enquanto que um exemplo de e.d.p. é uma equação do tipo potencial

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1 6- EDO s: TEORIA E TRATAMENTO NUMÉRICO Inrodução Muios problmas imporans significaivos da ngnharia, das ciências físicas das ciências sociais, formulados m rmos mamáicos, igm a drminação d uma função qu obdc a uma quação qu coném uma ou mais drivadas da função dsconhcida Esas quaçõs são quaçõs difrnciais Talvz o mplo mais conhcido sja o da li d Nwon F = ma S u = u( é a posição no insan d uma parícula d massa m submida a uma força F, mos d u du m = F, u, () d d du ond a força F pod sr função d, u, da vlocidad A fim d drminar o movimno da d parícula sob a ação da força F é ncssário nconrar a função u qu obdça () O nosso objivo é discuir propridads d soluçõs d quaçõs difrnciais ordinárias dscrvr alguns méodos qu s mosram ficins para nconrar as soluçõs do pono d visa analíico numérico 6- CONCEITOS BÁSICOS 6 Dfiniçõs Classificação das Equaçõs Difrnciais Dfinição 6: Uma das classificaçõs mais vidns s basia m a função dsconhcida dpndr d uma só variávl indpndn ou d divrsas variávis indpndns No primiro caso, na quação difrncial só aparcm drivadas ordinárias a quação é a quação difrncial ordinária (EDO) No sgundo caso, as drivadas são drivadas parciais, a quação é uma quação difrncial parcial (EDP) Um mplo d uma EDO é dado pla quação d Q( dq( L + R + Q( = E(, () d d C nquano qu um mplo d dp é uma quação do ipo poncial u(, u(, + () Dfinição 6: Uma oura classificação é a qu dpnd do númro d funçõs dsconhcidas qu são nvolvidas Quando s quisr drminar apnas uma função, basa uma quação Quando form duas ou mais as funçõs dsconhcidas, é ncssário r um sisma d quaçõs difrnciais Por mplo, as quaçõs d Loka-Volrra (ou prdador-prsa), imporans modlos d cologia, êm a forma: d = a α d, () d = c + γ d ond ( ( são as populaçõs da prsa do prdador, rspcivamn As consans a, c, α, γ são basadas m obsrvaçõs mpíricas dpndm das spécis pariculars qu são sndo sudadas

2 Dfinição 6: A ordm d uma quação difrncial é a ordm da drivada d maior ordm qu aparc na quação Ns snido, uma quação da forma F[, u(, u (, u (,, u (n) (] (5) é uma quação difrncial ordinária d ordm n Obsrvação: É convnin dnoar u( por consqünmn suas drivadas ficam scrias m função d Gralmn considramos quaçõs difrnciais qu s aprsnam na forma ( n) ( n ) = f (,,,,, ) (6) Dfinição 6: Uma solução d uma quação difrncial ordinária do ipo (6), no inrvalo (n) α < < β, é uma função φ al qu φ, φ,, φ ism saisfazm a ( n) ( n ) φ ( = f [, φ(, φ (, φ (,, φ ( ] (7) para odo m α < < β A mnos qu s faça afirmação m conrário, vamos admiir qu a função f da quação (6) é uma função ral, sarmos inrssados m obr soluçõs rais = φ ( Emplo 6: Mosr qu R( = c -k dr é solução da quação = kr, para < < d As funçõs ( = cos( ) ( = sn( ) são soluçõs da quação + Dfinição 65: Uma EDO do ipo F[,,,,, (n) ] é linar s F for uma função linar das variávis,,,, (n), ou sja, uma EDO linar d ordm n, é ( n) ( n ) a0 ( + a ( + + an ( = g( (8) Uma quação qu não nha a forma (8), srá uma EDO não linar Emplo 6: A EDO do ipo + + = é não linar Dfinição 66: O Problma d nconrar uma solução = φ( para uma quação difrncial ( n) ( n ) = f (,,,,, ) sujio a uma condição inicial ( ) =, iso é, φ ( ) =, é chamado d Problma d Valor Inicial(PVI) 6 Tormas d Eisência Unicidad d Soluçõs Embora sjamos capazs d vrificar qu cras funçõs simpls são soluçõs, m gral não dispomos pronamn d uma solução A prguna qu s faz é a sguin: Uma quação da forma (6) smpr rá solução? A rsposa é não a jusificaiva sgu Como sabr quando is al solução? Podm havr rês qusõs nvolvidas nsa rsposa A qusão da Eisência: S um drminado problma é prsso por uma quação difrncial ordinária (ou sisma d EDO), pod r ou não solução, pois pod havr rro na formulação do problma A qusão da Unicidad: admiindo qu uma EDO nha solução, sria única? Uma rcira qusão saria ligada ao carár mais práico: como nconrar uma solução? Caso isa, rspondu-s ao problma d isência No nano, pod isir mas não sr possívl d prssar como função ou ainda, combinação d funçõs conhcidas

3 Torma 6: (d Eisência Unicidad d Solução para uma EDO Linar d Ordm Um): Sja uma EDO da forma = f (, (9) ond a função f(, sá dfinida m um domínio D do plano qu coném o pono (, 0 0) S a função f(, saisfaz as condiçõs: f(, é uma função conínua d duas variávis m D; f f(, admi drivada parcial conínua com rlação a m D Enão is uma, somn uma solução = ϕ( da quação qu saisfaz a condição ( = 0 ) 0 5 Emplo 6: Considr a EDO d a ordm = + - O sgundo mmbro da quação f(, = + - f sua drivada parcial = são conínuas com rlação a a m odos os ponos do plano Em virud do orma d isência unicidad, o conjuno m qu a quação m solução única é odo o plano 6- EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE A ORDEM E A ORDEM 6 Equaçõs d a Ordm a Variávis Sparávis Às vzs é convnin usar como variávl m vz d para dsignar a variávl indpndn d uma quação difrncial Ns caso, a quação gral d primira ordm assum a forma d = f (, () d S a quação () é não-linar, iso é, s f não é uma função linar da variávl dpndn, não is um méodo gral para rsolvr a quação Considrmos uma subclass das quaçõs d primira ordm para as quais um procsso diro d ingração pod sr usado Em primiro lugar, rscrvmos a quação () na forma d M(,+N(, () d É smpr possívl consguir iso fazndo M(, = - f(, N(, =, mas pod havr ouras maniras Caso M sja uma função apnas d N sja uma função apnas d, a quação () s orna d M( + N( () d Uma quação ds ipo é dia sparávl porqu é scria na forma difrncial M( d + N(d () na qual, caso s dsj, os rmos qu nvolvm cada variávl podm sr sparados plo sinal d igualdad Emplo 6: d Mosrar qu a quação = é d variávl sparávl nconr sua solução d

4 Emplo 65: Mosr qu a solução da EDO com condição inicial é dada por ( = d + + = d ( ) (0) = Emplo 66: Achar a solução do problma d valor inicial Rsposa: ( = arcsn (ln + ) 6- Ercícios d cos = d + (0) = d 6) = d Sol: = c 6) ( + d (- d c + Sol: = 6) = Sol: = c + 6) g ( sn d + cos ( co g( d Sol: cos sc = sc + c d 65) ( + ) + d Sol: = ln( ) (0) = d 66) = Sol: = c d d 67) + sn( Sol: + cos( = C s 0; d g( sn( = C 68) d = cos ( cos ( Sol: s cos( 0 d π (n + ) = ± d 69) = Sol: + ( ) = C d + 60) = Sol: ln + = C ( + ) 6) = ( ) Sol: = sn[ln + C]; = ± 6) sn( d + cos(d ; Sol: sn( ) = cos( + ( π / ) = π / 6

5 ( + ) = 6) (0) = = 6) + (0) + Sol: = Sol: Equaçõs d a Ordm Homogênas Dfinição 6: Uma função f(, diz-s homogêna d grau n nas variávis s para odo λ R, λ > 0, mos: n f ( λ, λ = λ f (,, ond n = grau d homognidad Emplo 6: a) S f (, = + não, mos, f ( λ, λ = (( λ + (( λ = λ + = λf (, f é homogêna d grau b) f (, = é homogêna d grau zro Dfinição 6: Também podmos chamar uma EDO d homogêna s f(, é uma função homogêna d grau zro ou s M(, d + N(, d, ond M N são funçõs homogênas d msmo grau 6- Méodo d Rsolução forma: Impõ-s uma solução do ipo = u(, sndo qu a quação difrncial ans scria na d = f (,, d d du ond = u + f (, = f ( λ, λ (hipós), omamos λ = d d, ficando (, ) (, f = f ) como u =, mos qu f(, = f(,u) A EDO passa a sr scria como: du du u + = f (, u) = f (, u) u, qu é uma EDO d variávis sparávis Assim, d d ingrando chgamos à: du d = + C f (, u) u Subsiuindo u por, após a ingração, obém-s a solução da EDO original 7

6 6 Ercícios d 6) = d Solução: = ln c ( + ) d d 6) Solução: = () 6) ( + d ( d C Solução: ( ) + ( ) + = 6) ( + d + ( d Solução: ln u + u = ln C u + u 65) ( + ) d + d Solução: ( = 8 ( ( c 66) ( cos( )) d + ( cos( )) d Solução: sn( ) ln C = 6- Equaçõs d a Ordm Linars com Coficins Variávis Dfinição 6: Uma quação difrncial linar d primira ordm é uma quação da forma + P( = Q(, ond P( Q( são funçõs conínuas S, na dfinição anrior, assumirmos Q( para odo, podmos sparar as variávis ingrar não como sgu (dsd qu 0): d d + P( = P( d = P( d ln = P( d + lnc d d Eprssamos a consan d ingração sob a forma ln C a fim d modificar, como a sguir, a forma da úlima quação: C P d P d P( d P d ( ) ln ln = ( ) ln = = = C C ( ) C Obsrvmos m sguida qu, pla rgra do produo, P( d P( d P( d P d P d P d = + ( ) ( ) ( ) D D D = + P ( ) ( ) ( ) ( ) = ( + P( P( d Consqünmn, muliplicando ambos os mmbros d + P( = Q( por, a quação rsulan pod sr scria como P( d P( d D ( ) = Q( Ingrando ambos os mmbros, obmos a sguin solução implícia da EDO d a ordm : P ( d P( d = Q( d + K, para uma consan K Rsolvndo sa quação m rlação a, somos lvados a uma solução P( d plícia A prssão é um faor ingran da quação difrncial Emplo 6: )

7 d Rsolva a EDO = d Como P( = - d, calculamos o faor ingran Muliplicando ambos os mmbros da EDO obém-s: d = D ( = d Ingrando ambos os lados, obmos = d = + C ( = + C Emplo 6: 5 Rsolva a EDO + 5 +, com 0 Dividindo ambos os mmbros por, obmos: 5 + = 5 d 5 ln 5 O faor ingran é dado por = S > 0, não 5 = 5 S < 0, 5 = - 5 Em qualqur caso, a muliplicação por 5 d ambos os mmbros da forma padronizada dá = D( = Ingrando ambos os mmbros da igualdad acima, obmos como solução: C = d = + C ( = + 5 Emplo 6: Rsolva a quação difrncial + g( = sc( + cos( ln sc( ) Cálculo do faor ingran: gd = sc( Dsprzando o valor absoluo muliplicando por ambos os lados, chgamos à sc( + sc( g( = sc ( + cos( sc( D ( sc( ) = sc ( + Ingrando ambos os mmbros, obém-s: sc( = g( + + C ( = sn( + ( + C)cos( 6- Técnica Alrnaiva Para Rsolução d uma EDO Linar D A Ordm Suponha qu ( = u(v(, ond v( é uma solução paricular da EDO + P( Drivando com rlação à, obém-s: d dv du = u + v d d d d Considrando a EDO + P( = Q( subsiuindo a drivada d com rlação a, d obmos: dv du u + v + P( u v = Q( d d dv du u + P( v + v = Q( d d 9

8 Drminação d v(: Imponha qu a prssão nr colchs sja zro, iso é: dv dv + P( v = P( d d v Subsiua a prssão d v( nconrada na quação: du v = Q( d drmin u( Finalizando, obmos ( = u(v( 6- Ercícios d 6) d 5 c 6) Solução: ( = + 5 c 6) + = ln( Solução; ( = ln + 6) ( cos( + d d Solução; ( = sn + c cos( cos + co g ( = 5 Solução: ( = cos sc( [ + c] 65) d + ( ) d Solução: ( = + c d 66) = + + Solução: ( = + ln( + c d 67) d d = ( ) d Solução: ( + c 68) + Sol: ( = + c 69) = Sol: ( = + c ) = Sol: ( = + c + c 6) + co g( = cos sc( Sol: ( = sn( c 6) + + Sol: ( = + + c 6) d + ( ) d Sol: ( = 6) + g( = sn( Sol: ( = cos( [ln sc( + c] 65) ( cos( + d d Sol: ( = sn( + c c 6) + ( + = Sol: ( = + c 66) g ( d + ( sn( d Sol: ( = sn( + sn( 67) + = + Sol: ( = + ( + c) = + 68) Sol: ( = ( + ln( + ) () = 0

9 + + 69) Sol: ( ( ) () di I dv 60) A quação difrncial R + = dscrv um circuio lérico qu consis m d C d uma força lromoriz V com uma rsisência R capaciância C ligadas m séri S V é consan s I(0) = I 0, prss I como função d Rsp: I = I ( 0 RC 65 Equaçõs d a Ordm Eaas Faors Ingrans Considr a quação difrncial d a ordm do ipo + + () Esa quação não é sparávl No nano obsrv qu a função ϕ (, = + saisfaz a propridad qu: ϕ ϕ + = () Assim a EDO pod sr scria como d ( + ) + ( + ) () d Admiindo qu sja função d (uilizando a Rgra da Cadia), pod-s scrvr a () na forma d ( + ) () d Porano, + = c, (5) ond c é uma consan arbirária, é uma prssão implícia (solução) d () Ao rsolvr (), a apa principal foi o rconhcimno da isência d uma função ϕ(, qu obdcia () D modo mais gral, considr a quação difrncial M(,+N(, (6) Suponha qu s possa idnificar uma função ϕ (, al qu ϕ ϕ (, = M (, (, = N(,, (7) d modo qu ϕ (, = c obdça a quação = φ (, como uma função drivávl d Enão: ϕ ϕ d d M(,+N(, = + = ϕ[, φ( ], d d sndo qu (6) pod sr rscria como: d ϕ [, φ( ] (8) d Ns caso, (6) é uma quação difrncial aa A solução d (6) ou d sua quivaln (8) é dada impliciamn por ϕ (, = c, (9) ond c é uma consan arbirária

10 No mplo sudado, foi fácil nconrar a sua solução, dvido ao rconhcimno da função dsjada ϕ Para os casos m qu iso não é possívl, is um orma para vrificação dsa condição: Torma 65: Sjam M, N, M, N funçõs conínuas no domínio rangular (cono) R: α < < β, γ < < δ, não a quação M(,+N(, =0 é uma quação difrncial aa m R s, somn s, M (, = N (, (0) m cada pono d R Iso é, is uma função ϕ, qu saisfaça ϕ ϕ (, = M (, (, = N(,, s, somn s, M N saisfizrm (0) Emplo 65: a) Rsolvr a quação difrncial cos( + + (sn( + ) É fácil vr qu M (, = cos( + = N (,, d modo qu a quação é aa Assim, há uma função ϕ(, al qu: ϕ (, = cos( + ϕ (, = sn( + Ingrando a primira quação, obmos: ϕ (, = sn( + + h( Drivando ϕ m rlação a uilizando a sgunda quação, obmos: ϕ (, = sn( + + h ( = sn( + Assim, h ( = h( = A consan d ingração pod sr omiida, pois qualqur solução da quação difrncial é saisfaória não prcisamos d uma solução gral Sndo assim, obmos como solução ϕ (, = sn( +, qu é uma solução do ipo implícia b) Rsolvr a quação difrncial ( + ) + ( + Ns caso M (, = + N (, = + Porano M N a quação não é aa Para vr qu não é possívl rsolvê-la plo méodo anrior, procurmos uma ϕ al qu ϕ = + ϕ = + Ingrando ϕ m rlação à vm: ϕ (, = + + h( (*) ond h é uma função arbirária d Afim d saisfazr ϕ, calculamos a drivada d (*) com rlação à comparamos Assim + + h ( = +,

11 ou h ( = Como o o mmbro dpnd d, é impossívl nconrar h( Porano não há uma função ϕ (, qu saisfaça as drivadas parciais Algumas vzs, é possívl convrr uma quação difrncial qu não sja aa numa aa, muliplicando-a por um faor ingran apropriado Mulipliqumos a quação M (, d + N (, d () por uma função µ nmos nconrá-la d modo qu µ (, M (, d + µ (, N (, d () sja aa Sab-s, d anmão, qu a quação acima srá aa s, somn s, ( µ M ) = ( µ N ), () iso é, µ dvrá obdcr à sguin quação difrncial d a ordm M µ Nµ + ( M N µ () S uma função µ saisfizr à (), não () srá aa A solução d () podrá não sr obida plo méodo anriormn dscrio A solução nconrada saisfaz () pois o faor ingran µ srá canclado Supondo qu µ dpnda somn d do fao qu ( µ M ) = ( µ N ), obém-s qu é o faor ingran procurado dµ = d M Emplo 66: Enconr o faor ingran rsolva a quação ( + ) + ( + (*) Já sabmos qu sa quação não é aa Drminamos um faor ingran qu dpnda clusivamn d Ao drminar a prssão M (, N (, + ( + = =, N(, + obsrvamos qu o faor ingran dpnd clusivamn d para nconrá-lo basa rsolvr a quação difrncial dµ µ = µ( = d Muliplicando (*) por µ (, obém-s: ( + ) + ( + qu é aa, após sua rsolução, nconra-s + = c 65- Ercícios Drminar s as quaçõs são aas ou não Para as quaçõs aas, nconr a solução: 65) ( + ) + ( ) Sol: + + = C 65) ( + + ( Sol: Não é aa 65) ( + ) d + (6 + ) d Sol: = C N N µ 65) ( + + ( + Sol: + = C 655) ( sn( sn( ) d + ( cos( + cos( ) d

12 Sol: sn( + cos( = C ; 656) ( sn( + d ( sn( ) d 657) ( cos( sn( + d + ( cos( ) d Sol: Não é aa Sol: cos( + = C 658) ( + 6 d + (ln ) d, > 0 Sol: ln + = C 659) ( ln( + d + ( ln + d, > 0, > 0 Sol: Não é aa d + d 650) Sol: + = C ( + ) Enconr o valor d b para o qual a quação é aa rsolvr cada quação com o valor nconrado: 65) ( + b d + ( + d Sol: b=; + = C 65) ( + d + b d Sol: b=; + = C 66 Equaçõs d a Ordm Linars Homogênas com Coficins Consans Dfinição 66: Uma quação difrncial ordinária d a ordm m a forma d d = f (,, ) () d d ond f é uma função conhcida Dizmos qu a quação () é linar quando a função f é linar m suas drivadas, iso é, quando d d f (,, ) = g( p( q(, () d d ond g, p q são funçõs da variávl indpndn Ns caso, a quação () fica + p( + q( = g( () Dfinição 66: S a quação () não m a forma (), não la é dnominada não linar Para uma EDO d a ordm, um problma d valor inicial é consiuído por um par d condiçõs iniciais ( ) = 0 0 ( 0 ) = () ond 0 são númros dados Obsrvação: No qu são ncssárias duas condiçõs iniciais para uma quação d sgunda ordm, pois falando m rmos grais, são ncssárias duas ingraçõs para s chgar a solução Um mplo d ocorrência d uma quação linar d a ordm é dado plo movimno d um corpo ligado a uma mola, muios ouros sismas oscilans simpls, qu é dscrio por uma quação da forma: d u du m +γ + ku = F(, (5) d d ond m, γ k são consans F é uma função

13 Dfinição 66: Uma EDO linar d a ordm é homogêna s o rmo g( m () for nulo para odo Não sndo assim, a quação é não-homogêna Obsrvação: O rmo g( é dnominado não-homogêno Considrmos a EDO linar homogêna d a ordm + p + q (*) Propridads 66: S são soluçõs pariculars da EDO linar homogêna d a ordm (*) não + ambém é solução da quação S é uma solução d (*) C é uma consan, o produo C é ambém solução dsa quação 66- A Indpndência Linar o Wronskiano Dfinição 66: Duas soluçõs d (*) dnominam-s linarmn indpndns (LI) no inrvalo [a,b] s sua razão cons an Em caso conrário, as soluçõs chamam linarmn dpndns (LD) Em ouras palavras, duas soluçõs são LD s λ al qu = λ quando [a,b] Emplo 67: A quação admi como soluçõs, -, 5 - As funçõs - são LI m odo o domínio por sa razão pois = (consan) qu varia com R Ao passo qu Dfinição 66: S são funçõs d, não o drminan W(, = dnomina-s drminan do Wronski ou Wronskiano das funçõs dadas Propridads: S as funçõs são LD m [a,b], não o Wronskiano m [a,b] é zro D fao, s = λ dond λ é consan, não = λ λ W (, = = = λ λ são LD S o Wronskiano W(, ) das soluçõs da quação homogêna não s anula m um pono = 0 d [a, b], não l não s anula para qualqur valor d ns inrvalo 5

14 Obsrvação: S o Wronskiano é nulo para cro valor d = 0, não s drminan ambém é igual a zro para qualqur valor d no inrvalo considrado S as soluçõs d (*) são LI m [a,b], não o Wronskiano formado por sas soluçõs não s anulará m nnhum pono do inrvalo S são soluçõs d (*), não = c + c, ond c c são consans arbirárias, é uma solução gral d (*) 66 Raízs da Equação Caracrísica Tipos d Soluçõs Ns momno, vamos dirigir nossas ançõs para o caso m qu os rmos qu acompanham,, d (*) são consans, ou sja, sarmos inrssados m rsolvr uma EDO d a ordm do ipo a + b + c, (6) ond a, b, c são consans dadas Ans d mosrarmos a forma d solução, considrmos o sguin mplo: (7) Para sa quação, êm-s a=, b=0 c=- Com um pouco d mdiação, obsrvamos qu uma função qu saisfaz (7) é ( Sguindo o msmo raciocínio, obsrvamos qu ( - ambém saisfaz (7) Com o mpo, vrmos qu a combinação dsas duas soluçõs ambém saisfaz (7) Com iso, vrifica-s qu soluçõs do ipo ( = c ( + c ( aprsnam uma solução d (7) na forma gral Obsrvação: Para drminar os valors das consans são ncssárias duas condiçõs iniciais Volando à quação (6), já vimos qu soluçõs do ipo ponncial, são válidas r r Suponhamos qu, ond r é o parâmro a sr drminado Tmos qu = r r = r Lvando as prssõs d, m (6), obém-s: r r 0 ( ar + br + c) ar + br + c (8) A quação (8) é dnominada quação caracrísica A solução dsa quação caracrísica nvolv um sudo do sinal do dla da quação Caso : solução > 0 raízs rais disinas Suponha r r as duas raízs Ns caso m-s como r r ( ( porano, a solução gral fica r r ( = c ( + c ( = c + c (9) Obsrvação: Vrifiqu qu (9) saisfaz (6) ) Emplos 68: a) Enconr a solução da EDO , sujia às condiçõs iniciais: (0) = (0) = 6

15 b) Enconr a solução do PVI 5 Solução: ( = + 8 (0) = (0) = + b Caso : raízs rais iguais Ns caso Tm-s qu b = ac não r = r = a r r Assim, obmos como solução, para a EDO do ipo ( A solução ( = ambém saisfaz Porano a solução gral para s caso é: r = ( c c (0) ( + Caso : < 0 raízs complas Ns caso, obsrvamos qu uma das raízs rá a forma r = α + iβ (a oura raiz srá r = α iβ ), ond α, β R Assim rmos como solução: ( α + iβ ) ( α iβ ) α iβ iβ = c + c [ c + c ] α [ c (cos( β + i sn( β) + c (cos( β + i sn( β] 7 α [( c + c )cos( β + i( c c ) sn( β] Como c + c i( c c) dvm sr rais, impomos qu c + c = C i( c c) = C não α ( [ C cos( β + C sn( β], () dv sr a solução para o caso m qu < Ercícios Rsolva as EDO s linars d a ordm abaio: 66) ) (0) (0) = 66) IV

16 66) + 665) ) 6 667) + 668) ) ) Nos problmas abaio, nconrar a solução das EDO d a ordm: 66) = + 0 Sol [ c cos( + c sn( )] 8 ( ( [ c cos( 5 + c sn( 5 ( = c + c ( [ c cos( + c sn( ( [ c cos( + c sn( 66) + 6 Sol )] 66) + 8 Sol 66) + + Sol )] 665) Sol )] 666) + 9 Sol ( = c cos( ) + c sn( ) 667), Sol ( [ c cos( ) + c sn( )] 668) Sol ( = c + c 669) + +,5 Sol [ c cos( + c sn( )] ( = ( [ c cos( ) + c sn( 660) + + 6,5 Sol )] + 66) Sol ( = sn( (0) ; (0) = ) Sol ( [cos( + sn( ] (0) = ; (0) + 5 π 66) ( π ) ; ( π Sol ( = sn( ) = 66) ( π ) + = ; ( π ) = Sol ( = ( + )cos( ( )sn( + +, ) Sol ( [cos( + sn( ] (0) = ; (0) = + + ( π 666) ) ( π ) ( π ) = ; ( π Sol ( cos( + sn( ) = 667) = + 0 Sol [ c + c ] ( 668) Sol [ c + c ] ( ( ) = c 669) Sol + c

17 ( = ( [ c cos( + c sn( ( [ c + c 660) Sol [ c + c ] 66) + 0 Sol )] 66) Sol ] 66) Sol c + c ( [ c + c ( 66) Sol ] 5 665) Sol ( [ c + c] 666) + + Sol ( [ c cos( ) + c sn( )] 67 Equaçõs d a Ordm Linars Não Homogênas com Coficins Consans 67 - Méodo dos Coficins Indrminados forma A forma gral da quação é + p + q = g( Suponhamos qu g( sja produo d uma função ponncial por um polinômio, ndo a ond P n ( é um polinômio d grau n Alguns casos podm ocorrr: g α ( = Pn (, () O númro α não é uma raíz da quação caracrísica r + pr + q Enão s orna ncssário nconrar uma solução paricular da forma: n n α α p ( = ( A0 + A + + An ) = Qn ( () O rabalho agora s concnra m drminar os coficins do polinômio Esa arfa consis m subsiuir na quação original, ou sja, driva-s anas vzs quano for a ordm da drivada p iguala-s com o lado dirio da EDO lmbrando uma rgra fundamnal: Dois polinômios são iguais s, somn s, sus coficins são iguais rmo a rmo O númro α é uma raíz simpls da quação caracrísica Para sa siuação, a solução qu dv saisfazr a EDOrá a forma: n n α α p ( = ( A0 + A + + An ) = Qn( () Novamn, o rabalho concnra-s m drivar a prssão () d modo a drminar sus coficins, impondo como solução da EDO O númro α é uma raíz dupla da quação caracrísica Nsa siuação, a solução qu dv saisfazr a EDO rá a forma: n n ( = ( A + A + + A ) p 0 n α = Q n ( α () Na abla abaio, nconram-s rsumidos as soluçõs pariculars para o caso não homogêno: 9

18 g( Raíz Solução Paricular ( p ( ) ( a n n 0 + a + + a ) n α n n α r r α ( A + A + A ) 0 + n n α r = α ou r =α ( A0 + A + + An ) r =α (α é raíz dupla) n n α ( A + A + + A ) 0 n n α Suponhamos agora qu g( sja da forma [ P( cos β + Q( sn β] ond P( Q( são polinômios Dv-s nconrar uma solução para o caso paricular ond a forma dsa solução dpnd da raiz do polinômio caracrísico O problma é qu, como mos na função f( qu é produo d uma ponncial por uma função rigonomérica do ipo snβ ou cos β, a raiz a sr considrada dvrá ncssariamn r a forma α + iβ, sndo qu α dvrá sr comparada à par ral ou o coficin da ponncial β dvrá sr comparado com o argumno do ângulo Por mplo, s ivrmos uma função, para o caso não homogêno, da forma 5 g( cos( as raízs do polinômio caracrísico form da forma 5± i, obrmos como solução paricular uma função da forma: 5 ( = [ ( Acos( + B sn( )], qu srá drminada quando dscobrirmos o valor das consans A B Agora considr por mplo a siuação, para o caso não homogêno, ond f ( = cos( ) as raízs do polinômio caracrísico são da forma ± i Ns caso, rmos uma solução, para o caso paricular, da forma ( = Acos( ) + Bsn( ), ond novamn, basa drminar os valors d A B Obsrvação: S aparcr polinômios muliplicando as funçõs rigonoméricas, srá ncssário impor na solução paricular, polinômios d msmo grau qu do caso não homogêno, compará-los a fim d drminar o valor dos coficins g ( α Rsumindo, para s caso mos os sguins rsulados: [ P( cos β + Q( sn β ] Solução Paricular ( ( Raízs α+ i β p ) α + i β = α + iβ α [ P( cos β + Q( sn β ] α + i β α + iβ α [ P( cos β + Q( sn β ] 67- Ercícios Rsolva as quaçõs abaio: 67) + + = Sol: ( = c + c ) + 9 = ( + ) Sol: ( = c cos( + c sn( + ( + ) ) 7 6 ( = ) Sol: ( = c + c + ( + ) 0 5 0

19 67) 5 6 = + Sol: ( = c + c + 675) Sol: ( = c + c 6 676) = k k 677) = cos( ) Sol: ( [ c cos( + c sn( + cos( + sn( ) + = cos( Sol: ( = c cos( + c sn( + sn( 679) cos( = ) Sol: ( = c + c + [ cos + sn ] k Sol: ( = c cos( K + c sn( K Méodo da Variação dos Parâmros A forma gral da quação é + p + q = g( Objivo: Drminar uma solução paricular d uma quação não homogêna Vanagm: é um méodo gral, ou sja, não ig hipóss dalhadas sobr a forma da solução Idéia Básica: Subsiuir os coficins da solução nconrada no caso homogêno por funçõs u ( ) u ( ) d modo qu a solução rscria, sja solução da não homogêna Emplo 69: Considr a EDO + = cossc(, () cuja solução para o caso homogêno ( + ), () m a forma ( = c cos( + c sn( () A idéia do méodo é impor como solução, para o caso paricular, uma quação da forma ( = u ( cos( + u( sn(, () d modo qu sa orn solução para o caso não homogêno Drivando () uma vz, obém-s: ( = u( sn( + u ( cos( ) + u( cos( + u( sn( ) (5) Imponha qu u ( cos( ) + u ( sn( (6) D (5), obmos ( = u( sn( + u( cos( (7) Drivando (7), obmos: ( = u( cos( ) u ( sn( u( sn( + u ( cos( ) (8) Inroduzindo as quaçõs (8) () m (), obém-s: u ( sn( + u ( cos( = cossc( (9) Ns pono, qurmos scolhr u ( u ( d modo a saisfazr (6) (9) simulanamn D (6),

20 cos( ) u( = u( (0) sn( ) Lvando (0) m (9), chgamos à: cos sc( sn( u( = = cos( () Rornando m (0), com u ( ), obém-s para u ( ) : cos( cos( ( sn ( ) u( = = = cos sc( sn( () sn( sn( Ingrando () (), obém-s: u ( = sn( + c () u ( = ln cos sc( co g ( + cos( + c () Assim, ( = sn( cos( + [ ln cos sc( co g ( + cos( ]sn( + c cos( + c sn( (5) A prssão (5) é uma solução gral para a quação () Pnsando agora no caso gral, considrmos a quação: + p + q = g( (6) Admiindo qu a solução da quação homogêna m a forma: h ( = c ( + c( (7) lvando m cona qu o MVP impõ como solução para o caso não homogêno uma solução do ipo p = u ( ( + u ( ( ), (8) ( dvmos drminar u ( u ( Drivando (8) m rlação a, obém-s: p ( = u ( ( + u ( ( + u ( ( + u ( ( (9) Como no mplo anrior, considramos nula a soma qu nvolv os rmos u ( ) u ( ), ou sja, u ( + u ( ( 0 (0) ( = Drivando a prssão (9), lvando m considração (0), obém-s: p ( = u( ( + u( ( + u( ( + u( ( () Lvando m cona as prssõs (8), (9) (), chgamos à: u ( [ ( + p( + q ( ] + u( [ ( + p ( + q ( ] + u ( ( + u( ( = g( () Cada prssão nr colchs d () é nula, pois são soluçõs da quação homogêna Porano, a quação () s rduz à u ( ( + u ( ( = g ( () D modo a drminar as prssõs d u ( u (, dvmos rsolvr o sisma: u( ( + u( ( () u( ( + u( ( = g( Obsrv qu o drminan ds sisma é = W(,, qu é o Wronskiano das soluçõs

21 Obsrvação: Lmbr-s qu para qu o sisma nha solução única, dvmos r W(, ) 0 Rsolvndo s sisma, chgamos facilmn às prssõs: ( g( ( g( u = u = (5) W (, ) W (, ) Ingrando sas prssõs, chgamos à: ( g( ( g( u ( = u ( = W (, ) (6) W (, ) qu subsiuindo m (8) drminam a solução para o caso paricular d (6) 67- Ercícios Rsolva as quaçõs abaio: 67) + = co g( Sol: = c cos + c sn + ln cos sc( co g( sn ( = g( ( c cos + c sn ln sc( + 67) + ) Sol: = g( cos 67) + 9 = 9sc ( Sol: = + ln sc( ) + g( ) sn( ) + c cos( + c sn( ) ( + = ( [ c + c ln 67) + Sol: ] 675) + = sc( ) Sol: ( = c cos( ) + c sn( ) + 8 ln cos( ) cos( ) + sn( ) 6- Rdução d um Sisma d Equaçõs à uma Equação d Ordm n Um modo fácil d ingrar o sisma d n quaçõs difrnciais n di = aij j + fi ( para i =,,,, n () d j= consis m rduzi-lo a uma quação d ordm n Es méodo conduz a rsolução do sisma para uma quação difrncial linar d coficins consans Considr, por mplo, o sisma d duas quaçõs abaio: d = a + b + f ( () d d = c + d + g( () d Aqui, a, b, c, d são coficins consans; f(, g( são funçõs dadas D (), vmos qu d = ( a f ( ) () b d d Inroduzindo na sgunda quação do sisma pla drivada do sgundo mmbro d d (), obmos uma quação difrncial d a ordm m (:

22 ond A, B, C são consans d d A + B + C + P(, () d d Obsrvação: =, C, C ), inroduzindo m () o valor nconrado d, assim como nconramos ( d, d Emplo 6: Rsolva o sisma d quaçõs: D (I), ira-s d = + d d = + d ( I) ( II ) d = (III) d Drivando (III) subsiuindo m (II), rsula m uma quação difrncial linar d a ordm com coficins consans: d, (IV) d cuja solução gral m a forma: ( = C + C, sndo qu d (III), obém-s para a sguin prssão: ( = C C, obndo assim ano (, quano ( Emplo 6: Considrmos a EDO linar d sgunda ordm: + =, para > 0 Fazndo a subsiuição z =, obmos a EDO linar d a ordm: z + z =, cuja solução gral (qu uiliza o méodo do faor ingran) é: d d z( C + d, C ond um cálculo simpls nos fornc z ( = + porano, ( = z( d = + Cln + C