MATEMÁTICA. QUESTÃO 1 De quantas maneiras n bolas idênticas podem ser distribuídas em três cestos de cores verde, amarelo e azul?

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2 (9) - O ELITE RESOLVE IME 8 TESTES MATEMÁTICA MATEMÁTICA QUESTÃO D quatas mairas bolas idêticas podm sr distribuídas m três cstos d cors vrd, amarlo azul? a) b) d) ( )! ) Rsolução Sm Rsposta Como as bolas são idêticas, o total d mairas d distribuir bolas idêticas os três cstos distitos é igual ao total d soluçõs itiras ão-gativas da quação yz=, com o total d bolas o csto vrd, y o total d bolas o csto amarlo z o total d bolas o csto azul. O total d soluçõs dssa quação é dado plo úmro d prmutaçõs dos símbolos..., ou sja, é uma prmutação vzs com rptiçõs (dois símbolos símbolos ). Assim:, ( )! Total d prmutaçõs = P = =!.! Dss modo, o total d modos d s distribuir as bolas os três cstos é. Comtário: Provavlmt a baca s quivocou a altrativa (a) od ficou caractrizada uma fração, quado a vrdad dvria sr um úmro biomial. QUESTÃO Um plao corta um cubo com arsta d comprimto passado plo poto médio d três arstas cocorrts o vértic A formado uma pirâmid, coform as figura a sguir. Est procsso é rptido para todos os vértics. As pirâmids obtidas são agrupadas formado um octadro cuja ára da suprfíci tra é igual a: c)!! Assim, a ára d cada triâgulo é dada por = = = S L Como o octadro possui 8 facs triagulars idêticas, sgu qu sua ára latral é dada por Soctadro = 8.S = 8. =. 8 QUESTÃO Na figura sguit ABCD é um quadrado d lado BCE é um α triâgulo qüilátro. O valor d ta é igual a: a) - d) - α A D b) - ) - E B C c) - Da figura a sguir, tmos: P R Q A E B D C O triâgulo BCE é smlhat ao triâgulo RQE (caso AAA), d modo qu o triâgulo RQE também é qüilátro. A tagt d α é a tagt do âgulo ABR. Assim: a) b) c) d) ) Rsolução Altrativa B Como podmos vrificar o squma, as facs do octadro rgular formado são triâgulos qüilátros d lado L = =. A ára d um triâgulo qüilátro d lado L é dada por = S L 4 α AR AR tg = = = AR AB Como AB =, sgu qu ARRQQD = AB =. Pla figura, qu a altura do triagulo qüilátro RQE é dada por h, od h é a altura do triâgulo BCE. Como h =, a altura d RQE é =. Por simtria, tmos qu AR = QD, d modo qu AR RQ =. A partir da altura d RQE, tmos: h = RQ = RQ = α Assim, AR = AR = tg =. QUESTÃO 4 Assial a opção corrspodt ao valor da soma das raízs rais da quação: log log log log log cos = log a), b) π c), d), ),

3 (9) - O ELITE RESOLVE IME 8 TESTES MATEMÁTICA Rsolução Altrativa E Como a primira liha do dtrmiat stá multiplicada por log, tmos: log log log log log cos = log. log log cos = log log Aplicado o torma d Jacobi, tmos qu o dtrmiat obtido s subtrairmos a primira liha da trcira ão muda d valor, d modo qu log log cos = log log cos log (log ) Aplicado o torma d Laplac utilizado a trcira liha do dtrmiat, tmos: log log cos = (log ).( ). log log (log ) = (log ). = (log )(log log) log log Substituido a rlação atrior m (), cotramos: log log log log log cos = log.(log )(log log) = log Tmos, tão, três possibilidads: ) log = = ) log = log = = (ot qu ss valor ão é uma raiz, uma vz qu tmos obrigatoriamt > pla rstrição do domíio da fução logaritmo). ) log = log = ± = ou = Por fim, somado as soluçõs cotradas, tmos qu S = =, =,. QUESTÃO Assial a opção corrspodt ao valor da soma das raízs da quação: y y y 8= a) b) c) d) ), / Fazdo a trasformação y = a quação do uciado, tmos: / / y y y 8 = 8= Sjam y, y y as raízs da quação origial, as raízs da quação trasformada. Aplicado as rlaçõs d Girard ssa quação, tmos: = = = -8 / Utilizado qu y =, tmos = y y y =, / / / od y =, y = y =. Assim: y y y = ( y = y y ) ( ) y y y ( yy yy yy ) = Como yy yy yy = =, tmos: y y y ( yy yy yy ) = y y y.= y y y = () QUESTÃO Uma séri d Fiboacci é uma sqüêcia d valors dfiida da sguit maira: - Os dois primiros trmos são iguais à uidad, ou sja, T =T = - Cada trmo, a partir do trciro, é igual à soma dos dois trmos atriors, isto é, T N =T N- T N- S T 8 =84 T =94, tão T é igual a: a) b) c) 77 d) 4 ) Utilizado a rgra TN = TN T N, tmos: T = T T T = T9 T8 T = T T Calculado tão T : T = T T = T T T = T T T T = T. T T ( ) (( ) ) T = T7 = 4 T 7 Logo, tmos qu T > 4 Por outro lado, tmos qu T7 < T8 = 84 4 T7 < 4 84 T < 898 Logo, 4 < T < 898. A partir das altrativas, tmos qu o úico úmro qu satisfaz ss itrvalo é 77. QUESTÃO 7 Assial a opção corrspodt ao valor d µ qu faz com qu a quação ( µ ) s s s = possua raízs o io imagiário. a) b) c) 4 d) 9 ) 4 Vamos assumir µ ral por ispção das altrativas. Por hipóts, s a quação admit raízs o io imagiário, tmos, plo Torma das Raízs Complas plo Torma Fudamtal da Álgbra, qu as raízs são da forma αi, αi β, od α β são rais i é a uidad imagiária. Aplicado a rlação d Girard para a soma das raízs, tmos: ( α i) ( α i) β= β= µ µ Substituido a raiz β a quação do uciado: ( µ ) = µ µ µ = ( µ ) ( µ ) µ Logo, tmos qu = µ = 9. µ QUESTÃO 8 Assial a opção corrspodt ao úmro d possívis valors d α [; π) tais qu o lugar gométrico rprstado pla quação 4y y tg α 7 = sja um úico poto. a) hum valor b) apas valor c) valors d) 4 valors ) um úmro ifiito d valors

4 (9) - O ELITE RESOLVE IME 8 TESTES MATEMÁTICA Compltado os quadrados dssa quação, tmos: 4y y tgα 7 = ( ) 4( y ) = tg α Essa quação rprsta, d maira gral, uma côica. Assim, para qu ssa côica s dgr m um poto, tmos obrigatoriamt qu 4 y = ( ) ( ) Assim, para qu thamos um úico poto, π ( ) 4( y ) = tgα = tgα = α = π 4 No itrvalo [,π ) há apas duas soluçõs: π π. 4 4 QUESTÃO 9 Sdo o poto A (8, -) um vértic d um losago ABCD y= a rta qu cotém os vértics B D, assial a opção corrspodt ao vértic C. a) (-, -8) b) (, -4) c) (4, ) d) (-4, -8) ) (-, 7) Cosidr as sguits propridads d um losago: a) As diagoais são prpdiculars; b) As diagoais cruzam-s o poto médio; A partir disso, cocluímos qu a rta qu passa por A C é prpdicular à rta qu passa por B D. Assim, s m AC é o coficit agular da rta AC m BD é o coficit agular da rta BD, tmos: mac = = mbd Como a rta AC passa por (8,-), tmos qu sua quação é dada por: y ( ) = ( 8) y = Pla propridad (b), tmos qu a solução do sistma y = y = é o poto médio das diagoais. Logo, o poto médio é M (, ). Como st poto é o poto médio d A C: A C 8 c = = c = 4 ya yc yc = = yc = 8 Assim, C=( 4, 8). QUESTÃO Sjam L, D U matrizs quadradas d ordm cujos lmtos da i- ésima liha j-ésima colua l i,j, d i,j u i,j, rspctivamt, são dados por: ì i i, para i j, para i=j, para i j li, j= ij., di, j= j ui, j= i j, para i < j, para i j, para i > j O valor do dtrmiat d A = LDU é igual a: a) b) c) d) ) Como A = L.D.U, tmos, plo torma d Bit, qu ( A) ( LDU) ( L) ( D) ( U) dt = dt.. = dt.dt.dt () Obsrvado as rgras d costrução, tmos qu l ij = para i<j, d ij = para i j u ij = para i>j, dod sgu qu a matriz L é triagular ifrior, a matriz D é diagoal a matriz U é triagular suprior. Logo, as três matrizs são triagulars, portato, sus dtrmiats são iguais à multiplicação dos lmtos da diagoal pricipal. Lmbrado qu s um lmto stá a diagoal pricipal tão i = j, tmos: ) matriz L: i lij = lii = = dtl = l ii = () = i.i i= i= ) matriz D: i i 4 dij = dii = dtd= d ii = = = i i= i= i ) matriz U: i uij = uii = = dtu= u ii = () = i i Substituido sss valors m (), tmos: i= i= dta =. ( ).= QUESTÃO Assial a opção corrspodt aos valors d para os quais o sistma d quaçõs dado por: admit solução ral. a) b) l c) d) > l4 ) = y = y y Do sistma, tmos: y y = y = y = Substituido y = a primira quação: y. = = = =. Como >, tmos qu. =. Fazdo z =, tmos tão a quação z.z = O sistma dv tr solução ral, d modo qu o discrimiat dssa quação dv sr ão-gativo. Assim: = ( ) 4.. = 4 ( 4) As raízs da quação z.z = são dadas tão por: ± ( 4) z = Por uma simpls vrificação, ambas são positivas, d modo qu a úica rstrição qu tmos para o problma é. Como >, sgu qu 4 4 l4. Comtário: d acordo com o gabarito oficial, a rsposta é > l4. Etrtato, s = l4, o sistma tm solução ral, dada por = y = l, d modo qu a rsposta mais corrta sria l4. Porém, s a rsposta sprada pla baca são os valors d para os quais o sistma admit soluçõs rais distitas, tmos tão qu > l4.

5 (9) - O ELITE RESOLVE IME 8 TESTES MATEMÁTICA QUESTÃO A soma dos úmros itiros positivos d quatro algarismos qu admitm, 7 como fators primos é: a) b) 9 c) 47 d) 4747 ) 47 Obsrv qu s um úmro admit, 7 como fators primos, tão ss úmro dv sr múltiplo d (=..7). Dst modo, todos os úmros itiros qu admitm, 7 como fators primos formam uma PA d razão. O primiro úmro positivo d quatro algarismos divisívl por é dado por. =, quato o último úmro d quatro algarismos divisívl por é o úmro 997 = 9.. Dssa forma, qurmos cotrar a soma dos trmos da PA qu tm razão, a = a = 997. Notado qu = 9 = 8, tmos, a partir da fórmula da soma dos trmos da PA, qu a soma dos úmros itiros d quatro algarismos qu admitm, ou 7 como fators primos é dada por: ( a a ). ( 997 ).8 Soma = = Soma = 4747 QUESTÃO Sja um úmro ral ou complo para o qual =. O valor d é: a) b) c) d) 4 ) Rsolução Altrativa B Como = = = = Elvado a última igualdad ao cubo, tmos: = = = Substituido = a última rlação, cotramos tão qu =. QUESTÃO 4 Sjam f( ) =, g ( ) = h ( ) = gf ( ( )). S os valors da bas da altura d um triâgulo são dfiidos por h(,) h(,7) rspctivamt, a ára dss triâgulo é igual a: a) b) 7 c) d) ) A ára do triâgulo é dada por: h,.h,7 ( ) ( ) gf ( (, )).gf ( (,7) ) f (,) f. (,7) S = = = () Sja f() =. Assim, tmos: y = Para dtrmiarmos a ivrsa d f, trocamos y d lugar a última igualdad, d modo qu: y y y = = = y y y y f () Escrvdo y como fução d a partir da última igualdad, cosguimos tão dtrmiar a prssão da fução ivrsa: y y y y ( ) = ( ) = = = y = l y = l f ( ) = l Assim, tmos qu a ivrsa d f() é a fução: Dssa forma: f ( ) = l, f (,) = l = l,,7 f (,7) = l = l 7,7 Substituido m (), tmos qu a ára do triâgulo é dada por: l l S = = = QUESTÃO Sja a i um dos trmos da progrssão gométrica com oito lmtos,,,,... 4, S = loga log a... loga8. S S b = f( ) = b b, o valor d f() srá: a) -7 b) 7 c) d) - ) Calculado os trmos da progrssão gométrica, tmos: a == a == a =/= a 4 =/4= a =/8= a =/= 4 a 7 =/= a 8 =/4= Assim: S = log a log a... log a = log log... log S = 4 = 8 Dssa forma, b = = 4 Logo, f() = 9 =.,, portato, f() =