Grupo I. 1) Calcule os integrais: (4.5) 2) Mostre que toda a equação do tipo yf( xydx ) xg( xydy ) 0
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1 Mamáica III / ºSmsr Grupo I ) Calcul os ingrais: a) b) D () ( ) dd sndo D d d d d (.) ) Mosr qu oda a quação do ipo f( d ) g( d ) s ransforma numa quação d variávis sparadas fazndo a subsiuição (.) ) A quação Pd (, ) Qd (, ) admi um facor ingran da forma f( ) a) Drmin a prssão qu prmi calcular ss facor ingran. b) Rsolva a quação ( ) d ( ) d (.)
2 Grupo II ) Rsolva as quaçõs difrnciais: a) b) ln Sugsão: faça z d ( ) d (.) IV ) Considr a quação 9 a Q( ) com a. a) Sabndo qu é uma solução da quação homogéna, drmin o valor d a R. Para o valor d a nconrado, rsolva a quação para Q ( ) b) Drmin a forma dos ingrais pariculars da quação compla (não calcul) sndo sn cos( ) Q ( ) (.) 6) Rsolva a quação ln (.) 7) Rsolva a quação com difrnças k k k k (.7)
3 MATEMÁTICA III / ºSmsr RESOLUÇÃO GRUPO I. (a) Na Figura sá rprsnado o domínio. Podmos rscrvr o domínio da sguin manira : D ou D Fazndo a mudança d variávl jacobiano v u (, ) ( uv, ), como com D sá no º quadran o ingral fica porano dudv u v u v () dudv com D D D u v u u v v ( ) ( ) dd dudv dudv dudv D v u v u v u u v v u (b) O domínio sá indicado na Figura. O primiro ingral é d cálculo imdiao: d d d d Quano ao sgundo corrspond a um domínio qu é um scor circular, usarmos coordnadas polars. Comcmos por cnrar o domínio fazndo u (, ), o ingral fica v ( uv, ) Rpar-s qu podíamos r scolhido mas opamos por uma vz qu função ingranda. ( ) figura na
4 u ( u ) dudv d ( rcos ) rdrd u vu r d r cos r r cos drd r cos d r dr d rdr cosd r dr r r r r ( cos ) sn r d r 8 9 sn d d d d 8. Fazndo finalmn d d m-s d a quação fica: d d f() dg() g() d f () d g () d g() f () d g () d d g () d qu é d variávis sparadas c.q.d. f() g(). (a) S f( ) é facor ingran, a quação f( ) P(, ) d f( ) Q(, ) d é difrncial aca, iso é, is uma função F (, ) al qu não (Torma d Schwarz ): F F fp fq ( fp) ( fq) f Fazndo as drivadas ndo m cona qu obmos f P Q P f f
5 ingrando: Q P P Q f Q P f P Q P f d d f P ln f Q P d P finalmn: d d P P f( ) qu é a prssão procurada. (b) ( ) d ( ) d P Q P Q P P Q d P é função clusivamn d, não o facor ingran é a quação ( ) d ( ) d é difrncial aca. Isso significa qu is uma função f(, ) al qu porano ( ) ( ) df d d f f ( ) ( ) ( ) ( ) f f f g f f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) ( ) h( ) ond g( ) h ( ) são funçõs arbirárias, rspcivamn d d. Dvrá não r-s g( ) h( ) solução é f C iso é, não C ou f, como df, a C
6 GRUPO II. (a) S z srá d z z d z ( z) ( z) qu é linar d ª ordm. a quação fica z ln ( z) ( z) ( z) z ( z) z z ln d O facor ingran é a solução é: z ln d z Ingrando por pars fica: ln C Como z : z ln C ln C ou d d é uma quação d Brnoulli. (b) Comcmos por dividir a quação por : fazndo z ; z z obmos a quação qu é linar d ª ordm. O facor ingran é d z z z z a solução é z d d C ou sja: C C qu é a solução. n É da forma P( ) Q( ). 6
7 . (a) S é solução da homogéna, r-s-á () ( a ) () () a 6 6a a IV não a quação é: 9 A quação caracrísica é k k k k 9 kk k k ( 9 ) Uma raiz do polinómio 9 é, dividindo não o polinómio por k : k k k 9 k k k k k k k k 9 k k k k k k fica kk ( )( k k) porano k, k, k i a solução é: ( ) AB C cos D sn GH (b) Como srá ( ) P Para, como ( ) não é indpndn da solução gral da homogéna rmos P ( ) ( ) Para Para sn srá ( ) ( ) P sn ( ) cos. cos como cos não é indpndn da solução gral da homogéna rmos ( ) P cos sn 6. É uma quação d Eulr. Sja não d d. d d As drivadas qu figuram na quação são d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d As lras grgas são consans. 7
8 a quação fica As soluçõs da quação caracrísica homogéna é k k são - - porano a solução gral da quação () A B GH Quano ás soluçõs pariculars: Para procura-s P() a b Para procura-s () P b P () a, P () P () b( ), P () b( ) a quação fica: a( ab) a, b 8 a quação fica: b ( ) b( ) b b Enão a solução gral da quação compla é () A B 8 ou sja: A B ln ln ( ), AB, 8 7. A quação caracrísica é m m m m ou mm ( m m). Uma solução do polinómio m m m é m, dividindo não por m : m m m m m m m m m m m as raízs são,, i quação homogéna é m m m fica. A raiz compla corrspond a mm m m ( )( ), plo qu a solução gral da Porqu b não é indpndn da solução gral da quação homogéna. 8
9 k k k GH ( k) A Bcos Csn A solução paricular é do ipo Pk ak: ak, aka, ak a, ak a, ak a Pk Pk Pk Pk Pk não dv r-s ak a ak a ( ak a) ak a a logo 7 k a solução gral da quação compla é k k k k A Bcos Csn k Pk 9
log 2, qual o valor aproximado de 0, 70
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