EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS EM MODELOS DE COMPARTIMENTOS

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1 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS EM MODELOS DE COMPARTIMENTOS Tiago Novllo d Brio Fcilcam, iago-novllo@homail.com ald dos Sanos Coquiro Fcilcam, vcoquiro@yahoo.com.br Rosangla Tixira Guds UTFPR, r_guds@homail.com RESUMO: Es arigo m por objivo aprsnar aplicaçõs d Equaçõs Difrnciais Linars m Modlos d comparimnos. Para iso foram ncssárias algumas noçõs prliminars sobr Equaçõs Difrnciais a oria d Auovalors Auovors aplicados m Sismas d Equaçõs Difrnciais Linars d Primira Ordm. Também foram ralizadas psquisas d modlos d comparimnos nvolvndo modlos como Dsingração Radioaiva, Modlo Populacional d Malhus, Difusão d Moléculas aravés d uma Mmbrana Clular, Difusão d Marial aravés d uma Mmbrana, Tração Radioaiva m Glóbulos vrmlhos Modlo anqu. As soluçõs dss modlos foram aprsnadas usando Equaçõs Difrnciais Sismas d Equaçõs Difrnciais Linars d Primira Ordm. Palavras-chav: Equaçõs Difrnciais. Auovalors Auovors. Modlos d Comparimnos. INTRODUÇÃO Ns rabalho sudamos o sisma comparimnal d p comparimnos da forma p p dx i = k ij x j - k ij x i -k i0 x i +b i u i ( () d j= j= j j com xi ( 0) conhcido. i Um sisma d comparimno consis ssncialmn d um númro finio d subsismas homogênos inrligados, chamados comparimnos, qu rocam nr si com o mio ambin quanidads ou concnraçõs d mariais. A roca fuada m cada comparimno é dscria por uma quação difrncial d primira ordm. A quanidad d marial (ou concnração) xisn no comparimno i, no insan é dado plo rmo x x (. i i O fluxo do comparimno j para o comparimno i, é dado plo rmo diramn proporcional à quanidad x j, mas indpndn da quanidad K x é ij j x i do comparimno rcpor. O índic 0 dnoa o mio ambin as consans K ij são considrados odas não ngaivas. O fluxo do mio ambin (impu para o comparimno rcpor i é considrado por b u ( i i.

2 S k 0 0; i,,... p, diz-s qu o sisma é fchado, caso conrário srá abro. i S o sisma d comparimnos ivr apnas um comparimno é dado pla quação d primira ordm linar dx i k x b u (. () 0 Considrarmos apnas modlos d comparimnos linars por sr mais usado m aplicaçõs. RESULTADOS PRELIMINARES. Equaçõs Difrnciais Ordinárias Linars Dfinição..: Uma quação qu coném drivadas ou difrnciais d uma ou mais variávis dpndns, m rlação a uma ou mais variávis indpndns, é chamada d quação difrncial (ED). Dfinição..: Quando a quação coném somn drivadas ordinárias d uma ou mais variávis dpndns, m rlação a uma única variávl indpndn, é chamada d quação difrncial ordinária (EDO). Dfinição..3: Uma quação difrncial ordinária é chamada d linar quando é dada n n d y d y d y pla quação an( x) a ( x)... a( x) a0( x) y g( x) n n. n dx dx dx são caracrizadas plas propridads: (i) A variávl dpndn y odas as suas drivadas são do primiro grau. (ii) Cada coficin dpnd apnas da variávl indpndn x. Torma..4: S as funçõs p g são conínuas m um inrvalo abro I : conndo o pono 0, não xis uma única função y ( qu saisfaz a quação dy difrncial p( y g( para cada m I com a condição inicial 0 0 y( ) y ond y 0 é o valor inicial arbirário prscrio.. Sisma d Equaçõs Difrnciais Ordinárias Linars d Primira Ordm O Sisma d Equaçõs Difrnciais Ordinárias Linars d Primira Ordm Não homogênos na forma canônica é dado por

3 dx dx a ( x a ( x... a ( x f ( (3) n n a ( x a ( x... a ( x f ( n n dx n an( n nn n n ) x a ( x... a ( x f ( ond os coficins aij as fi são funçõs conínuas no inrvalo I. Quando f i ( 0, i,,..., n, o sisma s diz homogêno m caso conrário, é não homogêno. S X, A ( F ( dnoam, rspcivamn, as marizs x ( a( a( x ( a( a( X, A( xn ( an( an( pod sr scrio na forma maricial como a n ( a ( ) n, a ( nn f f F( f n ( (, não o sisma (3) ( x a ( a ( an ( x f () d x a( a ( an ( x f ( x n an( an( ann ( x n fn () (4) dx dx Ou ainda, A( X F(, s o sisma (4) for homogêno mos qu A( X. Dfinição..: Um vor solução m um inrvalo I é uma mariz coluna x ( x ( X xn ( cujos lmnos são funçõs difrnciávis qu vrificam o sisma (4) no inrvalo I. Dfinição..: Sja um spaço vorial sobr IR xisirm IR v, com v 0, ais qu, T : um oprador linar. S Tv v, dirmos qu IR é um auovalor d T qu v 0 é um auovor d T associado ao auovalor...3 Solução d Sismas d Equaçõs Difrnciais Ordinárias Linars d Primira Ordm usando auovalors auovors 3

4 k k S o vor X k dv sr solução para o sisma linar homogêno d k n dx primira ordm A() X, ond A é uma mariz d consans n n não X ' K subsiuindo no sisma mos qu K AK, ou ainda, A I K 0. E para qu a quação A I K 0 nha soluçõs não riviais é ncssário qu d( A I) 0. Em ouras palavras, X K srá uma solução do sisma d quaçõs difrnciais X ' AX, s somn s, for um auovalor d A K um auovor corrspondn a. Quando a mariz A nxn possui n auovalors rais disinos,,..., n, não smpr é possívl drminar um conjuno d n auovors linarmn indpndns K,...,, K K n soluçõs d X X AX K, X K,..., X K n n n é um conjuno fundamnal d ' m,. E a solução gral d X ' AX é a combinação linar dss conjuno fundamnal d soluçõs, ou sja, X = C X C X... C X. A sguir, srão aprsnados Modlos d comparimnos, bm como a solução dos msmos via Equação Difrncial Ordinária Sisma d Equaçõs Difrnciais Ordinárias Linars d Primira Ordm. n n 3 MODELOS DE COMPARTIMENTOS 3. Dsingração Radioaiva A aividad d uma subsância radioaiva é mdida plo númro d dsingraçõs por unidad d mpo. Es fnômno é dvido à missão d rês ipos d radiaçõs: parículas (núclos d hélio), parículas (lérons) raios (ondas lromagnéicas d ala frquência). Os principais xprimnos d qu rsularam al comprnsão foram ralizados por Ruhford, Bcqurl, Royds, ilard M. Curi no final do século passado início ds, quando já s sabia qu a aividad é proporcional ao númro d áomos radioaivos prsns m cada insan. S N N( é o númro d áomos radioaivos na amosra no insan, a quação difrncial é dn N (5) 4

5 N é a quanidad inicial d áomos, iso é, N( 0) N0. 0 Usando o méodo d sparação d variávis para drminar a solução d (5) mos qu dn dn N N NdN ln( N) c N() c N( N( c c Com a condição inicial N( 0) N0 mos qu N0 C. Porano N() N0 é a solução d (5). 3. Modlo Populacional d Malhus Problmas qu nvolvm a população nos lvam a prgunas do ipo, qual srá a população d cro local ou um drminado mio ambin m alguns anos? Ou ainda, como podrmos progr os rcursos ds local ou ds mio ambin para qu não ocorra a xinção d uma ou d várias spécis? Para raar d problmas como ss ainda aprsnar uma aplicação d quaçõs difrncias, considrmos o modlo mamáico uilizado para raar do crscimno populacional d algumas spécis, sndo s conhcido como Modlo d Crscimno Exponncial d Malhus, na qual sablc qu a axa d variação da população m rlação ao mpo é proporcional a população prsn. Dsa forma, s N N( rprsna a população, não dn kn ond a axa k é uma consan. S k 0, rmos crscimno, s k 0 rmos dcaimno. Dsa forma, a quação difrncial qu rprsna o Modlo Populacional d Malhus saisfaz o modlo d comparimno da quação () homogêna. A quação linar dn kn aprsna a sguin solução k N( N O, na qual N o s raa da população inicial, ou sja, N(0) No. Assim, mos a sguin conclusão: S k 0, a população vai crscr. S k 0, significa qu a população vai ndr a 0, ou sja vai fica nula. 5

6 Mas o modlo pod não funcionar bm a longo prazo. O principal argumno para isso driva-s do ambin. A complicação é qu o crscimno populacional é limiado por algum faor. Quando uma drminada população aprsna-s disan do su limi d crscimno pod crscr d forma xponncial, mas quando sa população sa pro d su fim o pod xisir variaçõs. 3.3 Difusão d Moléculas aravés d uma Mmbrana Clular O procsso d difusão d mmbranas clulars é basan complxo. Farmos aqui uma aproximação simplificada basada na Li d Fick: O fluxo aravés d uma mmbrana é proporcional à ára da mmbrana à difrnça d concnração d ambos os mios sparados por la, s sa difrnça d concnração for pquna. Suponhamos qu uma célula d volum consan sja mrgulhada m um mio líquido homogêno d concnração C. O procsso d difusão garan qu xis um fluxo d moléculas aravés da mmbrana da célula m ambas as dirçõs, aé qu a concnração da solução m su inrior C C( sja igual a C. Sja m m( a massa da solução no inrior da célula, não pla dfinição d concnração, m( C( T). dm O fluxo pod sr rprsnado por (axa d variação da massa). Assim, a li d Fick é xprssa mamaicamn por: dm ( C C). S m( C( T) não dm dc o qual rsula m dc ( C C ) (6) ond A é a ára da mmbrana (suposa consan) k é a consan d prmabilidad, drminada para cada solução, sruura spssura da mmbrana. S C C( m cada insan, o fluxo d moléculas srá maior no snido d fora para dnro da célula, porano, nram mais células do qu sam. Iso implica qu dc C C( é crscn, iso é, 0. O conrário ocorr quando C C(. Dsa forma, podmos considrar k 0 m ambos os casos. A solução gral da quação (6) é dada por C( K C ond K é a consan d ingração. S a concnração inicial da solução no inrior da célula for C0 C(0) não 6

7 C( ( C0 C ) C ond C é um pono d quilíbrio. S C0 C, não C( ( C C ) C C, para odo dc 0. Ns caso, as concnraçõs dnro fora são iguais, nada muda. S crsc. C0 C como 0, não lim C( C, pois nd a zro quando 3.4 Difusão d Marial aravés d uma Mmbrana Uma célula, considrada d volum consan, é suspnsa m um líquido homogêno qu coném uma solução d concnração C ( ) C ( é a concnração da solução no inrior da célula no insan ( supomos qu a disribuição da solução aravés da célula dpnda somn do mpo). Por difusão, moléculas da solução nrarão na célula, assim como ouras dvrão sair. Dssa forma, xisira um fluxo d moléculas aravés da mmbrana clular m ambas as dirçõs. S C C, o fluxo d solução do líquido para a célula srá maior do qu o qu sai vic-vrsa, s C C. A li d Fick sablc qu: O fluxo d subsância por unidad d ára é proporcional à difrnça d concnração d ambos os lados da mmbrana. Sjam o volum da célula (consan) o volum do líquido qu a nvolv (ambém consan). Assim a Li d Fick prmi scrvr o sisma d quaçõs difrnciais 7 dc ( C C ) (7) dc ( C C ) ond k é o coficin d difusão ou prmabilidad da mmbrana. Es é um xmplo d um sisma bicomparimnal fchado. Considrando = não k k dnoando a (consan). O sisma (7) pod sr scrio como dc ac ac (8) dc ac ac

8 - a a Sja A a - a polinômio caracrísico p( ) a a ( a ) 0. a mariz dos coficins calculando d(a- I) = 0 obmos o Assim, os auovalors são 0. a E para cada auovalor subsiuindo na quação (A- I) K= 0 obmos os auovors v v. Porano a solução gral do sisma (8) é dada por a C ( A A C ( A A a S considrarmos as condiçõs iniciais C 0 0 C 0 A A C C C Dond A C A 0 0 C 0 C C 0 C, rmos 0 C A A. Assim, quando, C ( ) C ( ndm à C msma concnração, médias das concnraçõs iniciais. A concnração final nd a s quilibrar, iso é, a concnração inrior nd a sr a msma qu a do líquido C ). ( C 3.5 Tração Radioaiva m glóbulos vrmlhos Na corrn sanguína humana ions d poássio são consanmn s movndo para dnro para fora dos glóbulos vrmlhos (hmácias). As suprfícis das hmácias são prmávis aos ions k. As razõs com qu ss ions nram ou sam das hmácias para o plasma são gralmn disinas. S considrarmos odos os glóbulos vrmlhos indisinamn, podmos supor qu a corrn sanguína sja squmaizada por duas caixas (ou comparimnos), uma para os glóbulos a oura para o plasma. Sja o mpo dcorrido dsd qu sja inroduzida uma quanidad A d ions 4 4 K no sangu. Dnoamos por h ( p( as quanidads d ions K, rspcivamn, nas hmácias no plasma. Considrmos as condiçõs iniciais h ( 0) 0 p( 0) A (consan). Como s sisma comparimnal é fchado, podmos considrar qu h( p( A, para odo 0 Como o fluxo d ions qu sam das hmácias é proporcional a h ( dos qu nram é proporcional a p (, podmos scrvr dh() k p( kh( como p( = A - h( não 8

9 dh k( A h) kh ( k k ) h (9) plo méodo d sparação d variávis, obmos k A k k h ( ) ( ) ln k k k A, isolando h( mos a solução d (9), ( kk) h( ( ) não lim h ( ). k k k k Dnoando B ond B pod sr drminado xprimnalmn num mpo k k rlaivamn curo. ( kk) h () Dividindo h( ( ) por B, mos ln ( k k ). k k B h ( Dssa forma, o gráfico d ln é uma ra cujo coficin angular é B m ( k ) k qu passa pla origm. Assim sndo, podmos obr k, k, considrando o sisma m ( k k) B k k mb ( B A) m Ond k k A A Obsrvamos qu k 0 k 0, pois m 0 B A Problma anqu Um anqu A qu coném K liros d água m qu foram dissolvidos M gramas d sal. Um sgundo anqu B, qu coném a msma quanidad d água qu A. Bombia-s o líquido para dnro para fora dos anqus às axas indicadas na figura abaixo. Sabndo qu x ( ) x ( ) é o númro d gramas m função do mpo, nos anqus A B. água pura3l / min misural / min A B misura 4l 9 / min misura3l / min Figura : Tanqus d água

10 A axa líquida d variação d x () m g / min é dx x 3l / min)(0 g / l) (l / min) K g / l x 4l / min g / l K ( dx Logo 4 x x. K K Na qual, a xprssão x ( 3l / min)(0 g / l) (l / min) g / l K rprsna a quanidad m gramas d sal qu nra no anqu A m drminado insan. E a x xprssão 4l / min g / l rprsna a quanidad d sal m gramas qu é rirado do K anqu m um drminado insan. Por ouro lado, a axa líquida d variação d x ( ) é dx x x x x x. K K K K K Dsa forma, obmos o sguin sisma d quaçõs difrnciais d primira ordm. dx 4 x x K K dx 4 x x. K K Considrando qu ambos os anqus possum 50 liros d água, mos o sguin sisma d quaçõs difrnciais dx dx x x x 5 x -/5 /50 Sja A Figura : Tanqus d água a mariz dos coficins, a quação caracrísica é /5 -/ d( A I) Rsolvndo a quação 3 0, obmos os auovalors. E para cada auovalor subsiuindo na quação (A- I) K= 0 obmos os auovors associados v v. 0 (0)

11 ( 3/ 5) Dsa forma, o conjuno fundamnal d soluçõs do sisma (0) são X ( / 5) X sndo linarmn indpndns, a solução gral do sisma (0) é uma combinação linar dss conjuno d soluçõs, ou sja, ( / 5) ( 3/ 5) x () c c ( / 5) ( 3/ 5) ( ) x c c ond c c são consans. Obsrv qu lim x( 0 lim x( 0, o qu significa qu com o passar do mpo a quanidad d sal s dissolv. 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS Podmos dsacar qu os modlos d comparimnos podm sr modlados por quaçõs difrnciais ou sismas d quaçõs difrnciais. Dnr muias das aplicaçõs d modlos d comparimnos nas ciências, dsacamos os modlos populacionais, dsingração d Difusão. No modlo d Dsingração Radioaiva como a aividad d uma subsância radioaiva é proporcional ao númro d áomos radioaivos prsns m cada insan, dsa forma, foi obida a quação difrncial com o méodo d sparação d variávis obido a solução da subsância radioaiva m rlação ao mpo. Embora o modlo populacional d Malhus aprsna falhas, dvido a anális da solução obida, msmo assim é apropriado para a anális do crscimno populacional d uma cidad. Com a Li d Fick d qu o fluxo d subsância por unidad d ára é proporcional à difrnça d concnração d ambos os lados da mmbrana, foi modlado a quação difrncial do Modlo Difusão d Moléculas aravés d uma Mmbrana Clular do sisma d quaçõs difrnciais linars do modlo d Difusão d Marial aravés d uma Mmbrana. Porano as soluçõs das quaçõs difrnciais ou dos sismas d quaçõs difrnciais linars aplicados nos modlos d comparimnos srvm para analisar os fnômnos nvolvidos nos modlos. 5 REFERÊNCIAS ZILL, D. G., CULLEN, M. R. Equaçõs Difrnciais... São Paulo: Makron Books, 005. ZILL, D. G. Equaçõs Difrnciais com aplicaçõs m modlagm. São Paulo: Pionira Thomson Larning, 003. BASSANEZI, C. R., JUNIOR, W. C. F. Equaçõs Difrnciais com Aplicaçõs. São Paulo: Harbra lda, 988.