão im u r odo Î [] od Torm S A o ordor dfiido m 8 o ó { } como o Lm S 4 ão vrddiro ão r odo uficim rd i um co C> idd d qu I A C Lm 3 O úco ifz codição 3 Torm 3 S oução d qução 6 S oução roimd obid dicrizção do rmo ir d qução 6 udo rr d qudrurroduo do io iroório coruíd obr um couo d ó { } S o ó { } o zro d um couo d oiômio d ru qu ão orooi obr [] m rção fução o 9 com /< b <3/; ão covr uiformm r Aém dio d covrêci d r coicid com d rr d qudrur cohid r roimr o rmo ir qução 6 3 4

5 4 Rudo umérico Dicuâo O méodo 5 bdo o ó d Rdu io é o ó coicidm com o zro do oiômio d Jcobi P udo rr d Simoroduo obr mh uiform á foi immdo m [CAMERO McKEE 984] r rovr quçõ ui omd d um coção d robm rooo m [BRUER HOUWE 986] [RIELE 98] d / 5 { } F rfc od du F u ; ø ö ç è æ d rc / Pr h ddo fimo o oo b o irvo X com X> Loo rovmo o robm o méodo 5 bdo m ó d Rdu o irvo [ b] S oução coém um iuridd d form >; ão ordm d covrêci do méodo é o coform foi bcido m do orm Com b fido o irvo [bx] dfiimo mh o º b X M h M º ; oo icmo o méodo d Simoroduo vr [CAMERO McKEE 984] O vor roimdo r M ão obido d ï î ï í ì d K d K Dd qu oução é uv o irvo [bx] vr [LUBICH 983] méodo covr do mmo modo qu 4 h vr [CAMERO McKEE 984] O vor iicii ão drmido udo o méodo d rom o irvo [ ] rr o o d Simoroduo é icd o oo h h Pr r o dmho do méodo rdo rbho comrmo o oo rudo umérico obido com o corrod rudo i irur Aim dmo ci ção o rudo forcido or [HAIRER LUBICH SCHLICHTE 988] qu uiizrm o méodo d o múio iroduzido or [LUBICH 985] o qu é coidrdo um méodo fici r quçõ iri d io Ab udo coidrçõ d [BAKER 987] Tb domo or IP o rudo umérico d rbho or P o méodo iici 5 or L o rudo umérico d [HAIRER LUBICH SCHLICHTE 988] or BE o rudo m rção qução 5 rdo or [BRUER

6 EVAS 977] qu uiizrm o méodo d coocção com oiômio or dço mh uiform O méodo IP foi icdo com b h Tb Erro bouo r oução roimd d qução 5 m ccudo or méodo difr IP P BE L 4 87E8 43E5 34E8 5 E8 8E5 84E4 8 E9 73E7 4E8 87E E7 6 E 66E9 3E8 36E 86E 5E5 3 38E E 47E9 Em rção qução 6 Tb mor o rudo forcido or : [LIZ 969] dodo or LZ uiizou o méodo d irção roduo d ordm 3 bdo rr d Simo rizdo [EL TOM 974] dodo or ET uiizou fuçõ i d ru 5 3 [CAMERO McKEE 984] dodo or CK uiizou um méodo d irção roduo d io iroório Simo qu o rudo d covrêci forcido o méodo d LZ ET CK ão váido oução é uficim uv O méodo d rbho IP foi immdo com b h Tb Erro bouo r oução roimd d qução 6 m ccudo or méodo difr IP P LZ ET CK L 4 4E9 8E6 7E8 3E7 5 9E 3E7 56E6 8 97E3 63E E9 3E7 E 8E7 6 3E6 4E8 E7 3 9E E 8E4 8 67E 56E E O rudo umérico forcido cim morm qu o méodo rdo rbho cofirm d covrêci óric o co d qução 5 vr Tb o méodo IP com [ b][;] h o méodo L vovm 8 3 ó rcivm r corr oução

7 roimd m com rro bouo ordm d 9 O comormo do rro Tb é dvido o fo qu oução d qução 6 é uv o irvo d irção Em ricur odmo obrvr qu qução 6 for rovid m o méodo iici P; o méodo IP com h rqur 8 r corr oução roimd m com rro bouo ordm d A mm idão é obid o méodo L m com 56 5 Cocuõ rbho foi ido covrêci do méodo irção roduo r quçõ iri d Vorr com úco frcm iur Aim coidrrmo o úco frcm iur ão oução ru é iicm ão uv o oo iici do irvo d irção od u drivd or ão imid Pr mizr dificudd mo rooo o méodo d irção roduo uo um méodo o o rorido r oução rur Cocui qu écic od r um frrm uméric imor r roimr oução d quçõ iri d Vorr d ud éci com úco frcm iur O umérico rizdo cofirmm o rudo órico d covrêci forcid rbho 6 Rfrêci ABDALKHAI J A umric roch o h ouio of Ab ir quio of h cod kid ih omooh ouio J Comu A Mh v ATKISO KE A ic horm for Ab ir quio Sim J Mh A v BAKER CTH Th of h r i h umric rm of ir quio Th of h Ar i umric Ai Crdo Pr Oford 987 BRUER H; EVAS MD Pici oomi coocio for VorrT ir quio of h cod kid J I Mh A v BRUER H ; T RIELE JJ Vorr ir quio of h cod kidih omooh ouio J Ir Equio v BRUER H ; HOUWE PJ Th umric ouio of Vorr quio orh Hod Amrdm 986 CAMERO RF ; McKEE S Produc irio mhod for cod kid Ab ir quio J Comu A Mh v 984 EL TOM MEA Si fucio roimio o h ouio of iur Vorr ir quio of h cod kid J I Mh A v HAIRER E; LUBICH Ch ; SCHILCHE M F umric ouio of k iur Vorr ir quio J Comu A Mh v KELLER JB ; OLMSTEADWE Tmrur of oir rdii miifii oidq A Mh v LEVISO JE A oir Vorr quio rii i h hor of urfuidi J MhAi A v 96 LIZ P umric Mhod for Vorr ir quio ih iur kr Sim

8 J umr A v LUBICH CH RuKu hor for Vorr d Ab ir quio of h cod kid Mh Com v RIELE HJJ Coocio mhod for k iur cod kid Vorr ir quio ih omooh ouio IMA J umr A v

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