Dinâmica Estocástica Aula 7 Ifusp, setembro de Tânia - Din Estoc

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1 Diâmica Estocástica Aula 7 Iusp, stmbro d 016 Tâia - Di Estoc

2 . Discrtização da quação d Lagvi. Obtção da quação d Fokkr-Plack Tâia - Di Estoc - 016

3 Discrtização da quação d Lagvi A orma discrtizada da quação d Lagvi propicia a: simulação a quação d Lagvi a obtção a quação d Fokkr-Plack Tâia - Di Estoc

4 m t F m v dt dv ), ( 1 0 ) ( t F ) ( ) ( ) ( t t m B t F t F Equação d Lagvi 4 Tâia - Di Estoc - 016

5 Equação d Lagvi dv dt v (t) (1) ( t) 0 () ( t) ( t) ( t t) (3) Tâia - Di Estoc

6 Equação d Lagvi discrtizada dv dt v (t) (1) A quação d Lagvi acima pod sr aproximada por: Equação d Lagvi discrtizada v 1 v v (4) variávl stocástica discrta tal qu: 0 (5) ', ' dlta d Krockr (6) Tâia - Di Estoc

7 Equação d Lagvi - Discrtização Dlta d Krockr, ' ', ' 1 s ', ' 1 0 s ', ' ' 0 ' Tâia - Di Estoc

8 Equação d Lagvi - Discrtização Justiicativa / xprssão (4) Discrtizamos o tmpo m itrvalos iguais tais qu: t dv dt v v 1 v v(t) v 1 v( t ) Tâia - Di Estoc

9 Equação d Lagvi & discrtização v 1 v v (4) ou sja, v 1 v v Tâia - Di Estoc

10 Equação d Lagvi & discrtização v 1 v v discrto dv dt v (t) discrto t t discrto Tâia - Di Estoc

11 Equação d Lagvi - Discrtização Discrtizar o tmpo m itrvalos iguais tais qu: t t Fazdo a corrspodêcia tr os trmos das duas últimas xprssõs lmbrado qu stamos tomado t discrto (como acima diido) tmos qu (t) s rlacioa com por mio d: ( t) discrta ( t') ' ( t) ( t') ' discrta Tâia - Di Estoc

12 Equação d Lagvi - Discrtização Discrtizar o tmpo m itrvalos iguais tais qu: t t ( t) ( t') ' discrta ', ' Sja a ução ( t, t') ( t) ( t') ',' discrta Tâia - Di Estoc

13 Equação d Lagvi & discrtização Sja a ução ( t, t') ( t) ( t'), ' ( t t') discrta t' ' 0 t' t t ( t, t') dt ( t, t'),' discrta Tâia - Di Estoc

14 Equação d Lagvi ( t, t') dt ( t, t'),' Por outro lado, o limit m qu 0 tmos (ou sja, quado cosidramos variávis cotíuas) ( t, t') ( t t') ( t, t') dt ( t t' ) dt = 1 im da justiicativa Tâia - Di Estoc

15 Equação d Lagvi discrtizada v 1 v v (4) variávl stocástica discrta tal qu: 0 ', ' (5) (6) A partir da xprssão (4) complmtada plas xprssõs (5) (6) pod-s cotrar a distribuição d probabilidads da variávl v como stá o livro Diâmica Estocástica Irrvrsibilidad como é pdido o xrcício 1 da lista A. Tâia - Di Estoc

16 Equação d Lagvi variávl x Tâia - Di Estoc

17 Equação d Lagvi variávl x Equação d Lagvi para a variávl x : dt ( x) ( t) (7) ( t) 0 (8) ( t) ( t) ( t t) (9) Tâia - Di Estoc

18 Equação d Lagvi Partíula sujita à orça xtra movimto supramortcido Exmplo d x m F ( x) xt dt dt F( t) Fxt x orça xtra atuado sobr a partícula posição da partícula caso spcial: Equação d Lagvi para o movimto browiao supramortcido m = massa dsprzívl o trmo m m é dsprzado dt F xt ( x) F( t) dt ( x) ( t) ( x) Fxt / (t) é tal qu ( t) 0 ( t) ( t') ( t t') Tâia Tomé - Di Estoc

19 Equação d Lagvi discrtizada dt ( x) ( t) (7) pod sr aproximada por: Equação d Lagvi discrtizada x 1 x ( x ), (10) variávl stocástica discrta 0 (11) ', ' (1) dlta d Krockr Tâia - Di Estoc

20 Equação d Lagvi & Discrtização dt ( x) ( t) (7) Discrtizar o tmpo m itrvalos iguais tal qu: t dt x 1 x x x() t x 1 x( t ) Tâia - Di Estoc

21 Equação d Lagvi - Discrtização Equação d Lagvi discrtizada x 1 x ( x ) (10) 0 (11) ', ' (1) Justiicativa Discrtizar o tmpo m itrvalos iguais tal qu Tâia - Di Estoc t E sguir o msmo procdimto dsvolvido os slids atriors (quado justiicamos a discrtização da quação d Lagvi (1), isto é, a xprssão (4)) 1

22 Equação d Lagvi & Simulação d um movimto alatório dt ( x) ( t) ( t) 0 ( t) ( t) ( t t) x x ( ) 1 x,,, squêcia d úmros alatórias 0 1 x 0 dado x x 1 3, x,... Squêcia d potos Trajtória da partícula 0 1 caso m qu x é a posição x L 1 ( i) x L i1 stimativa da posição média da partícula o istat t L úmro d trajtórias gradas (13) x posição da partícula o istat t a i-ésima trajtória (i) Tâia - Di Estoc - 016

23 Equação d Fokkr-Plack Obtção da quação d Fokkr-Plack a partir da quação d Lagvi discrtizada Tâia - Di Estoc

24 Bibliograia básica Diâmica Estocástica Irrvrsibilidad, TT MJO, Cap. 3 ( Cap. 4) Th Fokkr-Plack Equatio, H. Risk, Sprigr, 1996 Tâia Tomé - Di Estoc

25 Equação d Fokkr-Plack Equação para a volução tmporal d P(x,t) Vamos obtr t P( x, t) x x ( x) P( x, t) P( x, t) (14) A ssa quação stá associada a quação d Lagvi dt ( x) ( t) (7) Tâia Tomé - Di Estoc

26 Equação d Lagvi dt ( x) ( t) (7) m qu, ( t) 0 (8) ( t) ( t) ( t t) (9) Tâia Tomé - Di Estoc

27 Equação d Fokkr-Plack - Caso spcial Movimto browiao d uma partícula livr m uma dimsão ( x) 0 Movimto browiao supramortcido (caso spcial) dt (t) Equação d Lagvi (15) (t) ruído x posição da partícula Equação d Fokkr-Plack t P( x, t) x P( x, t) Vamos obtr (16) Tâia Tomé - Di Estoc

28 Equação d Fokkr-Plack - Obtção Equação d Lagvi discrtizada x 1 x ( x) (10) 0 (11) ', ' (1) Fução caractrística g 1( k) xp( 1) 1 P x) ução caractrística associada a x 1 ( 1 (17) Tâia Tomé - Di Estoc

29 Equação d Fokkr-Plack - Obtção g 1( k) xp( 1) (18) Mas, x 1 x ( x) (10) Portato, g ik ( x ( x ) ( k 1 ) ) (19) x Como são variávis stocásticas idpdts, tmos: g 1 ( k) ik ( x ( x )) ik (0) Tâia Tomé - Di Estoc

30 Equação d Fokkr-Plack - Obtção g 1 ( k) ik ( x ( x )) ik (0) ik ( x ( x ))... média sobr a distribuição d x (1) ik... média sobr a distribuição d () Tâia Tomé - Di Estoc

31 Equação d Fokkr-Plack - Obtção Expasão m da quação g 1 ( k) ik ( x ( x )) ik (0) Passamos agora a aalisar cada uma das médias o lado dirito da quação (0). Primiramt a média: (1) ik ( x ( x )) (1) E m sguida a média: () ik () Tâia Tomé - Di Estoc

32 Equação d Fokkr-Plack - Obtção Expasão m da xprssão: ik ( x ( x )) (1) A xprssão (1) pod sr scrita como: ik ( x ( x )) ik ( x ) (3) Expasão m da xprssão (3) ( ) ik x 1 ik ( x ) o( ) ik ( x ( x )) (1 ik ( x ) o( )) (4) ik ( x ( x )) (1 ik ( x )) (5) Tâia Tomé - Di Estoc

33 Equação d Fokkr-Plack - Obtção Expasão m do trmo ik () Expasão m da xprssão () k ik 1 ik o( ) (6) Cosidrado a xpasão até trmos liars m tmos: ik 1 ik k (7) Tâia Tomé - Di Estoc

34 Equação d Fokkr-Plack - Obtção Expasão m da xprssão () Ou, ik 1 ik k (7) ik k 1 ik (8) Mas, a partir das quaçõs (11) (1) tmos: quação (8) pod sr rscrita como: Portato, a ik 1 k (9) Tâia Tomé - Di Estoc

35 Equação d Fokkr-Plack - Obtção ik ( x ( x )) ik Expasão m da quação g ( k 1 ) (0) ik ( x ( x )) (1 ik ( x )) (5) ik 1 k (9) A partir das Eqs. (5) (9) obtmos a sguit xprssão para g ( k 1 ) diida a Eq. (0): g 1 ( k) (1 ik ( x ) k (1 ) (30) Tâia Tomé - Di Estoc

36 Equação d Fokkr-Plack - Obtção g 1 ( k) (1 ik ( x ) (1 k ) (30) g 1 ( k) ik ( x ) (1 k ) k g 1( k) ik ( x) (31) Tâia Tomé - Di Estoc

37 Equação d Fokkr-Plack - Obtção k g 1( k) ik ( x) (31) Ou k g 1( k) ik ( x) Expasão até 1ª ordm m d g ( x 1 ) g k 1( k) g ( k) ik (3) ( x ) Tâia Tomé - Di Estoc

38 Ou Equação d Fokkr-Plack - Obtção k g 1( k) g( k) ik ( x) g 1 ( k) g ( k) ik ( x ) k (3) Limit 0 g 1( k) g( k) d g( k) dt d dt g( k) ik ( x) k (33) Tâia Tomé - Di Estoc

39 Equação d Fokkr-Plack - Obtção d dt g( k) ik ( x) k (33) Aális do 1º trmo do lado dirito da quação (33): ik ( x) ( x) d d d ( x) ( x) P( x) (34) Tâia Tomé - Di Estoc

40 Equação d Fokkr-Plack - Obtção ( x) Mas, Pois, d ( x) P( x) ( x) P( x) ( x) P( x) d D ato a probabilidad suprior d itgração). k d d d ( x) P( x) (34) calculada os limits d itgração suprior irior é ula. P Aális do º trmo do lado dirito da quação (33): O sgudo trmo volv a média: d P( x) (35) é tal qu s aula as bordas (s aula o limits irior (36) Novamt oi utilizado qu a probabilidad dp / s aula as bordas. P s aula as bordas. Também oi usado qu Tâia Tomé - Di Estoc

41 Equação d Fokkr-Plack - Obtção d dt g( k) ik ( x) k (33) ( x) P( x) d d ( x) P( x) (35) k d d P( x) (36) d dt d d g( k) ( ( x) P( x)) P( x) (37) Tâia Tomé - Di Estoc

42 Equação d Fokkr-Plack - Obtção d dt d d g( k) ( ( x) P( x)) P( x) (37) ou, d dt d d P( x) ( ( x) P( x)) P( x) (38) A probabilidad dpd d x d t P( x, t), portato, scrvmos: t P( x, t) ( ( x) P( x, t)) x x P( x, t) (39) Tâia Tomé - Di Estoc

43 43 Tâia Tomé - Di Estoc Equação d Fokkr-Plack t x P x t x P x x t x P t ), ( ), ( ) ( ), ( ), ( ), ( ) ( ), ( t x P x t x P x x t x P t (40) Equação d Fokkr-Plack Equação d volução tmporal d P(x,t) Portato, (39)

44 FIM Tâia - Di Estoc

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