UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA MESTRADO PROFISSIONAL

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1 UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA MESTRADO PROFISSIONAL SAMUEL CORNELLI ANÁLISE ESTÁTICA E DINÂMICA DE PÓRTICOS ESPACIAIS COM INCERTEZA NO CARREGAMENTO UTILIZANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS CAXIAS DO SUL 4

2 SAMUEL CORNELLI ANÁLISE ESTÁTICA E DINÂMICA DE PÓRTICOS ESPACIAIS COM INCERTEZA NO CARREGAMENTO UTILIZANDO O MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS Dissração aprsnada como rquisio para a obnção do íulo d Msr m Engnharia Mcânica pla Univrsidad d Caxias do Sul, ára d concnração: Projo d Componns Sismas Mcânicos. Orinador: Prof. Dr. Oscar A. Garcia Suarz. Coorinador: Prof. Dr. Landro Luis Corso. CAXIAS DO SUL 4

3 Dados Inrnacionais d Caalogação na Publicação (CIP) Univrsidad d Caxias do Sul UCS - BICE - Procssamno Técnico C84a Cornlli, Samul, 975- Anális sáica dinâmica d póricos spaciais com incrza no carrgamno uilizando o méodo d lmnos finios / Samul Cornlli f. : il. ; 3 cm Aprsna bibliografia. Dissração (Msrado) Univrsidad d Caxias do Sul, Programa d Pós-Graduação m Engnharia Mcânica, 5. Orinador: Prof. Dr. Oscar A. Garcia Suarz ; coorinador: Prof. Dr. Landro Luiz Corso.. Póricos spaciais.. Méodo dos lmnos finios. 3. Engnharia mcânica. I. Tíulo. CDU. d.: Índic para o caálogo sismáico:. Póricos spaciais Méodo dos lmnos finios Engnharia mcânica 6 Caalogação na fon laborada pla bibliocária Carolina Machado Quadros CRB /36.

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5 RESUMO Ns rabalho são dscrias análiss sáica dinâmica m rgim lásico d póricos spaciais com incrza no carrgamno uilizando o méodo d lmnos finios (MEF). A abordagm do problma dinâmico sruural d vibraçõs forçadas srá fia dnro do rgim lásico linar com amorcimno viscoso. O pórico é abordado com oria d viga fina ond são considrados os acoplamnos dvido às forças normais a orção sobr o modlo d flxão m viga fina d Brnoulli-Eulr. A formulação for do problma dinâmico da viga com carga axial é obida a parir das quaçõs d quilíbrio d Eulr-Lagrang, dcorrns do princípio variacional d Hamilon, a formulação for do problma dinâmico do ixo longo sujio a orção é drminada uilizando o modlo d orção d Sain-Vnan. Para a drminação da formulação fraca para o lmno d viga ridimnsional foi aplicado o méodo dos rsíduos pondrados Galrkin. Também é dscria ns rabalho, a anális da confiabilidad sruural considrando a incrza no carrgamno, m algumas propridads mcânicas dos mariais, uilizando o méodo d Mon Carlo (MMC). A séri d Numann foi uilizada como alrnaiva para rduzir o mpo d procssamno do problma dinâmico. A anális simulâna das divrsas variávis foi abordada uilizando a saísica mulivariada. Os rsulados da analis sáica d vibraçõs livrs dos xmplos numéricos são aprsnados com o inuio d validar os méodos conidos ns rabalho comparando-os com rsulados obidos uilizando um sofwar comrcial d anális sruural. Palavras-chavs: Póricos spaciais. Anális sáica. Anális Dinâmica. Elmnos finios. Incrza no carrgamno. Mon Carlo.

6 3 ABSTRACT In his hsis, saic and dynamic analysis of lasic spac frams wih rgim uncrainy in loading using h fini lmn mhod (FEM) ar dscribd. A srucural approach o h dynamic problm of forcd vibraions will b mad wihin h linar lasic rgim wih viscous damping. Th srucur is approachd wih hin bam hory which h couplings ar considrd normal forcs du o wising and bnding abou h modl hin Brnoulli-Eulr bam. Th srong formulaion of h dynamic problm of h bam wih axial load is obaind from h quilibrium quaions of Eulr-Lagrang quaions arising from h variaional principl of Hamilon and h srong formulaion of h dynamic problm of h long shaf undr orsion is drmind using h modl of wis of Sain-Vnan. To drmin h wak formulaion for hr-dimnsional bam lmn applis h Galrkin mhod of wighd rsidus. Is also dscribd in his sudy, h analysis of srucural rliabiliy considring h uncrainy in loading and som mchanical propris of marials using h Mon Carlo mhod (MMC). Numann sris will b usd as an alrnaiv o rduc h procssing im of h dynamic problm. Th simulanous analysis of svral variabls is addrssd using mulivaria saisics. Som rsuls of numrical xampls ar prsnd in ordr o valida h mhods conaind in his work compard wih h rsuls obaind from srucural analysis of commrcial sofwar. Kywords: Spac frams. Saic analysis. Dynamic Analysis. Fini lmns. Uncrainy in loading. Mon Carlo.

7 4 LISTA DE FIGURAS Figura Modlo cinmáico d viga fina: a) movimno; b) roação... Figura Viga ngasada sujia a carrgamno axial ransvrsal... Figura 3 Eixo longo ngasado nas xrmidads sujio a orção... 4 Figura 4 Eixo longo ngasado nas xrmidads sujio a momno disribuído... 7 Figura 5 Funçõs d forma linar no domínio naural do lmno... 9 Figura 6 Funçõs d forma para aproximar flxão Figura 7 Vors d bas local β rprsnados na bas global g Figura 8 Elmno d viga orinado com rlação a X,Y,Z Figura 9 Aclração Média d Nwmark Figura Procsso socásico mulivariado Figura Domínio d falha Figura Rprsnação Gráfica do "Méodo d Mon Carlo d acrar ou rrar" Figura 3 a) Condiçõs d conorno; b) nós analisados; c) barras analisadas Figura 4 a) Dslocamno PorAL3D; b) dslocamno STRAP Figura 5 a) Modo ; b) Modo Figura 6 Pulso consan d força num inrvalo d 3s Figura 7 Variação do sforço normal da barra no mpo Figura 8 Sinal alaório sinal drminísico d xciação na bas do pórico... 7 Figura 9 a) Dslocamno do nó 6; b) vlocidad do nó Figura a) Variação do dslocamno do nó 6; b) variação da vlocidad do nó Figura Esforços normal na barra Figura Convrgência do méodo MMCD na prscrição da probabilidad d falha Figura 3 Probabilidad d falha no mpo Figura 4 a) Condiçõs d conorno; b) nó barra analisados Figura 5 Sinal alaório para carrgamno com ruído branco Figura 6 a) Dslocamno do nó 4; b) vlocidad do nó Figura 7 a) Variação do dslocamno do nó 4; b) variação da vlocidad do nó Figura 8 Esforços normal na barra Figura 9 Convrgência do méodo MMCD na prscrição da probabilidad d falha... 8 Figura 3 Probabilidad d falha no mpo Figura 3 a) Dslocamno do nó 6; b) variação do dslocamno do nó 6; c) vlocidad do nó 6; ) variação da vlocidad do nó

8 5 Figura 3 a) Dslocamno do nó 4; b) variação do dslocamno do nó 4; c) vlocidad do nó 4; d) variação da vlocidad do nó Figura 33 Esforço normal na barra Figura 34 Esforço normal na barra

9 6 LISTA DE TABELAS Tabla Condiçõs d conorno... 3 Tabla Propridads mcânicas goméricas do pórico Tabla 3 Comparação dslocamnos STRAP x PorAL3D Tabla 4 Comparação sforço normal STRAP x PorAL3D Tabla 5 Comparação frquência naural STRAP x PorAL3D Tabla 6 Comparação modlo sáico x modlo dinâmico Tabla 7 Propridads mcânicas goméricas do pórico Tabla 8 Tmpo d procssamno m horas para o xmplo... 9 Tabla 9 Tmpo d procssamno m horas para o xmplo... 9

10 7 LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS FORM MEF MMC MSR MMCD-N MMCD-N MN SORM Firs ordr rliabiliy mhod - Méodo d aproximação d primira ordm Méodo d lmnos finios Méodo d Mon Carlo Méodo d Suprfíci d Rsposa Méodo d Mon Carlo diro junamn com a séri d Numann com xpansão linar Méodo d Mon Carlo diro junamn com a séri d Numann com xpansão quadráica Méodo d Nwmark Scond ordr rliabiliy mhod - Méodo d aproximação d sgunda ordm

11 8 LISTA DE SÍMBOLOS Minúsculas Romanas h n q Alura (m) Númro d rmos Carga disribuída Tmpo (s) Insan d mpo Insan d mpo u u& u& & û u ~ w w& w& & w ~ Dslocamno na coordnada x (m) Vlocidad na coordnada x (m/s) Aclração na coordnada x (m/s²) Funçõs pso Funçõs naivas Dslocamno na coordnada y (m) Vlocidad na coordnada y (m/s) Aclração na coordnada y (m/s²) Funçõs naivas Maiúsculas Romanas A Ára (m²) C Mariz d amorcimno C C C 4 E G Primira drivada conínua Sgunda drivada conínua Quara drivada conínua Módulo d lasicidad longiudinal Módulo d lasicidad ransvrsal H¹ Espaço das funçõs linars ingravis H² Espaço das funçõs quadráicas ingravis I Sgundo momno d inércia (m 4 ) I Mariz idnidad J Jacobiano K Mariz d rigidz

12 9 L L M Q Š S T Var V W Comprimno (m) Lagrangano Mariz d massa Opração d roação Coficin d amorcimno Auocorrlação Enrgia cinéica do sisma Vor d parâmros Vor d parâmros d dslocamno Espaço d variaçõs Espaços voriais Dslocamno ransvrsal Minúsculas Grgas Difrncial parcial δ Ângulo d aproximação da viga fina m rlação ao ixo x ε Dformação φ Ângulo da viga fina m rlação ao ixo x ν Coficin d Poisson σ Tnsõs normais ω Movimno angular β Bas local ρ Massa spcífica Ω Mariz diagonal d auovalors Maiúsculas Grgas Variação Φ Mariz d auovalors Π Enrgia poncia do sisma Ʃ Covariância

13 SUMÁRIO INTRODUÇÃO.... APRESENTAÇÃO DA EMPRESA.... JUSTIFICATIVA....3 OBJETIVO GERAL OBJETIVOS ESPECÍFICOS... 4 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA METODOLOGIA APLICADA PROBLEMAS DE VIBRAÇÕES FORÇADAS EM PóRTICOS ESPACIAIS UTILIZANDO O MEF Modlo cinmáico para vigas finas Formulação for do problma dinâmico da viga fina Formulação for do problma dinâmico d orção m ixos longos Formulação fraca para o problma d vibraçõs forçadas da viga m 3D Funçõs d forma mapamno Funçõs d forma linars Funçõs d forma para aproximar flxão Formulação smi discra para lmno d viga fina m 3D Equaçõs d quilíbrio dinâmico no sisma global d coordnadas Méodo d suprposição modal Amorcimno viscoso Ingração dira - Méodo d Nwmark ESTATÍSTICA MULTIVARIADA Variávis alaórias mulidimnsionais Esaísicas dscriivas MÉTODO DE MONTE CARLO DIRETO (MMCD) Confiabilidad sruural Méodo d Mon Carlo diro Ingração d Mon Carlo Formulação do méodo d Numann m sismas linars... 59

14 4 RESULTADOS NUMÉRICOS ANÁLISE ESTÁTICA Rsulados para dslocamno nodal sforço normal Rsulados para a frquência naural ANÁLISE DINÂMICA Propridads do modlo dinâmico drminísico Rsulados CONFIABILIDADE ESTRUTURAL MONTE CARLO DIRETO Exmplo : Propridads do modlo dinâmico socásico Exmplo : Espcificação das variávis alaórias Carrgamno Módulo d lasicidad Tnsão d scoamno Exmplo : Rsulados Exmplo : Propridads do modlo dinâmico socásico Exmplo : Espcificação das variávis alaórias Carrgamno Módulo d lasicidad Tnsão d scoamno Exmplo : Rsulados MONTE CARLO UTILIZANDO A SÉRIE DE NEUMANN CONCLUSÃO SUGESTÃO DE TRABALHOS FUTUROS REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 94

15 INTRODUÇÃO A prsn dissração rfr-s à anális sáica dinâmica d póricos spaciais com incrza no carrgamno uilizando o méodo d lmnos finios faz par do Programa d Pós-graduação m Engnharia Mcânica da Univrsidad d Caxias do Sul, Msrado Profissional, ralizado junamn com a mprsa Dallmol Esruuras Málicas.. APRESENTAÇÃO DA EMPRESA A Dallmol Esruuras Málicas iniciou suas aividads mprsariais m 988, aua na fabricação monagm d obras para fins indusriais comrciais. Localizada na cidad d Flors da Cunha, a mprsa sá insalada m uma plana indusrial com. m² d ára consruída. Espcializada m galpõs indusriais, a Dallmol Esruuras Málicas s rsponsabiliza plo projo, fabricação monagm das sruuras málicas. Com foco na fabricação d pças málicas rliçadas, a Dallmol Esruuras Málicas cona com uma quip d ngnharia própria, qu é a rsponsávl plo dsnvolvimno d odos os sus projos d acordo com as normas nacionais inrnacionais. Na monagm das sruuras málicas, a mprsa cona com uma quip d suprvisors qu fiscalizam a monagm garanindo a sua conformidad com o projo o cumprimno dos prazos acordados com o clin. Com projos d crscimno prvisos m su planjamno sraégico para os próximos anos, projção d dobrar a capacidad produiva já m 4 com a inauguração da nova plana com 4. m² d ára consruída, a mprsa invs no conhcimno para o dsnvolvimno d novos projos visando dsnvolvr produos cada vz mais sguros compiivos.. JUSTIFICATIVA O crscimno da consrução málica no Brasil, proporcionado pla dissminação da uilização do aço m dificaçõs plo aumno da dmanda do mrcado m obras mais rápidas, ficins com mnor impaco ambinal, podrá sr limiado pla fala d capaciação qualificação dos profissionais rsponsávis plo su dsnvolvimno.

16 3 Para andr a s cnário, o ipo d sruura málica mudou nas úlimas décadas. Os projos são cada vz mais dsafiadors, ou sja, sruuras maiors mais sblas xigindo uma maior qualificação por par dos profissionais rsponsávis por ss projos. Dnro ds conxo surg a ncssidad d s ravaliar comporamnos qu, m sruuras mnors, não causam impacos significaivos para o su dimnsionamno, porém m grands sruuras podm sr rlvans nos rsulados. Na uilização d sruuras, ond os fios dinâmicos são significaivos, como aronavs, plaaformas d prospcção d prólo, pons d grands vãos, sruuras submidas a fnômnos sísmicos, grands sruuras submidas à ação d vno, c., os modlos d carrgamno drminísicos não s mosram adquados para aproximar as soliciaçõs d carár alaório sobr os componns sruurais. Ns snido a considração dos fios d alaoridad do carrgamno possibilia ao modlo uma simulação mais ralisa do comporamno dinâmico sruural dos mcanismos d falha a l associados. Os fnômnos d alaoridad comçam a sr abordados, com um formalismo mamáico consolidado, na década d quarna por um grupo d físicos do laboraório amricano d Los Alamos no novo México, para sudar problmas d difusão alaória d nurinos num marial radiaivo. Dnr ss físicos s dsaca Sanislaw Ulam, pai do méodo d Mon Carlo, basado na oria d variávis alaórias. Dsd não a uilização ds méodo, vm sndo ampliada m vários sguimnos das ciências da cnologia. Na ngnharia sruural, a uilização d méodos qu considram alaoridad d carrgamnos, propridads físicas goméricas dos componns sruurais m ganhado significaiva imporância a parir da década d oina. Dnro ds conxo, psquisas êm voluído no snido d aprimorar os méodos radicionais, como o Mon Carlo Diro, d forma a orná-lo mais ficin na abordagm d problmas d grand por. A parir do xposo propõ-s ns rabalho uma abordagm do comporamno dinâmico d sruuras riculadas ridimnsionais, uilizando o Méodo d Elmnos Finios junamn com o méodo d Mon Carlo Diro, para considrar os fios alaórios do carrgamno m problmas sáicos dinâmicos d sruuras riculadas spaciais.

17 4.3 OBJETIVO GERAL Es rabalho m por objivo analisar o comporamno sáico dinâmica d póricos spaciais com incrza no carrgamno uilizando o méodo d lmnos finios, junamn com o méodo d Mon Carlo..4 OBJETIVOS ESPECÍFICOS A fim d alcançar o objivo gral do rabalho, foram dfinidos os sguins objivos spcíficos: a) Esudar o méodo d lmnos finios para abordagm sáica dinâmica d sruuras riculadas spaciais. b) Dsnvolvr as roinas d pré pós procssamno para póricos spaciais uilizando o méodo d lmnos finios convncional. c) Esudar o méodo d Mon Carlo suas aplicaçõs m problmas d confiabilidad sruural. d) Dsnvolvr roinas no Malab para aplicar o méodo d Mon Carlo na abordagm d problmas dinâmicos m sruuras riculadas sujias a carrgamnos alaórios. ) Dsnvolvr o Méodo d Mon Carlo uilizando a séri d Numann para rduzir o mpo d invrsão da mariz fiva na abordagm dinâmica. f) Drminar a probabilidad d falha da sruura.

18 5 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA A anális sruural xig conhcimno, mpo habilidad do calculisa ans duran o procsso d cálculo. As corras scolhas do modlo uilizado para simular o comporamno sruural as slçõs adquadas dos componns qu irão compor o arranjo sruural são, dnr ouras arfas, as qu mais xigm da capacidad écnica do ngnhiro. A uilização d écnicas d anális compuacional das sruuras xig um aprimoramno profundo dos sismas sruurais, d forma a proporcionarm maior conomia principalmn uma adquada sgurança. As rprsnaçõs mamáicas dos modlos físicos, xprssas gralmn m quaçõs difrnciais /ou ingrais, podm sr solucionadas via méodos analíicos. Es ipo d solução s aplica para poucos casos, ais como a anális lásica d sruuras com carrgamno sáico. Para casos d sruuras ond os fios dinâmicos são significaivos as soluçõs analíicas, m gral, não são disponívis para sss casos, rqurndo, porano, a scolha d procdimnos aproximados para a consrução das soluçõs: os méodos numéricos. Dnr as écnicas numéricas dsaca-s o Méodo dos Elmnos Finios (MEF). Esablcida a parir da discrização do mio conínuo, o Méodo d Elmnos Finios (MEF) é uma écnica d cálculo d manira qu o sólido é subdividido m um númro finio d pars, dnominados d Elmnos, concados nr si por inrmédio d ponos discros, chamados d Nós. A scolha adquada do ipo do amanho dos Elmnos dpnd das propridads do problma m qusão. Sgundo Clough Wilson (99) a anális sruural anrior a 95 sava rsria à discrização do conínuo uilizando-s lmnos concados a dois ponos no spaço. A dsignação d Méodo dos Elmnos Finios foi cunhada por Clough (96) m um arigo sobr anális d sados planos d nsão, cujos campos d dformaçõs foram inrpolados por uma disribuição consan. O MEF já foi aplicado m divrsos problmas d anális sruural dsd sruuras riculadas, passando por sruuras d suprfícis (placas, cascas) finalmn m sruuras voluméricas. A dscrição spcífica do MEF para componns sruurais pod sr nconrada m divrsos rabalhos, como no caso do lvanamno fio por Mackrl (). As primiras abordagns d problmas físicos uilizando méodos socásicos na ngnharia sruural, com o inuio d qusionar a incrza nos parâmros d projo d componns sruurais, sgundo Nowak Collins (), s dvm a Mayr (96),

19 6 Wirzbicki (936) Srlzki (947). Nos rabalhos supraciados os auors concluíram qu as cargas os parâmros d rsisência são varávis alaórias dpndns ou não do mpo smpr para cada sruura há uma probabilidad finia d falha duran a sua vida úil. Enrano, os rabalhos aprsnados por Cornll (969) posriormn por Hasofr Lind (974) foram os primiros a abordar os aspcos qualiaivos da anális d confiabilidad sruural. O rabalho aprsnado por Cornll (969) propõ o índic d confiabilidad m sgundo momno (variância) rsulando m uma formulação qu coninua m vigor. No sgundo rabalho, é proposa a dfinição para um formao invarian do índic d confiabilidad β obido no spaço das variávis rduzidas (spaço Gausano), qu consis m avaliar o valor da variávl alaória ao invés d suas médias na função d sado limi no pono d projo. Esa proposa é considrada uma das maiors conribuiçõs nos modlos mamáicos d confiabilidad sruural. O rabalho aprsnado por Rackwiz Fissl (978) propõ calcular o índic d confiabilidad, por mio d um méodo inraivo, qu lva m considração a função dnsidad d probabilidad normal para odas as variávis. A proposa d Grigoriu, Vnziano Cornll (979) consis na dfinição das funçõs d disribuição d probabilidad das variávis alaórias. S sas funçõs não form dfinidas corramn acarrarão m gravs rros na drminação do índic d confiabilidad. Mlchrs (983) dsaca a imporância d s considrar, m sismas sruurais, a corrlação nr rsisência dos sus lmnos para obr uma avaliação corra da probabilidad global d falha do sisma sruural. Em oura imporan proposa, qu lva m considração o fao d qu as variávis alaórias não possum a msma influência na probabilidad global d falha d um sisma sruural, Madssn (988) propõ um modlo qu dfin faors d snsibilidad associados a sas variávis. Ess faors conribum para a diminuição do númro d variávis alaórias do problma, consqunmn, influnciam diramn no mpo ncssário para o procssamno. Dnr os rabalhos mais rcns na ára d confiabilidad sruural, m âmbio nacional, podm sr ciados, nr ouros: Noguira (5) Vrznhassi (8). No procdimno proposo por Noguira (5), as variávis associadas ao pono óimo são o pono d parida para um novo problma d oimização d um novo Lagrangano agora com as rsriçõs imposas pla quação d sado limi d confiabilidad sruural. Iso é obido aravés d uma écnica d acoplamno nr o méodo drminísico d

20 7 oimização, basado na minimização sm rsriçõs do Lagrangano da função objivo, d um méodo probabilísico qu uiliza o Méodo d Suprfíci d Rsposa (MSR) na drminação d quação d sado limi. Vrznhassi (8) uiliza os méodos FORM/SORM para drminar as quaçõs d sado limi, junamn com os méodos d inrpolação quadráica Rguly-Falsi na drminação do coficin d sgurança óimo para uma função objivo dfinida como cuso global da sruura. Conform Wnhui (), a uilização da simulação d Mon Carlo Diro na rsolução d problmas socásicos uilizando o méodo d lmnos finios rqur um grand númro d amosras, o qu rqur muio mpo d procssamno para a ralização do cálculo. Aplicando a xpansão d Numann, no méodo d Mon Carlo, ocorr um incrmno na ficiência compuacional ornando o modlo d lmnos finios mais vanajoso. Wnhui () aprsna ambém ouros méodos aplicados no cálculo d problmas socásicos qu podm mlhorar a prcisão a ficiência compuacional. No capíulo 3 srão aprsnadas as principais bass óricas qu srão uilizadas ns rabalho.

21 8 3 METODOLOGIA APLICADA A abordagm ds rabalho, para obnção dos rsulados qu srão aprsnados no capíulo 4, srá ralizada m duas apas assim discriminadas. Na primira apa srá fia a abordagm do problma dinâmico sruural d vibraçõs forçadas uilizando o MEF. O modlo cinmáico para vigas finas, ond s dfinirão os acoplamnos dvido às forças normais a orção, srá abordado com a oria d viga fina d Brnoulli-Eulr. Uilizando as quaçõs d quilíbrio d Eulr-Lagrang srá obida a formulação for do problma dinâmico da viga com carga axial, a formulação for do problma dinâmico d orção do ixo longo srá drminada uilizando o modlo d orção d Sain-Vnan. A formulação fraca para a viga ridimnsional srá drminada aravés do méodo dos rsíduos pondrados Galrkin. Os coficins d rigidz, associados à dformação normal, orção flxão, srão obidos aravés da drminação das funçõs d forma mapamno. As quaçõs d quilíbrio dinâmico srão obidas d acordo com a formulação smi discra para lmnos d viga fina ridimnsional. Para diminuir os mpos d procssamno dos méodos d ingração dira, o méodo d suprposição modal srá uilizado. O amorcimno d Rayligh, para o problma dinâmico, srá obido por combinação linar das marizs d massa rigidz. Na sgunda apa srá fia a anális simulâna das variávis conidas no problma uilizando os concios da saísica mulivariada. O méodo d Mon Carlo (MMC) srá uilizado para a anális da confiabilidad sruural considrando a incrza no carrgamno m algumas propridads mcânicas dos mariais. A séri d Numann srá uilizada como alrnaiva para rduzir o mpo d procssamno do problma dinâmico aravés da aproximação da invrsão da mariz d rigidz quivaln. 3. PROBLEMAS DE VIBRAÇÕES FORÇADAS EM PÓRTICOS ESPACIAIS UTILIZANDO O MEF O problma do pórico spacial é abordado com oria d viga fina ond são considrados os acoplamnos dvido às forças normais a orção sobr o modlo d flxão m viga fina d Brnoulli-Eulr. A abordagm do problma dinâmico sruural d vibraçõs forçadas srá fia dnro do rgim lásico linar d acordo o sguin scopo:

22 9 a) Drminação do modlo cinmáico para vigas finas. b) Obnção das quaçõs d quilíbrio dinâmico a parir do princípio variacional d Hamilon para o problma d flxão m vigas sob força axial. c) Obnção das quaçõs d quilíbrio dinâmico para o problma d orção m ixos circulars longos. d) Formulaçõs fracas para o problma da viga com carga axial. ) Formulação fraca para o problma d orção m ixos longos. f) Formulação fraca para o problma d vibração forçada m vigas m 3D consrução do spaço d aproximação. g) Formulação smi discra m problmas d vibraçõs forçadas m vigas m 3D. h) Dscrição do problma no sisma global d coordnadas. i) Méodo d ingração dira d Nwmark (MN). j) Méodo d dcomposição modal. k) Amorcimno viscoso. 3.. Modlo cinmáico para vigas finas Na abordagm do modlo d vigas finas foram considrados pqunos dslocamnos, d forma qu prmançam válidas as hipóss da viga d Brnoulli-Eulr. O modlo d viga fina, ou modlo d Brnoulli-Eulr é largamn uilizado na ngnharia, o msmo é dfinido a parir d um modlo cinmáico qu dsconsidra a dformação cisalhan. Es modlo é uilizado para uma razão vão livr / alura da ordm d L / h, fundamnam-s nas sguins hipóss: a) Enr a suprfíci livr suprior infrior da viga há uma suprfíci ond as fibras não modificam su comprimno, chamada d suprfíci nura. b) As sçõs ras ans da dflxão prmancm ras após a dflxão. c) As fibras prpndiculars à suprfíci nura ans da dflxão prmancm prpndiculars após a dflxão (dsconsidração da dformação cisalhan). d) As nsõs normais à suprfíci nura não são lvadas m considração. A parir das hipóss supraciadas, o modlo cinmáico qu dscrv o movimno d um pono no inrior da viga é mosrado na Figura (a) dfinido plas quaçõs. Na abordagm do modlo da viga coluna foram considrados pqunos dslocamnos, d forma qu prmançam válidas as hipóss da viga d Brnoulli-Eulr.

23 u ( x) w = u ( x) = w ( x) o dw y dx () () Na quação, a drivada do dslocamno ransvrsal é a roação sofrida pla sção qu coném p, qu prmanc prpndicular à angn à linha nura como indicado na Figura (a). A uilização da drivada do dslocamno ransvrsal para aproximar a roação é válida para conmplar pqunas roaçõs já qu é obida a parir d uma linarização da xpansão m séri d Taylor do dslocamno ransvrsal m w( x x) quaçõs como indicado nas Figura Modlo cinmáico d viga fina: a) movimno; b) roação Fon: O Auor (a) (b) w dw dx ( x + x) w( x) + x (3) ond: Considrando x muio pquno, na Figura (b), rsula-s m an ( + x) w( x) w x dw φ = = = δ x dx (4) Um dos aspcos rlvans do modlo d viga fina é qu o dslocamno ransvrsal é dfinido a parir do dslocamno da linha nura, ou sja, para odos os ponos sobr uma

24 fibra prpndicular à linha nura srá considrado, como dslocamno ransvrsal dss ponos, o dslocamno da linha nura. Ouro aspco rlvan dsa oria é qu limia o campo d dformaçõs à dformação normal na dirção do su ixo produzida por flxão por sforço normal. Dfinido o campo d dslocamno, na próxima subsção, srá drminada a formulação for do problma dinâmico da viga coluna. 3.. Formulação for do problma dinâmico da viga fina A abordagm do problma d formulação for para os problmas d viga sujia a carrgamno axial foi dsnvolvido d acordo com Py (), nrano a noação assim como as figuras foram proposas plo auor ds manuscrio. A formulação for do problma dinâmico da viga com carga axial é obida a parir das quaçõs d quilíbrio d Eulr-Lagrang, dcorrns do princípio variacional d Hamilon, das condiçõs d conorno d valor inicial para o problma m qusão. O princípio variacional d Hamilon fundamna-s na drminação dos xrmos do funcional dfinido pla ingral do Lagrangano num cro inrvalo d mpo. O Lagrangano, dfinido na quação 5, dscrv a nrgia oal da viga, ou sja: a nrgia poncial inrna, a nrgia produzida plas forças xrnas a nrgia cinéica associada aos dslocamnos u ( x, ) ( x ) w,. L = V V u ρ uo E x o dv + dv V V Ey ρy ( x) w dv + x w x ( x) dv + puodx + L V ρ w L dv qwdx (5) O princípio variacional d Hamilon sablc qu para uma vizinhança d funçõs ss, qu xrma o funcional dfinido pla ingral do Lagrangano na quação 5 nr os insans, é aqula qu saisfaz o princípio d consrvação do momno linar (sgunda li d Nwon). A parir do xposo, o problma d drminar o xrmo do funcional supraciado para o problma da viga indicada na Figura é nunciado como:

25 Drminar ( ) x u, ( ) x w,, uilizando a quação 6, para a viga indicada na Figura al qu Var w u δ δ, : Figura Viga ngasada sujia a carrgamno axial ransvrsal Fon: O Auor L L L L L L L Var w u wdxd q udxd p dxd x w x w EI dxd x u x u EA dxd w w A dxd x w x w I dxd u u A Ld = = δ δ δ δ δ δ δ ρ δ ρ δ ρ δ,, (6) O spaço Var é o spaço das variaçõs dfinidos como: [ ] ] [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]} L x x w x w L x w x w w L w L H w Var,,,,,,,,,, = = = = = = = δ δ δ δ δ Ingrando-s por pars, no mpo no comprimno, as primiras cinco ingrais da quação 6 s obém a quação 7, cujo núclo d ingração rprsna a quação d Eulr- Lagrang. Propridads do Marial: Massa Espcífica (ρ); Módulo d Elasicidad (E); Ára (A); Momno d Inércia (I).

26 3 δ + L Ld = L 4 w ρi x u u ρa EA + p udxd x δ 4 w w ρa EI + q wdxd = x δ, 4 δu, δw Var o (7) O primiro rmo da sgunda ingral da quação 7 corrspond à inércia roacional, qu é dsprzada nos modlos d viga fina por sr muio pquna com rlação à inércia ransvrsal. A parir da quação 7, s dfin o problma d valor inicial d conorno, ou formulação for para a viga, como sndo: Drminar u o ( x, ) C [, L] [, ] 4 ( x, ) C [, L] [ ] w, al qu: As quaçõs do domínio são 8a 8b. u EA x o u o p + ρ A =, x ], L[ ], [ (8a) 4 w w EI q + ρ A =, x ], L[ ], [ (8b) 4 x As condiçõs d conorno são xprssas plas quaçõs 8c-8. u (, ) = u( L, ) =, ],[ w (, ) = w( L, ) =, ],[ (, ) w( L, ) w = =, ], [ x x (8c) (8d) (8) Já as condiçõs d valor inicial são dfinidas plas quaçõs 8f-8i. u ( x, ) = u ( x), x [,L] u i x [,L ] w ( x, ) = u ( x), & i ( x, ) = w ( x), x [,L] i (8f) (8g) (8h)

27 4 ( x,) x [,L ] w = w ( x), & i (8i) Em modlos d póricos ridimnsionais, além da flxão, ração comprssão, s êm as soliciaçõs dcorrns da orção. Em componns soliciados dnro do rgim lásico linar é possívl dsacoplar ss fnômnos sm prda da gnralidad do problma. Sndo assim srão drminadas a sguir as quaçõs d quilíbrio dinâmico para o problma d orção m ixos longos Formulação for do problma dinâmico d orção m ixos longos A quação d Eulr-Lagrang m ixos longos sujios a orção é obida a parir do princípio variacional d Hamilon para o ixo d sção circular, consiuído d marial isorópico, homogêno com rsposa lásica linar, indicado na Figura 3. Figura 3 Eixo longo ngasado nas xrmidads sujio a orção Fon: O Auor A quação d quilíbrio dinâmico para o ixo longo sujio a orção é drminada a parir do princípio variacional d Hamilon d forma similar ao qu foi uilizada para o problma da viga coluna mosrada na subsção 3.. Para s modlo spcífico é uilizado o modlo d orção d Sain-Vnan, ond são considradas apnas as nsõs dformaçõs cisalhans produzidas por orção. Para s modlo m qusão, o Lagrangano é dfinido pla quação 9. L = L φ φ x ρi x dx GI x dx + L L Tφdx (9)

28 5 quação. A solução qu s procura é uma função φ ( x,) al qu, para δφ ( x, ) Var, s m a δ L L L φ δφ φ δφ Ld = ρi x dx + GI x dx x x Tδφdx d =, δφ Var () O conjuno Var para o problma d orção é dfinido abaixo: Var φ φ = δφ H δφ x x x [, L]} [, L] ], [ δφ( ) = δφ( L, ) = (, ) = ( L, ) =, δφ( x, ) = ( x, ) =,. Ingrando por pars as duas primiras ingrais da quação s obém a quação L φ φ ρ I + = x GIx T δφdxd, x δφ Var () Como a quação s anula para qualqur valor d δφ Var não, plo orma do cálculo variacional, s m a quação. GI x φ + ρi x x φ T =, x ], L[ ], [ () A quação corrspond à quação d Eulr-Lagrang para o problma d orção. A parir dsa quação, pod-s dscrvr o problma d condiçõs d conorno d valor φ al qu: inicial qu consis m drminar ( x, ) C [, L] [, ] A quação 3a é a quação do domínio. GI x φ + ρi x x φ T =, x ], L[ ], [ (3a)

29 6 As condiçõs d conorno são xprssas plas quaçõs 3b 3c. φ φ (, ) = ( L, ) = (3b) (3c) Já as condiçõs d valor inicial são dfinidas plas quaçõs 4a 4b. ( x, ) ( x) φ = φ φ o ( x, ) = & ( x) φ o (4a) (4b) Nas subsçõs foram abordados as formulaçõs fors para os problmas hiprbólicos d vibraçõs forçadas não amorcidas m vigas finas sujias a força axial ixos longos sob orção. Na próxima subsção, a parir das formulaçõs fors, srá obida a formulação fraca smi discra uilizando o méodo dos rsíduos pondrados Galrkin Formulação fraca para o problma d vibraçõs forçadas da viga m 3D A formulação fraca para o lmno d viga ridimnsional é obida plo méodo dos rsíduos pondrados Galrkin. Por s raar d um problma linar, srá uilizado o princípio d sobrposição d fios para considrar sparadamn os fios d flxão, sforço normal orção. O problma aprsnado nsa subsção corrspond ao lmno d viga d sção circular, marial homogêno com rsposa lásica linar condiçõs d conorno carrgamno indicados na Figura 4. Dv-s rssalar qu, no xmplo proposo, s m uma siuação d flxão oblíqua qu srá abordada por sobrposição junamn com os fios das forças axiais do orqu. O méodo dos rsíduos pondrados aplicado a s problma é obido para quaro siuaçõs qu sjam: Dformação normal m x; orção m orno d x; flxão m orno d z; flxão m orno d y.

30 7 Figura 4 Eixo longo ngasado nas xrmidads sujio a momno disribuído Fon: O Auor Sndo assim, a formulação fraca é obida pla sobrposição d fios rsulando no sguin problma: Drminar u ( x, ) φ( x, ) δ, v ( x, ) w ( x, ) quaçõs 5 6 rspcivamn. { ϕ H [, L] [, ] / ϕ( ) = ϕ( ) = } δ = L γ, sndo dfinidos plas dψ dψ γ = ψ H [, L] [, ] / ψ ( ) = ψ ( L) =, ( ) = ( L) = (6) dx dx (5) Obém-s a quação 7. L u δu EA dx + x x L GI φ δφ dx + x x EI w δw dx + x x L EI v δv dx x x x y z L + L w ρa δwdx + L v ρa δvdx L u ρa δudx L φ ρj δφdx (7) L + pδ udx + Tδφdx q wdx zδ qyδvdx =, u δφ Var L L L δ,, δ v, δw Var Na quação 7, Var Var são spaços d variaçõs dfinidos nas quaçõs 8 9. { vˆ ( x) H [, L] vˆ ( ) = vˆ ( ) = } Var = L (8)

31 8 wˆ wˆ Var = wˆ ( x) H [, L] wˆ ( ) = wˆ ( L) =, ( ) = ( L) = (9) x x A parir da formulação fraca dfinida pla quação 7, pod-s agora dscrvr a formulação smi discra, conudo, é ncssário dfinir prviamn as funçõs d forma para aproximar o dslocamno axial, o ângulo d orção o dslocamno ransvrsal como é mosrado na subsção Funçõs d forma mapamno As funçõs d forma são drminadas d manira a s obr xaamn os coficins d rigidz associados à dformação normal, orção flxão. A rigidz m uma drminada dirção d um pono do domínio do componn sruural é, por dfinição, a soliciação ncssária para produzir, na dirção supraciada, um dslocamno ou roação d magniud uniária. Os coficins d rigidz m sruuras riculadas planas são associados às forças momnos qu produzm dslocamnos ou roaçõs uniárias nas xrmidads das barras. Pla oria das quaçõs difrnciais ordinárias aplicadas a problmas d valors no conorno (Py, ), as funçõs qu aproximam xaamn os coficins d rigidz na orção dformaçõs axiais são funçõs linars nquano qu na flxão são polinômios cúbicos. A consrução das funçõs é aprsnada a sguir nas subsçõs Funçõs d forma linars As funçõs d forma para aproximar dslocamnos axiais ângulos d orção são as funçõs linars dfinidas no domínio naural do lmno plas quaçõs a-b mosradas na Figura 5. ϕ ( ξ) = ξ ( ξ) ξ ϕ = (a) (b)

32 9 Figura 5 Funçõs d forma linar no domínio naural do lmno Fon: O Auor As funçõs dfinidas nas quaçõs a-b são ambém uilizadas para aproximar os mapamnos linars ond, para uma viga d comprimno L do lmno d barra, s m a quação. ( ξ) Lξ x = () Da quação s m o mapamno da drivada do lmno d arco mosrados nas quaçõs -4. dx = dξ L dx = Jdξ () (3) Ond: J = L (4) lmno d arco. Na quação 4, J é o jacobiano do mapamno da drivada da coordnada do

33 Funçõs d forma para aproximar flxão As funçõs d forma qu aproximam flxão m viga fina d Brnoulli-Eullr dvm saisfazr os criérios d coninuidad para a primira drivada já qu a roação é a primira drivada do campo d dslocamno ransvrsal. As funçõs qu andm sas propridads são conhcidas como funçõs d Hrmi para problmas d flxão com rgularidad C [, L]. As funçõs aprsnadas a sguir são dfinidas no domínio paramérico d um lmno dfinido m [, ] Ω m a forma dada pla quação 5: 3 ( ξ ) = a ξ + aξ + a ξ + ao ψ i 3 (5) A quação 5 é obida para saisfazr os criérios d coninuidad dfinidos na Tabla como sgu: Tabla Condiçõs d conorno ψ dψ i ψ i ( ) dξ dξ i ψ ( ) ( ) i d i ( ) 3 4 Fon: O Auor Noa-s qu, na Tabla, são dfinidas as condiçõs d conorno para quaro funçõs d forma, as funçõs ψ ψ 3 são pariçõs d unidad garanm qu nos nós dos lmnos os parâmros d dslocamno ransvrsal coincidm com o dslocamno no pono. Por ouro lado, às funçõs ψ ψ 4 garanm a coninuidad da roação com valor uniário para a primira drivada nr os nós do lmno, o qu prmi dizr, qu o parâmro associado à roação é a própria roação no nó. Os comnários supraciados podm sr mlhors comprndidos aravés das quaçõs 6 7 aprsnadas a sguir. Supondo qu w ( ξ ) é o dslocamno ransvrsal dscrio no domínio naural do lmno como:

34 3 w ( ) = wψ ( ξ) + θ ψ ( ξ) + w ψ ( ξ) θ ψ ( ξ) ξ (6) ψ =ψ. Na quação 6 s m qu, w ( ) = w w ( ) = w, noa-s qu ( ) 4( ) = dw = θ dx Da msma forma s m para a roação, ou sja, ( ) s m: ( ) ψ ( ), ξ = 4, ξ = ψ. dw = θ, ns caso dx ( ) Uma manira práica d s obr as funçõs d forma cúbicas é aravés do procsso maricial indicado na quação 7. w = Pa (7) P = Ond: 3 [ x x x ] { a a } a T = a o a 3 (9) (8) Por ouro lado, considrando um mapamno linar da gomria aplicando as condiçõs d conorno indicadas na Tabla, para um lmno d viga com comprimno L s m: ( ) ( ) 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 ( ); ( ) ( ) w = a. + a x + a x + a x ; o 3 θ = + a + a x + 3a x ; 3 w = a + a x + a x + a x o 3 θ = + a + a x + 3a x ; 3 (3) O sisma d quaçõs dscrio na quação 3 pod sr scrio d forma mais convnin m noação maricial rsulando: ( ) ( ) 3 ( ) x ( ) x ( ) ( ) ( ) 3 ( ) x ( ) x ( ) w x x x θ 3 = w x x x θ 3 a a a a 3 (3)

35 3 A quação 3 pod ainda sr xprssa d forma compaca como: u = Aa (3) Ond: A (33) = 3 L L L L 3L T u = { w θ w } θ (34) A parir da quação 3 pod-s isolar o vor a subsiuir na quação 7, obndos a função dslocamno ransvrsal w como combinação linar d funçõs d forma os vors d parâmros d dslocamnos u como sgu: a = A u (35) Subsiuindo a quação 35 na quação 7 s obém: w = PA u (36) A quação 36 ainda pod sr scria m função da mariz d funçõs d forma como: w = H( x)u (37) sgu: Na quação 37 a mariz d funçõs d forma é obida a parir da quação 36 como ( x) = PA H (38)

36 33 Para um mapamno linar, dscrio na quação, pod s dscrvr as funçõs d H no domínio naural do lmno como indicado na quação 39. ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) ( ξ ) ψ ( ) ψ H ξ = (39) ψ 3 ψ 4 As funçõs d forma da mariz 39 são dfinidas nas quaçõs 4a-4d, aprsnadas a sguir, mosradas no domínio naural do lmno na Figura 6. 3 ( ξ) = ξ 3ξ ψ (4a) + 3 ( ξ) = ξ ξ ξ ψ + (4b) ψ 3 ( ξ ) = 3ξ ξ 3 (4c) ψ 3 ( ξ) = ξ 4 ξ (4d) Figura 6 Funçõs d forma para aproximar flxão (a) (b) Fon: O Auor Dfinidas as funçõs d forma para aproximar os problmas d dformação axial, orção flxão pod-s agora drminar a formulação smi discra para o lmno d viga indicado na subsção 3..6.

37 Formulação smi discra para lmno d viga fina m 3D A formulação smi discra abordada nsa subsção foi dsnvolvida conform Hughs (987), ond a discrização é fia no domínio físico do problma, ficando o vor d parâmros d dslocamno m função do mpo. A msma srá obida a parir da quação 7 para o lmno d viga indicado na Figura 4, ond o problma agora passa a sr: γ h γ, ond: Drminar u h ( x, ) φ h ( x, ), v h ( x, ) ( x ) δ h w h, γ h d manira qu δ δ h u h φ = v h h w h = N u N φ = N v = N U U U w U ( ) ( ) ( ) ( ) (4a) (4b) (4c) (4d) Nas quaçõs 4a-4d, N u, N φ, N v N w são as marizs d funçõs d forma U é o vor d parâmros nodais dfinidos com sgu, plas quaçõs 4a-4: N u = Nφ = N v N w U u = = [ ϕ ( ξ ) ϕ ( ) ]; ξ [ ϕ ( ξ ) ϕ ( ) ]; ξ [ ψ ( ξ ) ψ ( ξ ) ψ ( ξ ) ψ ( )]; 3 4 ξ [ ψ ( ξ ) ψ ( ξ ) ψ ( ξ ) ψ ( )]; 3 4 ξ { T ( ) = u( ) v( ) w ( ) θx( ) θ y( ) θz ( ) ( ) v ( ) w ( ) θ ( ) θ ( ) θ ( )}; x y z (4a) (4b) (4c) (4d) (4) As variaçõs dos campos d dslocamnos, δ u h, δφ h, δ v h δ w h, são dfinidas uilizando o msmo spaço d aproximação uilizado nas quaçõs 4a-4 como sgu: δu h = N V u (43a) δφ = h N φ V (43b)

38 35 h v V = N v δ (43c) h w V N w = δ (43d) Dv-s rssalar aqui qu o vor d parâmros d dslocamnos associados aos campos d variaçõs indpnd do mpo, já a formulação smi discra é obida a parir do méodo d rsíduos pondrados (Galrkin). Sndo assim s m (quação 44): { } ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ z y x z y x T w v u w v u θ θ θ θ θ θ = V (44) A parir das quaçõs 4a-4d quaçõs 4a-4d, s obém a aproximação para o campo d dformaçõs normais, produzidas por sforço normal, flxão dformaçõs cisalhans dcorrns d orção como sgu: ( ) B J x u u h U = (45a) ( ) B J x h U φ φ = (45b) ( ) B J x v v h U = (45c) ( ) B J x w w h U = (45d) Das quaçõs 45a-45d s m qu: ξ = u u N B (46a) ξ φ φ = N B (46b) ξ = v v N B (46c) ξ = w w N B (46d)

39 36 A formulação smi discra para o lmno é obida subsiuindo as quaçõs 4a- 4d, quaçõs 43a-43d quaçõs 46a-46d na quação (7) rsulando, após manipulação mamáica, na quação 47 como sgu: U B B B B B B B B ξ ξ ξ ξ φ φ d J EI d J EI d J GI d J EA w T w z v T v y T x u T u 3 3 U N N N N N N N N & & + + ξ ρ ξ ρ ξ ρ ξ ρ φ φ Jd I Jd A Jd A Jd A T x u T u T v w T w = + + ξ ξ ξ ξ φ Jd q Jd q TJd pjd y T v z T w T T u N N N N (47) A quação 47 pod sr scria m forma maricial, com rlação ao sisma local d coordnadas, aravés da quação 48. l l l l l F K U U M = + && (48) Na quação 48 s m: ξ ξ ξ ξ φ φ d J EI d J EI d J GI d J EA w T w z v T v y T x u T u B B B B B B B B K l = 3 3 (49) ξ ρ ξ ρ ξ ρ ξ ρ φ φ Jd I Jd A Jd A Jd A T x u T u T v w T w N N N N N N N N M l + = (5) = + + = ξ ξ ξ ξ φ Jd q Jd q TJd pjd y T v z T w T T u N N N N F l (5) Para o caso d sruuras riculadas spaciais, ond s m acoplamno d lmnos sruurais, como é o caso d póricos rliças, o sisma global d quaçõs d quilíbrio dinâmico é obido pla conribuição d cada lmno com rlação a um sisma global d coordnadas aravés d rgras d concividad d cada lmno conform Hughs (987).

40 Equaçõs d quilíbrio dinâmico no sisma global d coordnadas A abordagm a sguir srá fia para o caso gral, ou sja, lvando m cona qu os ixos principais da sção coincidm com os ixos d coordnadas locais do lmno d viga. Para inroduzir sá sção é indispnsávl dfinir prviamn o qu sja um oprador d roação. As dfiniçõs a sguir são fias d acordo com Nring (97). Dfinição: Sja Q, um oprador qu rprsna uma ransformação linar dfinido por Q: V V, ond V V são spaços voriais rais. Diz-s qu Q é um oprador d roação s T Q = Q al qu Q T : V V, ou sja, a ransformação linar consiui um isomorfismo. β, O oprador d roação qu lva vors d uma bas local = { } para uma bas global { } g =, β R, 3 g R, ambas com vors dfinidos na Figura 7 (ac), é obido aravés d uma opração d mudança d bas como sgu: Figura 7 Vors d bas local β rprsnados na bas global g Fon: O Auor d um vor Para obr o oprador d roação par-s do problma d drminar as coordnadas v V, no sisma d coordnadas da bas β. Dsa forma s m a quação 5. v = v + + v v33 (5) T Com rlação à bas β ond v = { v v } projção como sgu nas quaçõs 53-55: v 3, as coordnadas podm sr obidas por

41 38 v α β + = v = v cos + v cos v3 cos v α β + = v = v cos + v cos v3 cos v α β + 3 = v 3 = v cos 3 + v cos 3 v3 cos γ γ γ 3 (53) (54) (55) As quaçõs scrias na forma maricial são aprsnadas na quação 56. v v v 3 cos α = cos α cos α 3 cos β cos β cos β 3 cos γ v cos γ v cos γ 3 v 3 (56) D forma compaca a quação 56 é scria como: v = Q v (57) A parir da quação 57 conclui-s qu: cos α cos β cos γ Q = cos α cos β cos γ (58) cos α 3 cos β3 cos γ 3 Por ouro lado, como, T Q = Q (59) Porano: cos α cos α cos α 3 Q = cos β cos β cos β3 (6) cos γ cos γ cos γ 3

42 39 A parir da quação 6 pod-s agora drminar o oprador d roação para rprsnar o vor d parâmros d dslocamno dfinido na quação 4, para o lmno d viga indicado na Figura 8, no domínio global d coordnadas: Figura 8 Elmno d viga orinado com rlação a X,Y,Z Fon: O Auor Para drminar o oprador d roação R do lmno d viga indicado na Figura 8 é ncssário drminar primiramn o oprador Q aravés da orinação do lmno com rlação à bas global g. Para drminar a bas β drmina-s primiramn o vor rprsnado pla quação 6. r r = (6) r r Os vors 3 são drminados por produo vorial d com os vors da bas g, sndo qu o produo vorial dv sr fio para os vors qu saisfazm a sguin condição, i =,,3. Supondo qu não s m as quaçõs i 3 3 = (6) 3 3 = (63)

43 4 Lmbrando qu para i =,, 3, s obêm as quaçõs 64a-64c. cosα cosβ cosγ i = i i = i i = 3 i (64a) (64b) (64c) al qu: A parir das quaçõs 64a-64c, obém-s o oprador R, rprsnado na quação 66, U g = RU l (65) Ond: Q R = Q Q Q (66) Na quação 65, U l é o vor d parâmros d dslocamno com rlação ao sisma local d coordnadas indicado na quação 4 U g é o msmo vor rprsnado no sisma global d coordnadas. Em virud qu cada lmno m uma orinação difrn na sruura, a conribuição da rigidz da massa do vor d forças consisns d cada lmno dv sr fia no sisma global d coordnadas. Sndo assim, dv-s scrvr a quação 48 com rlação ao sisma global d coordnadas rsulando na quação 67. M U&& + K U = F g g g g g (67) Na quação 67 s m: M = RM g K = RK R g l l R T T (68) (69)

44 4 F g = RF l (7) A quação d quilíbrio dinâmico global para um problma não amorcido, indicada na quação 7, é obida por rgra d concividad usual a parir das marizs conform Hughs (987). K g, M g F g M U&& + KU = F (7) A quação 7 consiui uma forma d rprsnar o comporamno dinâmica da sruura, ond as ampliuds d variação d dslocamno, vlocidad aclração s maném consans. O modlo supraciado, obviamn, não rprsna adquadamn o comporamno sruural amorcido qu ocorr nos modlos xprimnais. Um modlo mais ralisa é obido inroduzindo o fio d dissipação d nrgia dinâmica aravés do amorcimno com dscrio na quação 7. M U&& + CU& + KU = F (7) Nas próximas subsçõs srão abordados, sgundo Py (), a diagonalização da quação 7 o modlo d amorcimno viscoso ou ambém chamado modlo d Rayligh Méodo d suprposição modal O méodo d suprposição modal consis m dscrvr o sisma linar da quação 7 no spaço modal, consguindo assim a forma diagonalizada do sisma linar. A idia básica ds méodo é diminuir os mpos d procssamno dos méodos d ingração dira. Para dscrvr sa modologia par-s dscrvndo os vors U & U como combinação linar dos auovors corrspondns à quação 48. K Φ = ΩMΦ (73) Na quação 73, Ω é a mariz diagonal d auovalors Φ é uma mariz cujas colunas são os auovors da quação 73, ambas dfinidas como sgu:

45 4 ω Ω = Φ = ω L ω i L [ φ φ L L ] φ i φ n ωn (74) (75) O procdimno d diagonalização par dos princípios (vr Py ()) d qu os auovors φ i, obidos a parir da quação 73 são muuamn orogonais, além diso, são massa-oronormais. Por ouro lado podm-s dscrvr os vors U &, U & U como combinação linar dos auovalors φ i d forma qu: U = Φx( ) U & = Φx& ( ) U & = Φ& x& ( ) (76a) (76b) (76c) rsulan por Subsiuindo as quaçõs 76a-76c na quação 7 pré-muliplicando a quação T Φ s obém a quação 77. Φ T MΦx&& + Φ T CΦx& + Φ T KΦx = Φ T F (77) Aplicando a propridad qu os auovors são massa-oronormais: Φ T MΦ = I T C = Φ CΦ Φ T KΦ = Λ F T = Φ F (78a) (78b) (78c) (78d)

46 43 Nas quaçõs 78a-78d, I, C, Λ F são a mariz idnidad, a mariz d amorcimno dscria no spaço modal, a mariz diagonal do quadrado das frquências naurais o vor d forças dscrio no spaço modal rspcivamn. Subsiuindo as quaçõs 78a-78d na quação 77 s obém a forma diagonal da quação 7. I && x + C x& + Λx = F (79) Como o sisma d quaçõs dscrio pla quação 79 é dsacoplado, pod s scrvr na forma indicial, para i, j =,..., n : && x & = F i + Ci xi+ ωi xi i (8) A quação 8 srá uilizada na drminação da mariz d amorcimno proporcional qu srá comnada a sguir na subsção Amorcimno viscoso No problma dinâmico, considrando o amorcimno viscoso ou amorcimno d Rayligh, a mariz d amorcimno é obida por combinação linar das marizs d massa rigidz como indicado na quação 8. α M + βk = C (8) Os coficins da quação 8 são obidos aravés da quação 8 scria m função do coficin d amorcimno como sgu: && x & = F i + ξ iωixi+ ωi xi i (8) Na quação 8 s m Ci ξ ω = i i, ond i ξ é o coficin d amorcimno corrspondn ao modo "i". A parir do xposo, a quação 8 pod sr scria m forma dsacoplada rsulando no sguin sisma linar:

47 44 α + βω ξ ω, i =, = i i i (83) Para as duas primiras frquências naurais os dois primiros coficins d amorcimno s obém o sguin sisma linar: α + βω = ξ ω α + βω = ξ ω (84) Noa-s qu, para obr os coficins α β é ncssário conhcr prviamn as primiras duas frquências naurais do sisma ω, ω os coficins d amorcimno ξ ξ associados aos dois primiros modos. Os valors α β drminados, dsa forma, são uilizados para obr a mariz d amorcimno C na quação 8. Embora s modlo d amorcimno sja muio ciado na liraura da ngnharia, não é um modlo adquado para sr uilizado m componns com coficins d amorcimno muio baixo como é o caso d sruuras consiuídas d aço concro nr ouros. Ns caso é rcomndada uma abordagm d anális modal no domínio da frquência a uilização d amorcimno hisréico como mosrado m Py (). 3.. Ingração dira - Méodo d Nwmark O méodo d ingração dira d Nwmark (MN) é um méodo numérico iraivo qu fornc as componns +Δ, +Δ +Δ a parir d valors conhcidos, da variação dss campos corrspondn ao inrvalo Δ, obido aravés da quação d quilíbrio dinâmico corrspondn ao problma m qusão. Sndo o vor d dslocamnos nodais, o vor d vlocidads o vor d aclração. A quação d quilíbrio dinâmica é sablcida no insan +Δ, por s moivo, o méodo d Nwmark (MN) faz par dos méodos implícios d ingração dira. O méodo é rsrio à considração linar da aclração não dv sr uilizada, por xmplo, m problmas d impaco ond ocorr um comporamno não linar brusco na dsaclração d um componn sruural.

48 45 O MN é uma xnsão do méodo da aclração linar ambém conhcido como méodo da aclração média como squmaizado na Figura 9. Figura 9 Aclração Média d Nwmark Fon: Adapado d Bah (996) A quação d quilíbrio dinâmico é dfinida pla quação = (85) Sndo M, C K as marizs d massa, amorcimno rigidz global. Ns méodo, os vors +Δ, +Δ +Δ são obidos a parir dos vors,. Considrando o concio da aclração média nr os insans +Δ o parâmro =,5 s obém a quação 86. $ = ++Δ= ( ++Δ) (86) Uilizando a xpansão m séri d Taylor da função +Δ aé o rmo quadráico s obém a quação 87. +Δ= * + + Δ+ +² Δ² (87) + +² Subsiuindo a aclração média, dfinida na quação 86, na quação 87 s obém: +Δ=+Δ+-. / +/+ΔΔ² (88)

49 46 Sndo o parâmro / 3 ( +) s obém, considrando a aclração média com =,5, /=,5. Expandindo m séri d Taylor aé o rmo linar o vor vlocidad U+Δ s obém a quação 89. +Δ=+ + Δ (89) + quação 9. Subsiuindo 5 5 na quação 89 pla aclração média da quação 86, s obém a +Δ=+6 ++Δ7Δ (9) As consans / mprgadas no méodo d Nwmark drminam a forma como os dslocamnos, vlocidads aclraçõs são calculadas m cada passo d mpo da solução. O méodo considra qu a aclração é consan nr os passos d mpo +Δ s =,5 /=,5. Bah (996) argumna qu s / 3 ( +) não o méodo é incondicionalmn sávl, ou sja, para qualqur incrmno d mpo Δ considrado o méodo convrgirá. Na próxima sção srão abordados os concios qu srão uilizados para analisar simulanamn as variávis conidas no problma da confiabilidad sruural. 3. ESTATÍSTICA MULTIVARIADA A saísica mulivariada suda os fnômnos obsrvando analisando suas divrsas variávis simulanamn. Dificilmn o inrss d um sudo é focado m apnas uma variávl, porano, sablcr as rlaçõs nr las conduzirá a análiss mais robusas mais informaivas. A anális, a dscrição a inrfrência são ralizadas com bas nas rsposas simulânas, valndo-s da sruura d corrlação nr as variávis. Os assunos abordados nsa sção são xualmn d acordo com Frrira (8).

50 Variávis alaórias mulidimnsionais As variávis alaórias mulidimnsionais consium os fundamnos básicos do procsso socásico (procsso alaório qu dpnd do mpo) conform Frrira (8). Um xmplo ds ipo d variávl é o comporamno alaório d uma orr málica sobr difrns ipos d açõs d vno. Um procsso socásico mulivariado, Figura, conndo as 8 variávis mnsuradas nas 9 unidads amosrais, é normalmn rprsnado por uma mariz : ;< indicada na quação 9. O primiro índic rfr-s a =-ésima unidad amosral o sgundo, a >-ésima variávl alaória, sndo ==,,9 >=,,8. : : B F : E : EB (9) Como noação spcífica, a variávl alaória srá rprsnada por lras maiúsculas as suas ralizaçõs por lras minúsculas. Cada linha da mariz, aprsnada na quação 9, rprsna um vor 8-dimnsional, d obsrvaçõs mulivariadas, cada coluna, um vor n-dimnsional das 9 ralizaçõs indpndns d uma drminada variávl. Figura Procsso socásico mulivariado Fon: O Auor

51 48 Para o procsso socásico, rprsnado plo vor alaório :, a função d disribuição d probabilidad mulivariada é dada pla quação 9. GH= I: H=I: H,: H,,: B H B (9) S a variávl 8-dimnsional : for conínua, não xis uma função dnsidad d probabilidad KH não ngaiva dada pla quação 93. KH= B GH LM LN (93) Sndo L N PQ L M PQ GH=O O KH,,H B +H +H B a função probabilidad corrspondn. Para qu a quação 9 sja uma função dnsidad d probabilidad, la m d obdcr às propridads sablcidas plas quaçõs 94 95: Q Q R R KH,,H B +H +H B PQ PQ KH,,H B = (94) (95) A sprança mamáica para um vor alaório :, no caso conínuo, é dfinida para cada lmno do vor por uma ingral múlipla dfinida na quação 96. Q Q [R R H V: KH,,H B +H +H B ^ Z PQ PQ ] EY=U X= Z V: W Z Q Q ZR R H B KH,,H B +H +H B ] ]] Y \ PQ PQ ` =μ=u `B X (96) Oura mdida a sr uilizada é a inrfrência saísica nr as variávis. A variância ou a covariância d um vor alaório é uma mariz dfinida pla quação 97.

52 49 [ V: ` V: `: B `Bf ^ abc:=v: `: ` d ZV: `: ` V: = `: B `Bf] Z ], (97) Z YV: B `Bf: ` V: B `Bf ] \ Q PQ Q PQ m qu V: < `<: g `go O H < `<H g `gkh,,h B +H +H B para >,h,,,8, é a covariância nr a variávl : < i : g ambém rprsnada por j <g. Quano as variávis m corrlação nula a mariz s orna diagonal o rro d disprsão é dado pla variância qu é dfinida pla diagonal da quação 97. A mariz d covariância é ambém conhcida como mariz d variância populacional dfinida na quação 98. j j abc:σl j B j B m (98) j B j BB Dv-s noar qu as xprssõs supraciadas raam d um único vor alaório, porano, a quação 98 é ambém chamada d mariz d auocovariância. Por ouro lado é comum s rabalhar com mais d uma variávl alaória ond s m a mariz d covariância cruzada dscria a sguir. S n é um vor alaório 8 dimnsional d uma disribuição com média `o covariância Σ oo : ouro vor alaório com média `L covariância Σ LL não: abcn,:vn: d VnV: d Vn: d `p`qd (99) Na quação 99, no caso d n : srm indpndns, abcn,:σ pq. 3.. Esaísicas dscriivas As saísicas dscriivas d um procsso socásico são dfinidas plos momnos saísicos como: a média amosral, para simar a média da disribuição, a mariz d covariância para mdir a disprsão a covariação. A média amosral, d uma amosra alaória :,:,,: E m R B, simador d ` é dfinida pla quação.

53 5 :. $= E ;u : ; 9 $ = [ :. ^ 9 :d v= Z:. $ ] Z ] Y:. $ B\ () A quação pod sr scria m forma maricial conform a quação. : : : E :. $ 9 l : : : E mw x () : B : B : EB A auocorrlação amosral, simador d Σ, nr as variávis :. < :. g é dfinida pla quação. E y <g 9 z: ;< :{. < f: ;g :. $ g ;u () S as variávis não são corrlacionadas não a mariz y é diagonal, ond >h, não a quação s rduz a variância aprsnada na quação 3. y << y < E 9 z: ;< :{. < f ;u (3) Por ouro lado, a mariz d auocorrlação y pod sr obida a parir da mariz : qu rprsna o procsso socásico aravés da quação 4. y 9 -:d : 9 :d vv d : (4) Colocando m vidncia : d i : na quação anrior obém-s a quação 5. y 9 :d - 9 vvd : (5)

54 5 A quação 48 pod sr dscria m função da mariz d projção }= E vvd. Esa mariz é simérica indpndn, ou sja, }}=} =} }=} d. Uma consquência diso é qu y é ao mnos não-ngaiva dfinida, pois para um vor ~ qualqur não nulo prncn a R B obém-s a quação 6. ~ d y~= 9 ~d : d }:~= 9 6~d : d } d 76}:~7= 9 nd n= 9 zn ; E ;u (6) Para n}:~. A mariz d soma d quadrados produos amosral é rprsnada por dfinida pla quação 7. 9 y: d - 9 vvd :: d }: (7) Oura quanidad populacional rlvan é o coficin d corrlação nr duas variávis : <,: g dfinido pla quação 8. <g j <g j << j gg (8) A corrlação é uma simaiva d covariação nr as variávis : <,: g m uma scala padronizada possui domínio no inrvalo,ƒ. A covariância possui domínio no inrvalo ƒ,, porano pod não forncr uma idia prcisa s a associação linar nr as variávis é for ou fraca. Na scala padronizada um valor muio próximo d ± indica qu as variávis são formn associadas. S o coficin d corrlação populacional for zro, indicará qu as variávis não possum associação linar. S for dfinido + ~ Σ + ~ j << P/ + ~. obém-s a mariz d corrlaçõs populacional BoB ŠŠ dfinida na quação 9.

55 5 B = P/ Σ P/ =l B m (9) B B D forma análoga pod-s dfinir D+ ~ S+ ~ y << ambém Œ P/ + ~. ŠŠ, não o simador da mariz d corrlação é dfinido na quação. ŽŒ P/ SŒ P/ l B B m () B B Sndo <g dfinido pla quação. <g y <g y << y gg Œ P/ SŒ P/ l B B m () B B Os concios aprsnados na sção 3. srão uilizados para analisar simulanamn as variávis conidas no problma da confiabilidad sruural considrando a incrza no carrgamno m algumas propridads mcânicas dos mariais. Na próxima sção srão aprsnados os méodos qu srão uilizados para raar as incrzas dos carrgamnos a drminação da confiabilidad sruural. 3.3 MÉTODO DE MONTE CARLO DIRETO (MMCD) Nsa sção srão abordados os méodos uilizados para raar as incrzas dos carrgamnos das propridads da sruura: confiabilidad sruural; méodo d Mon Carlo diro; ingração d Mon Carlo formulação do méodo d Numann m sismas linars.

56 Confiabilidad sruural Confiabilidad sruural é a habilidad d uma sruura m dsmpnhar adquadamn, duran sua vida úil, a função para a qual foi projada (Noguira, 5). Porano, a confiabilidad dv mdir a probabilidad da sruura d violar um drminado sado-limi, ou simplsmn, falhar. D um modo gnérico, a falha pod sr dfinida como a incapacidad do componn corrspondr à dmanda qu lh é xigida, ou sja, a sua capacidad é infrior à dmanda. As formas com qu o componn sruural pod falhar dpndm do ipo d carrgamno, ipo do marial, condiçõs ambinais, mpo d vida, cuidados com manunção, c. Os modos d falha d sruuras riculadas ridimnsionais são indpndns do mpo (im-invarian). São modos qu possum igual probabilidad d ocorrr m qualqur qu sja a vida ou mpo d uso do produo considrado. Ao s considrar um modo d falha paricular, uma modlagm d incrza dv sr considrada. Esa modlagm é ralizada a parir d parâmros d projo cuja variabilidad é significaiva na dfinição da quação d sado limi para o problma m qusão. Ess parâmros qu não m mais carár drminísico sim randômico são chamados d variávis alaórias d um problma d confiabilidad sruural. A noação mamáica usual para variávis alaórias são lras maiúsculas. Mamaicamn a confiabilidad sruural é dfinida como a probabilidad d não ocorrr falha associada a um ou mais modos simulanamn (fraura, plasificação, flambagm, dformação lásica xcssiva, c.) sndo dfinia pla quação. ai= I () Na quação, o rmo I é a probabilidad d falha da sruura corrspondn ao modo analisado é dfinida mamaicamn pla quação 3. I =O p * Kn+n (3) Na quação 3, o domínio d ingração G(X)< rprsna a rgião do domínio probabilísico ond os ponos são conidos na suprfíci dfinida pla quação d sado limi conform indicado na Figura.

57 54 Figura Domínio d falha Fon: Adapada d Noguira (5) A função n,n dfin a suprfíci d sado limi. O sado limi pod sr dfinido como a fronira nr o dsmpnho dsjado o indsjado d uma sruura. D forma gnérica uma função d sado limi, m problmas d confiabilidad sruural, é obida a parir d parâmros, com plo mnos um dls aprsnando variabilidad, associados à capacidad d rsisência à soliciação da sruura. D forma compaca uma função d sado limi pod sr dfinida pla quação 4. n =Žn yn, =,,,9; (4) Ond Žn é capacidad d rsisência do componn yn a soliciação auan, ond os dois parâmros por sua vz podm sr dpndns d variávis alaórias. A parir da quação 4, pod-s scrvr a quação 3 d forma mais compaca com auxilio d uma função indicariz obida a parir d n : I G, G( Xi) =, G( Xi ) > (5) Dsa forma, a probabilidad d falha pod sr scria como na quação 6. ( ), ( ) P = P G X < X = I f X dx (6) f i i G i i D

58 55 Ond Kn é a função disribuição d probabilidad para uma drminada variávl alaória. Na subsção a sguir, srá aprsnado o méodo uilizado para a drminação da probabilidad d falha Méodo d Mon Carlo diro O Méodo d Mon Carlo Diro (MMCD) prmi simular qualqur procsso cujo andamno dpnda d faors alaórios. Surgiu oficialmn no ano d 949, com o arigo Th Mon Carlo Mhod d auoria dos mamáicos John von Numann Sanislaw Ulam. Sgundo Ulam, o nom do méodo foi dado m homnagm ao su io, qu ra frqunador do cassino d Mon Carlo. Aplicado inicialmn m problmas rlacionados à bomba aômica posriormn, m rsoluçõs d ingrais mulidimnsionais complxas para rsolvr cras quaçõs ingrais qu não ram passívis d solução analíica. O MMCD foi uilizado para xaminar a quação d Bolzmann, m 98, o méodo foi uilizado para simar o coficin d corrlação da disribuição d Sudn. Su procsso d implmnação é simpls, porém, sua uilização é rsria dvido a su alo cuso compuacional. Uma das vanagns do MMCD é d prmiir qu s subsiua o cálculo d ingrais complxas, qu não possum soluçõs analíicas fchadas, por xprssõs basadas m orias probabilísicas d grands númros. Enrano, a grand dsvanagm sá rlacionada ao númro xcssivo d simulaçõs ncssárias para qu s possa simar com prcisão a probabilidad d falha. Por xmplo, para s simar uma probabilidad d falha da ordm d PE, o númro d simulaçõs ncssárias não dvrá sr infrior a E ou E, dpndndo da variabilidad dos parâmros nvolvidos. Para sruuras málicas, considra-s uma probabilidad d falha na ordm d P a P, porano, sriam ncssárias a š simulaçõs. Esa quanidad xcssiva d simulaçõs orna o MMCD mnos ficin do qu ouros méodos quando da uilização d modlos não linars d rprsnação do comporamno das sruuras. Para sua uilização é ncssário qu as variávis alaórias nham disribuição d probabilidad conhcida, ond a idia básica do MMCD é uilizar procdimnos basados m oria probabilísica para calcular a ingral qu dfin a probabilidad d falha da sruura.

59 Ingração d Mon Carlo Nsa subsção, srá aprsnada uma écnica simpls para calcular ingrais unidimnsionais, quação 7, por um méodo d Mon Carlo xualmn d acordo com Rubinsin (98). œ =R + (7) A écnica é chamada d "Méodo d Mon Carlo d acrar ou rrar", basia-s na inrpração gomérica d uma ingral como uma ára. Para o cálculo da ingral da quação 96 considra-s qu o ingrando d é limiado: ž, ~ Ÿ. Considrar Ω como sndo o rângulo da Figura. Ω=,H:~ Ÿ, H ž. Figura Rprsnação Gráfica do "Méodo d Mon Carlo d acrar ou rrar" Ω Fon: Adapado d Rubinsin (98) Sja n,: um vor alaório disribuído uniformmn sobr o rângulo Ω com a função d dnsidad d probabilidad rsprsnada na quação 8.

60 57, i,h Ω žÿ ~ K o,l n,:=,bª b (8) Para drminar qual é a probabilidad 8, rprsnada pla quação, para qu o vor alaório n,: sja abaixo da curva, sndo S=,H:H, sgu: œ ára abaixo d gx=ára S=R + (9) 8= á i~ y á i~ Ω œ + =O žÿ ~ = žÿ ~ () Supondo-s qu vors alaórios indpndns são grados (X,Y ), (X,Y ),...,(X N,Y N ). O parâmro 8 pod sr simado pla quação. 8 = () Ond é o númro d siuaçõs m qu n :, i=,,,n, ou sja, o númro d acros, é o númro d rros. A ingral pod sr simada, a parir das quaçõs, pla quação. ¹ =žÿ ~ () A variância d 8 é rprsnada pla quação 3. c~ 8 =c~. = c~ = 8 8 (3) Aplicando a quação na quação 3 s m a quação 4. c~ 8 = žÿ ~ƒ žÿ ~ ƒ (4)

61 58 Porano, a quação 5 dfin c~ ¹. c~ ¹ = žÿ ~ƒ c~ 8 = žÿ ~ƒ 8 8= žÿ ~ ƒ (5) E o dsvio padrão é dfinido pla quação 6. j ºM = c~ ¹ ƒ = P žÿ ~ ƒ (6) Para s drminar a quanidad d simaivas par-s da qusão rprsnada pla quação 7. I ¹ <¾ƒ /? (7) Uilizando a dsigualdad d Chbyshv s obêm as quaçõs 8 9. I ¹ <¾ƒ c~ ¹ ¾ (8) / c~ ¹ ¾ (9) Subsiuindo a quação 5 m 9 s obém a quação 3. / 8 8 žÿ ~ƒ ¾ (3) Isolando na quação 3 s dfin a quação žÿ ~ƒ /À (3) Quando é suficinmn grand, pod-s aplicar o orma do limi cnral, qu diz qu a variávl alaória ¹Á é disribuída aproximadamn d acordo com a disribuição normal, sndo:

62 59 ¹Á ¹ j ºM (3) I¹ Ã, (33) o à = Å R ipæ + (34) PQ 35. Porano, o inrvalo d confiância com nívl / para é dfinido pla quação ¹ ±È 8 8 ƒ Ÿ ~ž ; (35) Ond È é xprsso pla quação 36. È =à P /. (36) uma sruura. Dsa forma pod-s calcular a ingral qu drmina a probabilidad d falha d Formulação do méodo d Numann m sismas linars A séri d Numann m como finalidad rduzir o mpo d procssamno do problma dinâmico, aprsnado nas quaçõs 37 38, aravés da aproximação da invrsão da mariz d rigidz quivaln. É Ê : =G Ê : =É Ê P G Ê (37) (38) Ond : é o vor d dslocamno nodal G Ê é o vor d força quivaln. A mariz d rigidz quivaln é dfinida plas quaçõs 39, 4 4. É Ê =É + É+~ * Ì +~ a (39) É * =É +~ * Ì +~ a (4)

63 6 É Ê =É * + É (4) Na quação 39 os coficins ~ * ~ provm da quação do méodo d ingração dira d Nwmark (vr Hughs (987)). Sndo É, Ì a as marizs d rigidz, massa amorcimno rspcivamn, a parcla drminísica da mariz quivaln É * é obida plas somas das parclas drminísicas corrspondns a mariz d rigidz, d massa d amorcimno como indicado na quação 4. A parcla É corrspond ao dsvio na mariz d rigidz fiva dcorrn da incrza do módulo d lasicidad. A séri d Numann para É P Ê é aprsnada na quação 4. É Ê P É * + É P I+I I + É * P (4) Ond é a mariz idnidad a mariz I é dscria na quação 43. IÉ * P É (43) D forma análoga, o vor d força quivaln ambém pod sr dcomposo no vor d força drminísica no vor d força socásica conform quação 44. G Ê G * + G (44) Subsiuindo as quaçõs 4 44 na quação 38 s obém a quação 45. : I+I I + É * P G * + G (45) O procdimno d sismaização da implmnação compuacional da séri d Numann foi ralizado d acordo com Li Qiu (). Es procdimno é obido a parir d um algorimo d sismaização do procsso mosrado a sguir. Dfinindo :{ * : * nas quaçõs s obém a quação 48. :{ * É * P G * (46)

64 6 : * =É * P G : I+I I + :{ * + : * :{ * + : * I:{ * I : * + I :{ * +I : * I :{ * I : * + (47) (48) A quação 48 pod sr rprsnada pla quação 49. Q Q : z E I E :{ * + : * z E I E :{ * (49) Eu* Eu* Dfinindo :{ E, : E : E nas quaçõs 5, 5 5 os subsiuindo na quação 49 s obém o vor d dslocamno nodal na quação 53. :{ E I E :{ E ; n=,,, (5) : E I E : * ; n=,,, (5) : E :{ E + : E ; n=,,, (5) Q : z E : E : * : +: : (53) Eu* Por ouro lado é possívl obr uma fórmula d rcursividad para obr : E conhcndo : EP conform indicado na quação 54. : E I E :{ * + : * II EP : * É * P ÉI EP : * (54) Um dos aspcos fundamnais na aplicação da modologia proposa consis da obnção do modlo d incrza para o módulo d lasicidad. Es modlo sablc uma rlação da alaoridad do módulo d lasicidad com as coordnadas do cnroid d cada barra do riculado. Para o problma proposo, a função do módulo d alaoridad é dscrio pla quação 55. (, ξ ) = µ + ( x, ξ ) E x E φ (55)

65 6 Na quação 55, x é o vor posição das coordnadas do cnroid das barras do riculado, ξ ( ω ) é a variávl alaória ond [,] ω, µ E é o valor médio do módulo d lasicidad do marial uilizado φ ( x,ξ ) é o vor qu confr a incrza ao módulo d lasicidad m função do vor posição com a dimnsão quivaln ao númro d lmnos obido pla quação 56. T ( x, ξ ) = S ( ξ ) φ ψ (56) Na quação 56, T S é o faor ransposo da dcomposição d Cholsky da mariz d auocorrlação R das disâncias dos cnroids das barras dscria na quação 58. A função d incrza ψ ( ξ ) é obida a parir da variávl alaória ξ ( ω ) supraciada d forma qu: ψ ( ξ ) =ξ (57) T R = S S (58) A mariz d auocorrlação das disâncias dos cnroids das barras do riculado é obida pla quação 59. ( ) ij d R = σ γ ij ( x ) (59) Na quação 59, σ é o coficin d disprsão, d é à disância d corrlação γ ij é a mariz cruzada d disâncias dos cnroids das barras do riculado. Para odos os xmplos sudados ns rabalho foram uilizados σ =, d =. Os concios abordados ns capíulo, bm como nos capíulos anriors, srão aplicados m xmplos numéricos d póricos spaciais sndo qu os rsulados srão aprsnados no capíulo a sguir.

66 63 4 RESULTADOS NUMÉRICOS Ns capíulo srão aprsnados xmplos d sruuras calculadas uilizando as formulaçõs dscrias no capíulo anrior. Para al, foi dsnvolvido um programa compuacional, uilizando um sofwar inraivo d ala prformanc volado para o cálculo numérico (MATLAB), chamado PorAL3D. Alguns d sus rsulados srão comparados aos obidos por mio do sofwar comrcial d anális sruural (STRAP). Srá aprsnado um xmplo d cálculo sáico um xmplo d cálculo dinâmico d pórico spacial uilizando o Méodo d Elmnos Finios (MEF). Para a confiabilidad sruural, srão aprsnados xmplos d sruuras calculadas uilizando o Méodo d Mon Carlo Diro (MMCD) o Méodo d Mon Carlo uilizando a séri d Numann para rduzir o mpo d invrsão da mariz fiva na abordagm dinâmica. O capíulo d rsulados aborda os sguins mas: anális sáica, vibraçõs livrs, anális dinâmica drminísica, anális dinâmica socásica uilizando o MMCD a uilização da séri d Numann para invrsão da mariz fiva. 4. ANÁLISE ESTÁTICA Nsa sção srão mosrados os rsulados para o modlo sáico, uilizando o MEF para os dslocamnos nodais sforços normais m barras d um pórico ridimnsional m rgim lásico linar com condiçõs d conorno, goméricas d carrgamno indicadas na Figura 3(a). Os rsulados obidos, uilizando o programa próprio PorAL3D, são comparados com os rsulados do sofwar comrcial STRAP. O pórico é consiuído d aço sruural, com propridads mcânicas goméricas da sção ransvrsal indicadas na Tabla, para odos os lmnos do riculado. As Figuras 3(b) 3(c) indicam os nós, com os maiors valors d dslocamno, as barras, com os maiors valors d sforços, qu srão uilizados para a aprsnação dos rsulados. O pórico foi submido a um carrgamno gnérico, simulando uma ação do vno sobr a laral do pórico como indicado na Figura 3(a), sndo qu para o modlo sáico é considrado um coficin d majoração d,4 sobr a prssão dinâmica.

67 64 Figura 3 a) Condiçõs d conorno; b) nós analisados; c) barras analisadas Fon: O Auor Tabla Propridads mcânicas goméricas do pórico Propridads dos Mariais Módulo d Elasicidad do Aço,x 5 MPa Coficin d Poisson,3 Pso Espcífico 78,5 kn/m³ Tnsão d Escoamno 5 MPa Tnsão d Rupura 4 MPa Propridads Goméricas das Barras Prfil Tubo 355,6 x 9,5 Ára.39 mm² Momno d Inércia,5478x 8 mm 4 Momno Polar d Inércia 3,956 x 8 mm 4 Fon: O Auor

68 Rsulados para dslocamno nodal sforço normal Os rsulados obidos para a componn v h do dslocamno nodal para o sforço normal são indicados na Tabla 3 na Tabla 4. A difrnça rlaiva nr os rsulados obidos com o PorAL3D com o STRAP é sablcida plas quaçõs v = v v h v s s (6) N = N N h N s s (6) Nas quaçõs 55 56, v é a difrnça rlaiva para o dslocamno ransvrsal N a difrnça rlaiva para o sforço normal. Os rmos v h, N h, v s, N s, são os dslocamnos os sforços normais obidos no PorAL3D no STRAP rspcivamn. As Figuras 4(a) 4(b) ilusram os dslocamnos nodais obidos. Tabla 3 Comparação dslocamnos STRAP x PorAL3D Componn d dslocamno v (m) NÓ STRAP PorAL3D v,84,93,76% 3,344,43,78% 4,75,84,77% 5,65,55,75% 6,84,377,76% 8,845,93,7% 9,35,43,7% 3,75,84,77% 3,64,55,75% 3,84,377,76% Fon: O Auor

69 66 Tabla 4 Comparação sforço normal STRAP x PorAL3D Esforço normal (N) BARRA STRAP PorAL3D N 736, 7343,,6% 44, ,7,% 3 55,34 53,4,% 4 854,97 849,6,% 5 58,4 5794,8,% , ,6,% 7 85,8 833,55,% 8 864, ,5,% ,6 6858,8,3% 45636,5 4569,,4% Fon: O Auor Figura 4 a) Dslocamno PorAL3D; b) dslocamno STRAP Fon: O Auor (a) (b) Os rsulados obsrvados para a componn v h do dslocamno mosram valors próximos do PorAL3D do STRAP, sa difrnça, mbora abaixo d,%, não dv sr considrada como um rro já qu não s m uma solução analíica padrão para comparar os rsulados d ambos os sofwars. Os rsulados d sforço normal aprsnam difrnças infriors a,%. Na próxima sção srão analisadas as frquências naurais do riculado, qu srvm como orinação m projos para viar fnômnos d rssonância.