Universidade Salvador UNIFACS Cursos de Engenharia Métodos Matemáticos Aplicados / Cálculo Avançado / Cálculo IV Profa: Ilka Rebouças Freire

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1 Uivridad Salvador UNIFACS Curo d Egharia Méodo Mmáico Aplicado / Cálculo Avaçado / Cálculo IV Profa: Ilka Rouça Frir A Traformada d Laplac Txo : Irodução. Dfiição. Codiçõ d Exiêcia. Propridad. Irodução A Traformada d Laplac é um méodo d rolução d quaçõ difrciai do corrpod prolma d valor iicial qu rduz a quão da rolução d uma quação difrcial a um prolma algérico. Tm a vagm d rolvr diram o prolma, io é, o prolma d valor iicial podm r rolvido m qu drmi iicialm uma olução gral. Além dio, a quaçõ ão-homogêa ão rolvida m r qu primiro corar a olução da homogêa corrpod. E méodo é uilizado m prolma d Egharia, pricipalm m prolma m qu uma força d propulão ( mcâica ou lérica ) m dcoiuidad: por xmplo, ua m curo irvalo d mpo ou é priódica ma ão é o ou coo. O méodo foi dvolvido por Pirr Simo d Laplac ( ), grad mmáico fracê qu dvolvu o fudamo da oria do pocial du grad coriuiçõ à Mcâica Cl à Toria da Proailidad. Dfiição: Sja f() uma fução ral o irvalo [, + [ coidrmo a igral imprópria f ()d od é uma variávl ral. S a igral covrg para cro valor d, ão dfi uma fução d chamada d Traformada d Laplac d f doada por L[f] () F() f ()d. A opração ralizada or f() é chamada d raformação d Laplac. Orvaçõ: O uo da lra m lugar d x como variávl idpd é uma covção pricam uivral quado dfi a Traformada d Laplac m como

2 origm o fo d qu a grad maioria do prolma práico com valor iicial a variávl idpd r o mpo. Uma vz qu valor givo do mpo ão uualm xcluído rrigimo o udo ao ixo ão givo, io é, [, + [. Exmplo: Drmi a raformada d Laplac da gui fuçõ:. f() ; F() f ()d d lim d lim [ ] + lim [ ] ; Aim, L[] () para >. Orvmo qu a igral covrg para valor d >.. f() ; > F () f ()d d lim d lim [ ] lim [ + ] ; Orvmo qu lim lim ( ) lim L Hopial a variávl ) Aim, L[] F() > ( codição para a covrgêcia da igral ) ( > ) ( Uado 3. f() ; iiro poiivo F() f ()d d

3 3 Vamo iicialm uar par para calcular a igral idfiida corrpod: u du d d : dv d v Tmo aim qu: d + d d lim [ ] + d lim [ ] + d L[ ]. Orvação: lim [ ]. d Io pod r vrificado uado- L`Hopial para aixar o grau d : ( ) lim [ ] lim [ ] lim [ ] lim [ ]... 3 Aim, ( ) ( )( ) L[ ] L[ ] L[ ] L[ 3 ]... 3 ( )( )( 3)...!! L[ ] L[] Logo! L[ ] ; para > +! + 3.)! L [ ] ; 3.) 3 5 5! L [ ] 6 4. f() ; > a co F() d (a ) d (a ) (a ) lim (a ) d lim [ ] lim [ ] a (a ) <. a a a Logo, L[ ], > a. a

4 4 4.) L[ ] ; 4.) L[ ] + 5. f () k; ; < < c c k c F() f ()d c k k c k k( c ) k d [ ] c + Alguma Coidraçõ or a Exiêcia da Traformada Como iluramo o xmplo acima, para um grad úmro d fuçõ f(), rá poívl calcular L[f] diram da dfiição. Prciamo, o o, alcr um cojuo d codiçõ qu garam a xiêcia da raformada d Laplac d uma fução f(). Para io, vamo iroduzir doi cocio impor: fução coíua por par fução d ordm xpocial: Dfiição: Uma fução f é dia coíua por par um irvalo [a,] : i) f é coíua m odo o poo d [a,], xco um úmro fiio ii) o limi lrai xim o poo d dcoiuidad Exmplo: x; < x <. A fução f (x) é coíua por par m [,] x; < x <. A fução zro. f (x) ão é coíua por par m hum irvalo codo o x O gui rulado valm:

5 5 S f é coíua por par m [a,] ão f (x)dx xi idpd do valor qu f a aum ( ivr dfiida) o u poo d dcoiuidad. S f g ão coíua por par m [a,], ão f.g é coíua por par m [a,] poro ( fg)(x)dx xi a Toda fução coíua m [a,] é coíua por par Examiado a dfiição da Traformada orvamo qu f() dv r al qu f () d xia para odo >. Io pod r oido xigido qu f ja coíua por par m odo irvalo da forma [,] ( > ), uma vz qu da forma o igrado rá coíuo por par poro a igral xiirá. Ma a codição ão é ufici poi qurmo qu a igral f () d ja covrg para algum valor d. Io pod r garido xigido- qu f() aproxim d zro quado d a ifiio o qu pod r oido f() for domiada por uma xpocial. E fo á xpro a gui dfiição: Dfiição: Diz- qu uma fução f é d ordm xpocial m [, + [ xim co M > α ai qu f () M α para odo > o, para drmiado o. Exmplo:. f() é d ordm xpocial Ba omarmo α M : f ().. f() é d ordm xpocial Ba morarmo qu lim ( para um α > ) poi a dfiição d limi o gar qu α qualqur qu ja M >, xi o al qu para > o, M α <, logo M α

6 6 O gui orma o gar a xiêcia da Traformada d Laplac para fuçõ coíua por par d ordm xpocial: Torma: S f é uma fução coíua por par d ordm xpocial xi um úmro o al qu f ()d covrg para odo o valor d > o o é chamada d acia d covrgêcia Orvação: A rcíproca do Torma ão é vrdadira, io é, uma fução pod r Traformada d Laplac m r d ordm xpocial. Um xmplo é f () Propridad da Traformada d Laplac. Torma (Liaridad da Traformada d Laplac) : A Traformada d Laplac é uma opração liar, io é, para quaiqur fuçõ f() g() cuja raformada d Laplac xiam quaiqur co a mo qu L[ af() + g() ] al[f() ] + L[g()]. D] Uado a liaridad da igral upodo qu L[f] L[g] xiam mo qu L[af + g] ( af + g)() d a f () d + g() d al[f] + L[g] Orvaçõ A raformada é um oprador qu aplica o cojuo da fuçõ coíua por par d ordm xpocial o cojuo da fuçõ dfiida m irvalo da forma ] o, + [ L[f + g] L[f] + L[g] igifica qu a ididad ocorr para valor d m qu ama a fuçõ ão dfiida Com a propridad da liaridad podmo ampliar a oa lia d raformada, como vrmo o xmplo gui: Exmplo: ) Uado a liaridad o rulado já vio, drmi a Traformada d Laplac da gui fuçõ.) f() k

7 7 L[k] L [k.] k L[] k ; >.) f () 3 + 3! L [f ()] L[ 3 + ] L[] 3L[] + L[ ] + 3.3) f () + + L[f ()] L[ + + ] L[ ] + L[ ] + L[] Uado a liaridad a formula d Eulr iw co(w) + i(w), dduza a raformada da fuçõ: f() co w f() (w) Tmo qu L[ ]. Fazdo a iw, a iw + iw L[ ]. iw Por ouro lado, pla fórmula d Eulr, iw co(w) + i(w) Aim, L[ iw ] L[co(w) + i(w)] L[co(w)] + il[(w)] w + i Logo, L[co(w)] w L[(w)] Uado a dfiição podmo morar qu o rulado acima valm para >..) f () 3 co L[f ()] L[3 co ] 3L[] L[co ] Uado a liaridad dduza a raformada f () coh ( coo hiprólico ) + L[coh ] L[ ] (L[ ] + L[ ])

8 8 ( + ) ; > a a + a a 3.) f () h (o hiprólico) L[h] L[ ] (L[ ] L[ ]) a ( ) ; > a a + a a Rfrêcia Biliográfica:. Kryzig, Erwi Mmáica Suprior - vol. Zill/Cull Equaçõ Difrciai - vol 3. Kridr/Kullr/Org Equaçõ Difrciai