Dinâmica de Sistemas: Análise Matemática 1. Várias situações problemas do nosso cotidiano podem ser entendidas como sendo sistemas.

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1 inâmica d Sismas: nális amáica Capíulo Várias siuaçõs problmas do nosso coidiano podm sr nndidas como sndo sismas. nominamos d sisma um conjuno d lmnos inrligados com o objivo d dsmpnhar uma drminada função. Por mplo, uma Cadrna d Poupança é um sisma, pois é composa d lmnos como pósio, aa d Rndimno, Poupança, c, qu inrligados dsmpnham a função própria d uma cadrna. odlo Padrão d um Sisma Qualqur sisma pod sr rprsnado da sguin manira: Figura. Rprsnação gral d um sisma. Ond: u Enrada do Sisma: É um símulo forçan aravés do qual s dsja obsrvar ou obr uma rsposa do sisma. y Saída ou Rsposa do Sisma: É a variávl d inrss do sisma. Inrnamn os sismas podm sr consiuídos por variávis d soqu (()), ou sja, variávis qu rprsnam o sado do sisma m um insan d mpo. O soqu é rsponsávl plo armaznamno das condiçõs iniciais do sisma. iz-s qu um sisma é d ordm n quando possui n variávis d soqu (ambém chamadas d variávis d sado), o qu ambém significa qu a quação difrncial qu rprsna ss sisma é d ordm n. Figura. Rprsnação gral d um sisma d ordm n com sus lmnos armaznadors.

2 inâmica d Sismas: nális amáica ssim: Esado do Sisma: É a variávl qu coném a condição inicial do sisma rprsna o su sado (ou condição) a cada insan d mpo. O odlo Padrão é a forma d rprsnação d um sisma m função das variávis: u Enrada do Sisma. y Saída ou Rsposa do Sisma. Esado do Sisma. Como mplo, ommos um sisma d Cadrna d Poupança: Figura. odlo alhado do sisma d Cadrna d Poupança. Nss sisma há um pósio d valor consan U fuado mnsalmn, rprsnando um fluo d nrada d dinhiro d valor consan na Poupança. ss fluo d nrada soma-s uma parcla qu corrspond a um valor prcnual da poupança a cada insan. Es valor é drminado pla aa d Rndimno ( r ) mnsal da Cadrna d Poupança. condição inicial (sado inicial do sisma) é rprsnada pla consan (). Obsrvando o sisma da figura. concluímos qu: pósio Enrada (u) Poupança Saída ou Rsposa (y) Poupança Esado () Como o fluo é a aa d variação no mpo do sado corrspondn: Fluo d inhiro aa d Variação do Esado ( )

3 inâmica d Sismas: nális amáica Porano podmos rprsnar ss sisma conform figura.4: Figura.4 odlo Padrão do sisma d Cadrna d Poupança. O modlo da figura.4 é chamado d odlo Padrão, pois é a rprsnação do sisma m função da sua variávl d nrada (u consan U), variávl d saída (y) variávl d sado (). ssim, ss sisma pod sr complamn dscrio plas quaçõs: r U y (.a) (.b) conhcndo-s sua condição inicial (()). quação (.a) é chamada d quação d sado a quação (.b) d quação d saída do sisma. Efios da Ralimnação Posiiva Vamos agora analisar o odlo Causal do sisma d Cadrna d Poupança:

4 inâmica d Sismas: nális amáica 4 Figura.5 odlo Causal do sisma d Cadrna d Poupança. Nss sisma obsrvamos qu um aumno do fluo ( ) acarra m um aumno do valor da variávl d sado (), m consqüência, o fluo aumna assim ss ciclo vai s rpindo a cada insan d mpo. Essa siuação caracriza um sisma com ralimnação posiiva. Porano, um sisma ralimnado posiivamn nd a sr insávl, pois sua variávl d sado consqünmn a rsposa crscm indfinidamn. Para obrmos a prssão da rsposa (ou saída) do sisma d Cadrna d Poupança dvmos rsolvr as quaçõs (.a) (.b), rscrias a sguir: r U y (.a) (.b) ns d rsolvrmos ssas quaçõs, obsrv a anális da sguin quação: ( ) ( ) única função qu m como drivada (m rlação ao mpo) a própria função é a ponncial, porano: ( ) qu m como drivada: ( ) Basado nisso, podmos supor qu a solução da quação (.a) m a sguin forma gral:

5 inâmica d Sismas: nális amáica 5 ( ) U (.) rivando m rlação ao mpo, mos: ( ) (.) pois U é consan. Subsiuindo as quaçõs (.) (.) na quação (.a): r ( U) U ( ) ( ) U r r Para qu a úlima igualdad sja vrdadira indpndnmn do valor d d U os coficins nr parênss dvm sr nulos, porano: r r r E ainda: r r r Para a drminação d dvmos r o conhcimno da condição inicial do sisma, ou sja, do valor inicial da variávl poupança (()). a quação (.) mos: ( ) U ( ) U (.4) Subsiuindo o valor d na quação (.4): r r ( ) U ( ) U quação qu dscrv o sado dss sisma m função do mpo é obida subsiuindo os valors d, na quação (.): r r r r ( ) ( ) U U

6 inâmica d Sismas: nális amáica 6 U r ( ) ( ) ( r ) r (.5) a quação (.b), a rsposa (saída) é igual ao sado do sisma, porano: y U r ( ) ( ) ( r ) r (.6) quação (.6) qu dscrv a rsposa do sisma corrspond à curva da figura.6: Figura.6 Curva da rsposa do sisma d Cadrna d Poupança. Conclusão: Sismas com ralimnação posiiva gram rmos ponnciais crscns na prssão do sado, consqünmn, na prssão da rsposa do sisma. ssim o valor da rsposa crsc indfinidamn, por isso sss sismas são insávis. nális da Rsposa ransiória m Rgim Prmann S, por mplo, U, ou sja, a nrada do sisma é nula m qualqur insan d mpo, a quação (.6) qu dscrv o comporamno da rsposa do sisma s ransformará m: y r ( ) ( ) ( r ) ( ) ( ) r r y (.7) quação (.7) é chamada rsposa livr do sisma. rsposa livr corrspond à rsposa do sisma quando a nrada é nula, ou sja, quando não há uma variávl d nrada forçan. Porano, a rsposa dpndrá somn da condição inicial das caracrísicas do sisma. No nano, s considrarmos (), ou sja, a condição inicial do sisma nula, da quação (.6):

7 inâmica d Sismas: nális amáica 7 y U r ( ) ( r ) y r U ( ) ( r ) r (.8) quação (.8) é chamada d rsposa forçada do sisma. rsposa forçada corrspond à rsposa do sisma quando a sua condição inicial é nula. ssim a rsposa dpndrá somn da nrada das caracrísicas do sisma. Porano a rsposa compla d um sisma é a soma da sua rsposa livr com a sua rsposa forçada: y U r ( ) ( ) ( r ) R sposa Livr r Rsposa Forçada Obsrva-s qu a rsposa livr dss sisma m paricular m um comporamno ponncial crscn ( r é smpr posiivo) a rsposa forçada m um comporamno d uma ponncial crscn subraída d uma consan. Porano, a rsposa compla dss sisma nunca saciona m um valor finio, ou sja, nunca s sabiliza, crscndo indfinidamn com o passar do mpo. Isso é comprovado mamaicamn quando: lim y ( ) Simulação do Sisma: Influência do éodo d Ingração Numérica O sado d um sisma pod sr obido ingrando-s, no mpo, o su fluo corrspondn. lém disso, o sado do sisma pod sr considrado a sua rsposa. S o fluo d uma variávl d sado é uma função do mpo rprsnada por: d d ( ) ( ) d( ) ( ) d Para obrmos o sado consqünmn a rposa do sisma dvmos ingrar o fluo no mpo. ssim, ingrando os dois lados da quação anrior mos:

8 inâmica d Sismas: nális amáica 8 ( ) d ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ao ( ) ( ) ( ) d d ( ) ( ) ( ) ond é a ára sob a curva do fluo obida analiicamn limiada plo insan (insan inicial da simulação) o insan (insan dsjado), vja a figura.7: Figura.7 Curva do fluo ára. Conudo, o sofwar Powrsim, assim como qualqur ouro qu uiliz o compuador, não calcula o valor ao d uma ingral. Os valors do compuador são obidos aravés d ingração numérica. ifrns méodos d ingração numérica podm aprsnar difrns rsulados para os valors d sado ambém d rsposa d um msmo sisma. lém do rro inroduzido plo méodo, o passo d simulação ambém pod originar discrpâncias. Por isso é crucial o conhcimno do méodo d ingração numérica usado plo sofwar na simulação, para qu s drmin corramn a rsposa do sisma. Vrmos a sguir alguns méodos d ingração numérica. éodo d Eulr (Passo Fio) Nss méodo, a ára sob a curva do fluo é aproimada por um rângulo (Ára B - Figura.8): Figura.8 Ára aa () ára do éodo d Eulr (B).

9 inâmica d Sismas: nális amáica 9 ond: (Passo d simulação). Obsrv qu a ára B sria igual à ára somn s o fluo foss consan: Figura.9 Fluo consan. Para um fluo qualqur variávl no mpo: Eulr ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B B Eulr O rro comido srá: Erro B Obsrv qu s o passo d simulação for ão pquno qu pudr sr considrado infinisimal, ou sja, a ára sob a curva do fluo pudr sr aproimada por vários rângulos d largura infinisimal, o sado rá su valor ao: B Eulr( ) ao( ) Conclusão: S o passo d simulação pudr sr fio muio pquno, os valors do sado rsposa obidos plo éodo d Eulr s aproimarão dos valors aos. Porém dv-s lvar m considração o mpo d procssamno, pois, quano mnor for o passo d simulação, maior srá o mpo gaso na simulação. éodo do rapézio (Passo Fio) Nss méodo, a ára sob a curva do fluo é aproimada por um rapézio (Ára C - Figura.):

10 inâmica d Sismas: nális amáica Figura. Ára aa () ára do éodo do rapézio (C). (Passo d simulação). Nss caso: rapézio ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C C rapézio O rro comido srá: Erro C Novamn, s o passo d simulação for ão pquno qu pudr sr considrado infinisimal, mos: C rapézio( ) ao ( ) Obsrvação: No Powrsim não nconramos o éodo do rapézio. éodo Rung-ua n (R-n) Nss méodo, a ára sob a curva do fluo é aproimada por uma ára sob um polinômio d grau n qu s aproim da curva original. No Powrsim mos: R-: polinômio d grau ; R-: polinômio d grau ; R-4: polinômio d grau 4; R-4: polinômio d grau 4 com passo d simulação variávl; O R-4 d passo variávl é um méodo ond o passo d simulação varia consanmn duran a simulação.

11 !! inâmica d Sismas: nális amáica Um algorimo qu calcula o sado ou a rsposa d um sisma uilizando o éodo R-4 pod sr obido como dscrio a sguir: n, n, n, f ( n, ( n )) f ( n, ( n ) n, ) f ( n, ( n ) n,) f, ( ) n,4 ( n n n,) ( ) ( ) ( ) n n 6 n, n, n, n,4 ond é o passo d simulação n é o índic do insan d mpo considrado. Emplo.: S considrarmos qu uma cadrna d poupança possui um valor inicial d R$, uma aa d rndimno mnsal d % ainda são ralizados dpósios mnsais d R$,, qual srá o valor da poupança no sgundo mês? Uiliz o éodo R-4 usando o algorimo dpois compar com o obido na simulação do sisma no Powrsim. Solução: s quaçõs dss sisma são as quaçõs (.a) (.b) rscrias a sguir: r U y (.a) (.b) ond: r,, U, () f (, ( )) (, ( )) n n n n Considrando um mos: ( ) ;, f ( ; ( ) ( ) " r # # U,, ( ),5 5, 5 (,5;5,5),5,5, 55, f

12 inâmica d Sismas: nális amáica, ( ),5,55 5, 755, (,5;5,755),5,755, 575 f ( ),575, 575, ( ;,575),,575, 58, 4 f 6 ( ) (,55,575,58), 5669 ; ( ), 5669 ( ;( ) ),,5669, 57, f, ( ),5669,5,57 5, 54 (,5;5,54), 5,54, 554, f, ( ),5669,5,554 5, 7696 (,5;5,7696), 5,7696, 5769, f ( ),5669,5769 4, 48, ( ;4,48),4,48, 44, 4 f ( ), (,57,554,5769,44) 4, 5 ; ( ) 4, 5 Porano no sgundo mês a poupança srá d aproimadamn R$ 4,5 (no nano, d acordo com o sisma bancário ral, su valor sria d R$,). Em sguida srão ralizados alguns mplos numéricos para comparação da rsposa analíica com a obida da simulação do sisma no sofwar Powrsim. É inrssan qu o lior s cada um dos méodos d ingração disponívis no Powrsim ir suas conclusõs basadas na comparação dos valors obidos na simulação com os valors obidos analiicamn. Para alrar o méodo d ingração do Powrsim siga os sguins passos:

13 inâmica d Sismas: nális amáica bra o Powrsim; Cliqu m Simula na barra d frramnas; Escolha a opção Simulaion Sup. Figura. Opção Simulaion Sup. janla da figura. aparcrá. No campo hod sará scolhido o méodo Eulr (fid sp) qu é a opção dfaul do Powrsim. Subsiua-o plo méodo dsjado. Figura. Opção hod. ssa manira, a ingração na simulação do Powrsim srá fia uilizando-s o méodo scolhido. Emplo.: S considrarmos qu uma cadrna d poupança possui um valor inicial d R$., uma aa d rndimno mnsal d %, qual dvrá sr o valor dos dpósios consans

14 inâmica d Sismas: nális amáica 4 mnsais para qu sa poupança ainja o dobro do su valor inicial m 6 mss? Primiro rsponda analiicamn m sguida simul no Powrsim usando cada um dos méodos d ingração disponívis compar os rsulados. Solução analíica: () r, u U? 6 y(6).() a quação (.6) mos: y U,,6,6 ( ) ( ) ( 6 ) ( ),6 U,6 ( ),6 (,6 U ), U,6, 6 ( ),6 U U 5, 7,6 Porano os dpósios mnsais dvrão sr d aproimadamn R$ 5,7. Emplo.: S uma cadrna d poupança possui um valor inicial difrn d zro, qual dvrá sr a aa d rndimno mnsal para qu sa poupança ainja o dobro do su valor inicial m 6 mss s nss príodo não for fuado nnhum dpósio? Primiro rsponda analiicamn m sguida simul no Powrsim usando cada um dos méodos d ingração disponívis compar os rsulados. Solução analíica: r? y(6).() 6 U Como a nrada é nula, da quação (.7) mos:

15 inâmica d Sismas: nális amáica 5 y 6 ( 6) ( ) r 6 ( ) ( ) r 6 r ln r 6 ln r 6 ln ln r r, 55 6 aa d rndimno mnsal dvrá sr d aproimadamn d,55%. Emplo.4: Qual dvrá sr o valor inicial da poupança para qu s nha R$., m 5 mss s sua aa d rndimno mnsal é d 5% não há dpósios ralizados nss príodo? Primiro rsponda analiicamn m sguida simul no Powrsim usando cada um dos méodos d ingração disponívis compar os rsulados. Solução analíica: r,5 y(5) 5 U Como a nrada é nula, da quação (.7) mos: y,5,5 5 ( 5) ( ) ( ) ( ) 778, 8 Porano o valor inicial da poupança dvrá sr d aproimadamn d R$ 778,8. Obsrvação: S a nrada for nula como no úlimo mplo, quando aing 7% do su valor inicial. r, a poupança a quação (.7) mos: r r r ( ) mos:,7 ( ) Como, 7 r

16 inâmica d Sismas: nális amáica 6 safio S no sisma d Cadrna d Poupança da figura. houvss um fluo d saída d dinhiro proporcional ao valor da poupança m cada insan d mpo, dfinida como um valor prcnual dssa poupança aravés d uma aa d Saqus ( s ) mnsal (vja figura.), como sria o su odlo Padrão quais sriam suas quaçõs d sado d saída? Basado m suas rsposas, o qu você pod concluir? Figura. odlo alhado do sisma d Cadrna d Poupança com fluo d saída d dinhiro.

17 inâmica d Sismas: nális amáica 7 Capíulo nalisarmos agora o comporamno da sguin siuação-problma: Um aluno dsja nchr um copo com um cro volum d água. ssim l m m mn um nívl dsjado d água no copo. El fica consanmn obsrvando o nívl da água no copo nquano conrola a abrura da ornira com as mãos. No início o copo sá vazio a difrnça prcbida nr o nívl dsjado d água o nívl da água no copo é grand, porano, l abr basan a ornira consqünmn o fluo d água é grand. À mdida qu o nívl da água no copo vai aumnando, a difrnça prcbida diminui, fazndo com qu o aluno diminua a abrura da ornira o fluo d água. Quando finalmn o nívl da água no copo alcança o nívl dsjado d água a difrnça prcbida é nula, fazndo com qu l fch a ornira, inrrompndo o fluo d água. O nívl da água indica o volum dsjado ou o conido no copo m ml. Figura. iagrama Causal do sisma d Nívl d Água. Fon: Quina isciplina, Pr Sng. Figura. odlo alhado do sisma d Nívl d Água.

18 inâmica d Sismas: nális amáica 8 Para a consrução do odlo alhado da figura. lvou-s m considração qu a abrura da ornira é quivaln ao fluo d água. E ainda, o fluo d água é igual à dfasagm prcbida, por unidad d mpo (). dfasagm prcbida, por sua vz, é a difrnça nr o nívl dsjado d água (considrado d valor consan U) o nívl da água no copo. Obsrvando o sisma da figura. concluímos qu: Nívl sjado d Água Enrada (u) Nívl da Água no Copo Saída ou Rsposa (y) Nívl da Água no Copo Esado () Como o fluo é a aa d variação no mpo do sado corrspondn, mos: Fluo d Água aa d Variação do Esado ( ) Porano podmos rprsnar ss sisma conform figura.: Figura. odlo Padrão do sisma d Nívl d Água. Ess sisma pod sr complamn dscrio plas quaçõs: U U (.a) y y (.b) conhcndo-s sua condição inicial.

19 inâmica d Sismas: nális amáica 9 consan corrspond ao inrvalo d mpo para s nchr o copo aé o nívl dsjado d água s o fluo inicial foss manido consan, ou sja, quano mnor for mais rapidamn o nívl da água no copo aingirá o nívl dsjado d água. Efios da Ralimnação Ngaiva Obsrv o odlo Causal do sisma d Nívl d Água: Figura.4 odlo Causal do sisma d Nívl d Água. Nss sisma obsrvamos qu um aumno do fluo ( ) acarra m um aumno do valor da variávl d sado (); porém, o incrmno da variávl d sado faz com qu o fluo diminua assim ss ciclo vai s rpindo a cada insan d mpo. Essa siuação caracriza um sisma com ralimnação ngaiva. Um sisma ralimnado ngaivamn nd a sr sávl, pois sua variávl d sado consqünmn a rsposa (ou saída) ndm a um valor finio. Para conhcrmos a rsposa dss sisma dvmos rsolvr as quaçõs (.a) (.b), rscrias a sguir: y U (.a) (.b) solução gral da quação (.a) é: ( ) U (.) rivando m rlação ao mpo, mos:

20 inâmica d Sismas: nális amáica ( ) (.) Subsiuindo as quaçõs (.) (.) na quação (.a): ( ) U U U Para qu a úlima igualdad sja vrdadira indpndnmn d d U, os coficins nr parênss dvm sr nulos: Para a drminação d mos qu r o conhcimno da condição inicial do sisma, ou sja, do valor inicial da variávl nívl da água no copo (()). a quação (.) mos: ( ) U ( ) U (.4) Subsiuindo o valor d na quação (.4): ( ) U ( ) U quação qu dscrv o sado ds sisma m função do mpo é obida subsiuindo os valors d, na quação (.): ( ) ( ) U U Como considramos qu inicialmn o copo sava vazio, (): ( ) U U ( ) U U ( ) U (.5) a quação (.b), a rsposa m função do mpo é igual ao sado do sisma:

21 inâmica d Sismas: nális amáica y ( ) U (.6) quação (.6) qu dscrv a rsposa do sisma corrspond à curva da figura.5: Figura.5 Curva da rposa do sisma d Nívl d Água. Conclusão: Sismas com ralimnação ngaiva gram rmos ponnciais dcrscns na prssão do sado, consqünmn, na prssão da rsposa do sisma, porém a forma da rsposa é uma combinação d ponnciais dcrscns consans. ssim a rsposa dsss sismas ndm smpr a um valor finio, por isso, sss sismas são sávis. nális da Rsposa ransiória m Rgim Prmann rsposa livr dss sisma é: y ( ) ( ) y( ) y ( ) (.7) E a rsposa forçada é: y ( ) U (.8) Porano a rsposa compla é igual à rsposa forçada. Obsrva-s ainda qu a rsposa livr dss sisma m paricular é nula a rsposa forçada m um comporamno d uma ponncial dcrscn subraída d uma consan.

22 inâmica d Sismas: nális amáica Porano, a rsposa compla dss sisma saciona m um valor finio m algum insan, ou sja, s sabiliza com o passar do mpo. Isso é comprovado mamaicamn quando: lim y ( ) C ond C é um valor finio qualqur. Um parâmro imporan d alguns sismas d ª ordm ralimnados ngaivamn é a consan d mpo ( τ ) do sisma. consan d mpo rprsna o insan no qual a rsposa aingiria su valor final s o fluo inicial foss manido (fluo consan). Figura.6 Indicação da consan d mpo do sisma O fluo inicial (m ) pod sr drminado da quação (.a): ( ) ( ) U ( ) U ( ) U S o fluo foss manido consan, para qualqur insan d mpo, l sria: ( ) ( ) ( ) U (.9) Cons an Enão, o sado do sisma sria a ingral no mpo da quação (.9): ( ) ( ) d U d Cons an ( ) U ( ) U

23 inâmica d Sismas: nális amáica a quação (.b), ríamos a sguin rsposa: y( ) U (.) O valor final da rsposa dss sisma é: lim y ( ) y( ) a quação (.6): y ( ) U y ( ) U y( ) U ( ) ( ) U y E da quação (.) mos qu: y ( ) U y ( ) U ssim, a rsposa aingiria su valor final (U), quando. Porano, a consan d mpo dss sisma é igual à unidad d mpo do fluo scolhida ( τ ). Quano mnor for, mais rapidamn a rsposa aingirá su valor final. Obsrvação: S a condição inicial do sisma d Nívl d Água é nula, quando da água no copo aing 6% do su valor final:, o nívl rsposa dss sisma é dada pla quação (.8):,7 y ( ) U ( ) y U y( ),6 U nalogia d Sismas d ª Ordm Obsrv agora um mplo d sisma análogo ao d Nívl d Água:

24 inâmica d Sismas: nális amáica 4 Figura.7 Circuio lérico d ª ordm. parir do modlo dss sisma dsja-s sabr a nsão ( ()) sobr o capacior (C) quando a chav é fchada considrando-s qu a corrn i é consan. Para ss sisma mos: i Enrada (u) Saída ou Rsposa (y) Esado () quação difrncial qu dscrv ss sisma é obida pla Li d irchhoff das corrns: i C R ou U C R R C C U Porano ss sisma pod sr dscrio plas quaçõs: R C y C U (.a) (.b) E das quaçõs (.a) (.b) podmos obr su odlo Padrão: Figura.8 odlo Padrão do sisma lérico.

25 inâmica d Sismas: nális amáica 5 Ond: R C B C ssim podmos rprsnar ss sisma aravés das quaçõs: B U y (.a) (.b) rsolução das quaçõs (.a) (.b) é smlhan à das quaçõs (.a) (.b). ssa manira: y B B ( ) ( ) U U B B ( ) ( ) U U Obsrv as smlhanças nr os conjunos d quaçõs (.) (.) as smlhanças nr os modlos das figuras..8. O qu você conclui? Emplo.: Simul o sisma d nívl d água quando o nívl dsjado d água é ml (U ) no insan inicial não há água no copo (() ). do sgundo. Uiliz o méodo d ingração R-4. Emplo.: Simul o sisma lérico quando a fon d corrn é d m (U ), R Ω C F sando s inicialmn dscarrgado (() ). Uiliz o méodo d ingração R-4. Qual a consan d mpo dss sisma? Qual a smlhança da rsposa dss sisma com a rsposa do mplo.?

26 inâmica d Sismas: nális amáica 6 Capíulo é aqui, vimos apnas mplos d sismas d ª ordm, ou sja, aquls qu êm apnas um soqu. Irmos sudar agora o comporamno d um sisma com soqus. Para isso, considr a sguin siuação-problma: Um aluno sgura um bloco d massa (g) manndo-o m uma posição S() dada m mros (o aluno rc uma força consan d valor U (N)). Ess bloco sá prso a uma pard por uma mola d consan lásica ambém possui rodinhas, podndo-s dsprzar o ario dss bloco com a suprfíci m qu s apóia. Considrando qu s bloco sá no vácuo, pod-s dsprzar ambém o fio do ario viscoso qu sria causado plo ar m vola do bloco. O aluno dsja conhcr a posição dss bloco a cada insan d mpo quando solá-lo, diando-o livr. Figura. Configuração do sisma assa-ola. ssim, para >, a quação qu dscrv ss sisma pod sr obida das Lis d Nwon: F a S (.) ond a é a aclração S a posição do bloco. dv d S a a S (.) d d ond v é a vlocidad do bloco. Subsiuindo a quação (.) na quação (.):

27 inâmica d Sismas: nális amáica 7 S S (.) quação (.) é d ª ordm, isso significa qu mos duas variávis d sado (soqu) no modlo dss sisma: Figura. odlo prliminar do sisma com duas variávis d sado. S considrarmos: S (.4a) S (.4b) rivando a quação (.4a) m rlação ao mpo, mos: S Porano, da quação (.4b): rivando a quação (.4b) m rlação ao mpo, mos: S a quação (.): S S S S Nssa siuação-problma, podmos considrar qu: f (força com a qual o aluno sgura o bloco) Enrada (u) S (posição do bloco) Saída ou Rsposa (y)

28 inâmica d Sismas: nális amáica 8 S (posição do bloco) Esado ( ) S (vlocidad do bloco) Esado ( ) E ainda: S (vlocidad do bloco) aa d variação do Esado ( ) S (aclração do bloco) aa d variação do Esado ( ) Porano, o sisma pod sr rprsnado plo sguin odlo Padrão: Figura. odlo Padrão do sisma assa-ola. Ond: (coficin da variávl d sado prsn no fluo ). Como U para >, ss sisma pod sr complamn dscrio plas quaçõs a sguir: y (.5a) (.5b) (.5c)

29 inâmica d Sismas: nális amáica 9 conhcndo-s suas condiçõs iniciais. Efios da Ralimnação Posiiva-Ngaiva Obsrv qu a quação (.5a) indica uma ralimnação posiiva (sado ralimnado posiivamn plo sado ), a quação (.5b) uma ralimnação ngaiva (sado ralimnado ngaivamn plo sado ). Isso significa qu:. Quando o sado é ngaivo, o fluo ẍ é ngaivo ambém.. Enquano o fluo ẍ é ngaivo, o sado dcrsc.. O sado vai dcrscndo aé ornar-s ngaivo, quando isso aconc o fluo ẍ s orna posiivo. 4. Enquano o fluo ẍ é posiivo, o sado crsc. 5. O sado vai crscndo aé ornar-s posiivo, quando isso aconc o fluo ẍ s orna posiivo ambém. 6. Enquano o fluo ẍ é posiivo, o sado crsc. 7. O sado vai crscndo aé ornar-s posiivo novamn, quando isso aconc o fluo ẍ s orna ngaivo. 8. Enquano o fluo ẍ é ngaivo, o sado dcrsc assim o ciclo com as siuaçõs , vão s rpindo. Nss sisma obsrvamos qu as variávis d sado são smpr alrnando o su sinal (m alguns momnos é posiivo, m ouros é ngaivo), ou sja, as variávis d sado são oscilaórias. Essa siuação caracriza um ipo d sisma com ralimnação posiivangaiva. Ns mplo, a ralimnação d um sado é fia somn a parir do ouro Esado. Para obrmos a prssão da rsposa dss sisma dvmos rsolvr as quaçõs (.5a), (.5b) (.5c), rscrias a sguir: y (.5a) (.5b) (.5c)

30 inâmica d Sismas: nális amáica Uma variávl oscilaória pod sr dscria por uma prssão cossnoidal. Porano, a solução gral da quação (.5a) é: ( ) cos (.6) rivando a quação (.6) m rlação ao mpo, mos: ( ) sn (.7) Subsiuindo a quação (.7) na quação (.5a): ( ) sn (.8) rivando a quação (.8) m rlação ao mpo, mos: ( ) cos (.9) Subsiuindo as quaçõs (.6) (.9) m (.5b): cos ( ) cos( ) Para a drminação d dvmos conhcr a condição inicial do sisma. a quação (.6): ( ) cos( ) ( ) ( ) ssim, a quação qu dscrv o sado dss sisma m função do mpo é obida subsiuindo os valors d na quação (.6): (.) ( ) ( ) cos Obsrv qu o argumno do cossno da quação (.) m como unidad o radiano: [ rad] [ s] cos( [ rad] ) [ s] cos

31 inâmica d Sismas: nális amáica quação qu dscrv o sado m função do mpo é obida subsiuindo os valors d na quação (.8): (.) ( ) ( ) sn a quação (.5c), a rsposa dss sisma m função do mpo é igual ao sado : y (.) ( ) ( ) cos quação (.) qu dscrv a rsposa do sisma m função do mpo corrspond à curva da figura.4: Figura.4 Curva da rposa do sisma assa-ola. Conclusão: Sismas com variávis d sado (soqu) com ralimnação posiivangaiva ond um sado é ralimnado somn plo ouro sado gram rmos cossnoidais na prssão do sado, consqünmn, na prssão da rsposa do sisma. ssim a rsposa dsss sismas não nd a um valor finio, mas, fica oscilando nr dois valors finios, por isso ls são sávis dnro d uma faia limiada pla ampliud do cossno. nális da Rsposa ransiória m Rgim Prmann rsposa livr dss sisma é: y (.) ( ) ( ) cos E a rsposa forçada é:

32 inâmica d Sismas: nális amáica y ( ) (.4) Porano a rsposa compla é a própria rsposa livr. Obsrva-s qu a rsposa livr dss sisma m paricular m um comporamno oscilaório a rsposa forçada é nula. ssim, a rsposa compla dss sisma nunca saciona m um valor finio, mas oscila nr dois valors finios. Um parâmro imporan d alguns sismas d ª ordm ralimnados posiivamn ngaivamn é o príodo () ou frqüência naural ( n) d oscilação da rsposa. Figura.5 Indicação do príodo d oscilação () da rsposa. a quação (.) podmos obr a frqüência naural d oscilação da rsposa: y ( ) ( ) cos ω n ω n (.5) Como: π ω n (.6) Subsiuindo a quação (.6) na quação (.5) mos o príodo da rsposa: π π é aqui considramos qu nss sisma não havia ario. Como sria a rsposa dss sisma s s bloco sivss m um mio viscoso, como o ar por mplo, sofrndo assim uma força d ario conrária ao su?

33 inâmica d Sismas: nális amáica Figura.6 Configuração do sisma assa-ola com ario viscoso. força d ario viscoso é dada por: F ario v (v é a vlocidad do bloco) F ario S (.7) ond é o coficin d ario viscoso. Ns caso, para >, a quação qu dscrv o sisma é obida da quação (.) acrscnando-s a la a força d ario dada pla quação (.7): F S S S (.8) F ario ssim como no sisma sm ario, s considrarmos: S (.9a) S (.9b) rivando a quação (.9a) m rlação ao mpo, mos: S Porano, da quação (.9b): rivando a quação (.9b) m rlação ao mpo, mos:

34 inâmica d Sismas: nális amáica 4 S a quação (.8): S S S S S S (.) O odlo Padrão do sisma com ario pod sr obido do modlo sm ario, porém quando s m ario aparc uma ralimnação do sado no próprio fluo (obsrv a quação (.)): Figura.7 odlo Padrão do sisma assa-ola com ario. Ond: (coficin da variávl d sado prsn no fluo ). (coficin da variávl d sado prsn no fluo ). Como U para >, ss sisma pod sr complamn dscrio plas quaçõs a sguir:

35 inâmica d Sismas: nális amáica 5 y (.a) (.b) (.c) conhcndo-s suas condiçõs iniciais. Comparando as quaçõs (.a), (.b) (.c) com as quaçõs (.5a), (.5b) (.5c), obsrvamos qu além do comporamno oscilaório, os sados êm um comporamno ponncial dcrscn (ralimnação ngaiva) originada da ralimnação com o coficin. Porano os sados consqünmn a rsposa dss sisma são oscilaçõs com ampliuds qu dcrscm ponncialmn aé aingirm um valor finio. Para obrmos a prssão da rsposa dss sisma dvmos rsolvr as quaçõs (.a), (.b) (.c), rscrias a sguir: y (.a) (.b) (.c) Uma variávl oscilaória com ampliud qu dcrsc ponncialmn pod sr dscria por uma prssão ponncial dcrscn muliplicada por uma prssão cossnoidal. Porano, a solução gral da quação (.a) é: ( ) cos (.) rivando a quação (.) m rlação ao mpo, mos:

36 inâmica d Sismas: nális amáica 6 ( ) ( ) cos sn (.) Subsiuindo a quação (.) na quação (.a): ( ) ( ) ( )! " # cos sn (.4) rivando a quação (.4) m rlação ao mpo após alguma manipulação, mos: ( ) ( ) ( ) sn cos (.5) Subsiuindo as quaçõs (.), (.4) (.5) m (.b) após manipulação: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sn cos sn cos Para qu a úlima igualdad sja vrdadira indpndnmn do mpo, os coficins dos rmos m cossno sno dvm sr nulos: ( ) ( ) sn cos (.6) (.7) Subsiuindo o valor d na quação (.7): Para a drminação d dvmos conhcr a condição inicial do sisma. a quação (.):

37 inâmica d Sismas: nális amáica 7 ( ) cos( ) ( ) ( ) ssim, a quação qu dscrv o sado dss sisma m função do mpo é obida subsiuindo os valors d, na quação (.): (.8) ( ) ( ) cos 4 quação qu dscrv o sado m função do mpo é obida subsiuindo os valors d, na quação (.4). a quação (.c), a rsposa dss sisma m função do mpo é igual ao sado : y (.9) ( ) ( ) cos 4 quação (.9) qu dscrv a rsposa do sisma m função do mpo corrspond à curva da figura.8: Figura.8 Curva da rsposa do sisma assa-ola com ario. Conclusão: Sismas com variávis d sado (soqu) com ralimnação posiivangaiva ond há um sado ralimnado por si msmo ambém por ouro sado gram rmos cossnoidais d ampliud variávl na prssão do sado, consqünmn, na prssão da rsposa do sisma. Ns sisma a rsposa é uma oscilação amorcida qu nd a um valor finio, por isso l é sávl.

38 inâmica d Sismas: nális amáica 8 nális da Rsposa ransiória m Rgim Prmann rsposa livr dss sisma é: ( ) ( ) 4 cos y (.) E a rsposa forçada é: ( ) y (.) Porano a rsposa compla é a própria rsposa livr. Obsrva-s qu a rsposa livr dss sisma m paricular m um comporamno oscilaório-amorcido a rsposa forçada é nula. Porano, a rsposa compla dss sisma m algum insan saciona m um valor finio. Vrmos agora alguns parâmros imporans d sismas d ª ordm ralimnados posiivamn ngaivamn: Frqüência Naural morcida ($ d): pod sr obida da quação (.9). ( ) ( ) ω 4 cos y d % % & % % ' ( d 4 ω (.) frqüência naural amorcida ambém é dfinida como: n d ξ ω ω (.) Ond: ω n Frqüência Naural (dada pla quação (.5)) ξ Coficin d morcimno. Coficin d morcimno: pod sr obido da quação (.). d 4 ω 4 d ω (.)

39 inâmica d Sismas: nális amáica 9 Comparando a quação (.) com a quação (.), concluímos qu: ξ 4 ξ 4 ξ (.4) acordo com o valor do coficin d amorcimno ( ξ ), 4 siuaçõs podm ocorrr: ξ : O sisma srá oscilaório puro. < ξ < : Havrá oscilação da rsposa o sisma srá subamorcido. ξ : Não havrá oscilação da rsposa o sisma srá criicamn amorcido. ξ > : Não havrá oscilação da rsposa o sisma srá sobramorcido. Espcificação da Rsposa d Sismas Subamorcidos S o sisma m coficin d amorcimno < ξ <, sua rsposa rá um comporamno oscilaório-amorcido. Ns caso mos as sguins spcificaçõs: mpo d raso - a É o mpo ncssário para a rsposa alcançar pla ª vz a mad da difrnça nr o su valor inicial su valor final. Figura.9 mpo d araso da rsposa. Cálculo: a,7 ξ ωn a,7 (.5)

40 inâmica d Sismas: nális amáica 4 mpo d scida (ou Subida) d É o mpo ncssário para a rsposa passar do su valor inicial a % do su valor final. Figura. mpo d dscida da rsposa. π ( cos ξ) Cálculo: d ωd d π cos 4 (.6) Insan d Pico - p É o mpo ncssário para a rsposa alcançar o º pico d sobr-sinal (acima ou abaio do valor final da rsposa). Figura. Insan d pico da rsposa.

41 inâmica d Sismas: nális amáica 4 Cálculo: p π ωd π p (.7) 4 Sobr-sinal áimo - p É o máimo valor d pico da rsposa mdido a parir do su valor final. Figura. Sobr-sinal máimo da rsposa. ωn. ξπ ωd Cálculo: p % p % π 4 (.8) mpo d comodação - ac É o mpo para a rsposa alcançar prmancr no inrior d uma faia spcificada m orno d su valor final. Figura. mpo d acomodação da rsposa.

42 inâmica d Sismas: nális amáica 4 Cálculo: Para um criério d % ac 4 ξ ωn ac 8 (.9) Emplo.: Qual dv sr a massa () do bloco para qu l nha um sobr-sinal máimo d % s? Vrifiqu o valor do coficin d amorcimno compar com a curva da rsposa obida. Primiro rsolva analiicamn dpois simul no Powrsim usando R-4. Solução nalíica: ; ;? p, a quação (.8): π % 4 p π, 4 ln, π 4 ln, π ln, π 8 π 8 ln, π 8 ln, π ln, 8,6g Porano a massa do bloco dvrá sr d aproimadamn,6 g. O coficin d amorcimno srá: a quação (.4): ξ ξ,6,6 ξ,456 < ξ < O sisma é subamorcido.

43 inâmica d Sismas: nális amáica 4 Emplo.: Qual dv sr o coficin d ario viscoso () para qu um bloco d g prso a uma mola d consan oscil, com uma ampliud maior do qu % da difrnça nr a posição inicial a final, aé sgundos? Vrifiqu o valor do coficin d amorcimno compar com a curva da rsposa obida. Primiro rsolva analiicamn dpois simul usando R-4. Solução nalíica:? ; ac a quação (.9): ac 8 8 8, 8 Porano o coficin d ario viscoso dvrá sr d,8. O coficin d amorcimno srá: a quação (.4): ξ,8 ξ ξ, < ξ < O sisma é subamorcido. Qual dvrá sr o novo s é dsjada uma oscilação da msma forma aé os 5 primiros sgundos? a quação (.9): ac , 5 Porano o coficin d ario viscoso dvrá sr d,. O coficin d amorcimno srá:

44 inâmica d Sismas: nális amáica 44 a quação (.4): ξ, ξ ξ,9 < ξ < O sisma é subamorcido.

45 inâmica d Sismas: nális amáica 45 Capíulo 4 Ns capíulo farmos a anális d um ouro ipo d sisma d ª ordm qu possui ralimnaçõs posiivas ngaivas. Para isso, considr o modlo d um sisma d Rbanho Liiro conform mosrado na figura 4.. Figura 4. odlo alhado do sisma d Rbanho Liiro. parir do modlo dss sisma dsja-s sabr qu númro d Bzrras d Vacas isirá a cada ano s não são ralizadas Compras d Bzrras. ssim mos: s quisiçõs d Bzrras comprndm as provnins d Compras (ns caso, Compras ) mais as provnins da rprodução das Vacas adulas. s Bzrras rproduzidas são diramn proporcionais ao númro d Vacas d acordo com a aa d Naalidad d Bzrras dss rbanho ( N) qu é igual a %. Os animais diam d prncr ao soqu d bzrras quando morrm ou quando crscm. s ors comprndm um prcnual d Bzrras rprsnado pla aa d oralidad ( ) igual a %. O Crscimno ocorr com odas as Bzrras qu não morrrm. O soqu d vacas comprnd odas as Bzrras qu crscram. iam d prncr a s soqu odas as Vacas qu vão fazr par das Vndas do criador. Essas Vndas são um prcnual do númro d Vacas rprsnado pla aa d Vndas ( V) igual a %. Obsrvando o sisma da figura 4. concluímos qu:

46 inâmica d Sismas: nális amáica 46 Compras Enrada (u) Bzrras Saída ou Rsposa (y ) Vacas Saída ou Rsposa (y ) Bzrras Esado ( ) Vacas Esado ( ) Os fluos corrspondm à aa d variação no mpo dos sus sados corrspondns: Fluo Líquido d Bzrras aa d Variação do Esado ( ) Fluo Líquido d Vacas aa d Variação do Esado ( ) Os fluos líquidos são obidos a parir da difrnça nr o fluo d nrada d saída d animais d cada soqu: Enra Sai ( ) N V Enra Sai Porano podmos rprsnar ss sisma conform figura 4.: Figura 4. odlo Padrão do sisma d Rbanho Liiro. Como U para >, ss sisma pod sr complamn dscrio plas quaçõs:

47 inâmica d Sismas: nális amáica 47 ( ) N V y ( ) (4.a) (4.b) (4.c) y (4.d) conhcndo-s suas condiçõs iniciais. O odlo Padrão m função dos coficins,, é mosrado na figura 4.: Figura 4. odlo Padrão do sisma d Rbanho Liiro. Efios da Ralimnação Posiiva Ngaiva Obsrvando as quaçõs (4.a) (4.b) noa-s qu ss sisma m ralimnaçõs posiivas ngaivas. lém disso, obsrva-s qu cada sado (ou soqu) é ralimnado ngaivamn por si msmo posiivamn plo ouro sado. Ess ipo d configuração d sisma dá origm a sados qu são rprsnados por combinaçõs d funçõs ponnciais, consqünmn, suas rsposas ambém srão funçõs ponnciais. Para obrmos a prssão das rsposas dss sisma dvmos rsolvr as quaçõs (4.a), (4.b), (4.c) (4.d) rscrias a sguir m função d,, : (4.a) (4.b)

48 inâmica d Sismas: nális amáica 48 y (4.c) y (4.d) Ond: V N ou,,, (4.) Sabndo qu cada ralimnação dá origm a uma função ponncial, a solução gral da quação (4.b) é: ( ) 4 (4.4) rivando a quação (4.4), mos: ( ) 4 4 (4.5) Subsiuindo as quaçõs (4.4) (4.5) na quação (4.b): ( )!! " (4.6) rivando a quação (4.6) m rlação ao mpo: # (4.7) Subsiuindo as quaçõs (4.7), (4.6) (4.4) m (4.a) após alguma manipulação: ( ) ( ) Para qu a úlima igualdad sja vrdadira indpndnmn do mpo, sus coficins dvm sr nulos:

49 inâmica d Sismas: nális amáica 49 ( ) ( ) (4.8) Subsiuindo na quação (4.8) os valors numéricos d,, conform as quaçõs (4.):,,6 ' '',54,46 Obsrv qu a msma solução é obida para 4 : ' 4 '' 4,54,46 Porém, para qu nha a forma da função dada pla quação (4.4), dv sr difrn d 4, assim adoarmos: 4,54,46 Para a drminação d dvmos conhcr as condiçõs iniciais do sisma. a quação (4.4): 4 ( ) ( ) ( ) (4.9) a quação (4.6): ( ) 4 4 ( ) 4 (4.) Subsiuindo a quação (4.9) na quação (4.): ( ) ( ) 4

50 inâmica d Sismas: nális amáica 5 4 ( ) ( ) ( ) ( ) (4.) 4 Subsiuindo os valors d, 4, na quação (4.): ( ),54 ( ) (4.),8 O valor d é obido subsiuindo o valor d na quação (4.9): ( ) ( ),954 (4.),8 S considrarmos qu: ( ) ( ) rmos das quaçõs (4.) (4.) rspcivamn: 5,75 5,75 Porano o sado, m função do mpo, dss sisma é obido subsiuindo os valors d,, 4 na quação (4.4):,54,46 ( ) 5,75 5,75 O sado, m função do mpo, é obido subsiuindo os valors d,,, 4, na quação (4.6):,54,46 ( ) 54,58 45,4 s rsposas, m função do mpo, dss sisma são dadas plas quaçõs (4.c) (4.d), porano:

51 inâmica d Sismas: nális amáica 5,54,46 ( ) 5,75 5,75 y (4.4),54,46 ( ) 54,58 45,4 y (4.5) s quaçõs (4.4) (4.5) qu dscrvm as rsposas m função do mpo corrspondm às curvas da figura 4.4: Figura 4.4 Curva das rsposas do sisma d Rbanho Liiro. Conclusão: Sismas qu possum variávis d sado (soqu) com ralimnaçõs posiivas ngaivas ond cada sado é ralimnado posiivamn plo ouro ngaivamn por si msmo gram, na prssão do sado consqünmn na rsposa, uma combinação d rmos ponnciais qu podm sr crscns ou dcrscns, dpndndo do valor dos coficins (,, ). O sisma srá sávl s o valor da rsposa ndr a um valor finio insávl caso conrário. nális da Rsposa ransiória m Rgim Prmann s rsposas livrs dss sisma são:,54,46 ( ) 5,75 5,75 y,54,46 ( ) 54,58 45,4 y E as rsposas forçadas são: y ( ) y ( ) Porano as rsposas complas são as próprias rsposas livrs.

52 inâmica d Sismas: nális amáica 5 Obsrva-s ainda qu as rsposas livrs dss sisma m paricular êm um comporamno ponncial dcrscn as rsposas forçadas são nulas (pois U). Porano, as rsposas complas sacionam m um valor finio, ou sja, s sabilizam com o passar do mpo. safio S ns rbanho liiro a aa d Naalidad d bzrras é d % a aa d oralidad é d % ss valors não podm sr alrados, qual dvrá sr a aa d Vndas para qu o númro d vacas dss rbanho fiqu praicamn consan por um longo príodo d mpo?

53 ) ( ( ) inâmica d Sismas: nális amáica 5 no safio Solucionado Figura. odlo alhado do sisma d Cadrna d Poupança com fluo d saída d dinhiro. Obsrvando o sisma da figura. concluímos qu: pósio Enrada (u) Poupança Saída ou Rsposa (y) Poupança Esado () O fluo líquido dss sisma é o fluo d nrada mnos o fluo d saída, d dinhiro, ou sja: $ ( ) U ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) U Fluo Líquido % ' r % & Fluo Enrando s % ' % & Fluo Saindo r s q ( ) r s Como o fluo é a aa d variação no mpo do sado corrspondn, mos: Fluo Líquido aa d Variação do Esado ( ) ) Porano podmos rprsnar ss sisma conform figura.:

54 * inâmica d Sismas: nális amáica 54 Figura. odlo Padrão do sisma d Cadrna d Poupança com fluo d saída d dinhiro. Ond q aa d Rndimno aa d Saqus. ssim, ss sisma pod sr complamn dscrio plas quaçõs: q U y (.a) (.b) conhcndo-s sua condição inicial (()). Podmos obsrvar qu: S r > s, ou sja, q > : O sado,, porano a rsposa, m um comporamno ponncial crscn. ssim o sisma srá insávl. S s > r, ou sja, q < : O sado,, porano a rsposa, m um comporamno ponncial dcrscn. ssim o sisma srá sávl, pois a rsposa nd a zro. S s r, ou sja, q : O sado,, porano a rsposa, m um comporamno consan. ssim o sisma srá sávl, pois a rsposa nd a sr uma consan. Conclui-s qu, indpndnmn do númro d fluos nrando ou saindo, qualqur sisma d primira ordm pod sr rprsnado aravés do odlo Padrão smlhan ao da figura.. lém disso, qualqur sisma dss ipo m quaçõs smlhans às quaçõs (.a) (.b) mudando apnas os coficins d um sisma para o ouro.

55 inâmica d Sismas: nális amáica 55 no B Gnralização Sobr Sismas d ª Ordm Qualqur sisma d ª ordm m o msmo odlo Padrão, variando apnas os coficins da ralimnação do sado () da Enrada (B) qu fazm par da quação do fluo: Figura B. odlo Padrão d qualqur sisma d ª ordm. Equaçõs do odlo Padrão do sisma d ª ordm: B U y (B.a) (B.b) s prssõs do sado da rsposa dss sisma para uma nrada qualqur s são: y ( ) ( ) ( λ ) B u( λ) ( ) ( ) ( λ ) B u( λ) dλ dλ (B.a) (B.b) ond λ é uma variávl d ingração os parâmros B são os coficins das quaçõs (B.a) (B.b)

56 inâmica d Sismas: nális amáica 56 monsração das Equaçõs (B.a) (B.b): Considrando qu: ( ) d d, mos: ( ) [ ] ( ) ( ) d d, Logo: ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] d d, ou ( ) [ ] ( ) [ ] u B d d Porano, ingrando os dois lados da úlima quação: ( ) [ ] ( ) λ λ λ λ λ d u B d ( ) ( ) λ λ λ λ λ d u B ( ) ( ) ( ) λ λ λ d u B uliplicando os dois lados da quação anrior por : ( ) ( ) ( ) λ λ λ d u B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ λ λ d u B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) λ λ λ d u B S considrarmos, mos:

57 inâmica d Sismas: nális amáica 57 y ( ) ( ) ( λ ) B u( λ) ( ) ( ) ( λ ) B u( λ) dλ dλ qu são iguais às quaçõs (B.a) (B.b). Enão, s o coficin é posiivo, mos uma ralimnação posiiva originando rmos ponnciais crscns na prssão da rsposa sndo o sisma ns caso insávl. S o coficin é ngaivo, mos uma ralimnação ngaiva originando rmos ponnciais dcrscns na prssão da rsposa sndo o sisma ns caso sávl. Sismas d ª Ordm Ralimnação Posiiva Ralimnação Ngaiva > < Rsposa com rmos ponnciais crscns Rsposa com rmos ponnciais dcrscns Sisma Insávl Sisma Esávl

58 inâmica d Sismas: nális amáica 58 Rfrências Bibliográficas VILLEL, P. R. C., inâmica d Sismas groindusriais. Curso d Espcialização a isância m Gsão da Informação no grongócio. OG,., 99 - Engnharia d Conrol odrno, Ediora PHB. CLOSE, C.., Circuios Linars, Ediora LC.