7 Solução de um sistema linear
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- Paulo Machado Guterres
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1 Toria d Conrol (sinops 7 Solução d um sisma linar J. A. M. Flipp d Souza
2 Solução d um sisma linar Dfinição 1 G(,τ mariz cujos lmnos g ij (,τ são as rsposas na i ésima saída ao impulso aplicado na j ésima nrada. S a mariz G(,τ é conhcida, não podmos achar y( aravés da quação (5., qu rpimos abaixo: y( = G(,τ u(τ dτ (5. S o sisma é linar, causal, invarian no mpo rlaxado m o, não G(,τ = G( τ y( = G( τ u(τ dτ o
3 Solução d um sisma linar S além disso o sisma for rlaxado m o =, não podmos usar a ~ função d ransfrência G(s assim achar y( como y( =L 1 [Y(s] ond ~ Y(s = G(s U(s ~ G(s =L 1 [G(s] Agora nós acharmos uma xprssão para a quação dinâmica (6.-(6.4, qu aqui passarmos a chamar d (7.1-(7., iso é x( = A x( + B u(, x( o = x o (7.1 y( = C x( (7.
4 Solução d um sisma linar A solução x( irá dpndr d, o, x o u(. Sndo assim usarmos a noação x( = φ(, o,x o,u( para rprsnar a solução d (7.1 quando x( o = x o a nrada u( é aplicada m [ o, ].
5 Solução d um sisma linar Solução do Sisma Homogéno Considr o sisma homogéno x( = A( x( (7. Torma 1 O conjuno d soluçõs d (7. forma um spaço vorial d dimnsão n. Exmplo 1 x( = A( é uma mariz x porano o x( sado x( m componns. A( Plo Torma 1 acima pod-s achar soluçõs L.I. Uma possibilidad é scolhr: 1 x 1 ( = x ( = Obsrv qu ambos x 1 ( x (são soluçõs do sisma homogéno além disso ls são L.I. no spaço da funçõs x(.
6 Solução d um sisma linar Exmplo x( = x( ond é a mariz n x n d zros Plo Torma 1 pod-s nconrar n soluçõs L.I. D faco, qualqur conjuno d n lmnos do R n qu sja L.I. é uma possibilidad d solução do sisma homogéno. Dfinição 1 Mariz Fundamnal Ψ( do sisma homogéno (7. x( = A( x( é qualqur mariz n x n cujas colunas são soluçõs L.I. d (7.
7 Solução d um sisma linar Exmplo Ψ( = Oura Mariz Fundamnal possívl sria: No nano, a mariz é uma possívl Mariz Fundamnal para o 1 sisma x( = A( x( do Exmplo 1 Ψ( = 1 (4 + 4 não é Mariz Fundamnal porqu mbora suas colunas sjam soluçõs do sisma homogéno (7., las não são L.I.
8 Solução d um sisma linar É fácil d vrificar qu s Ψ( é uma Mariz Fundamnal do sisma não Ψ( saisfaz x( = A( x( Ψ( = A( Ψ( Ψ( o é uma mariz d coficins rais não singular, iso é (7. (7.4 d Ψ( o (7.5 Na ralidad mos os sguins rsulados: Torma Ψ( é Mariz Fundamnal d (7. s somn s Ψ( saisfaz (7.4 para odo (7.5 para algum o Torma S Ψ( é Mariz Fundamnal, não Ψ( o é não singular para odo o (,.
9 Solução d um sisma linar Com o rsulado do Torma sab-s qu: Ψ 1 ( o xis para odo o Porano, pod-s dfinir a Mariz d Transição do sisma Φ(, o Dfinição Mariz d Transição Φ(, o do sisma homogéno (7. Φ(, o = Ψ( Ψ 1 ( o para odo o (,. Torma 4 A Mariz d Transição Φ(, o d (7. i é única; ii dpnd apnas d A(; iii não dpnd da scolha da Mariz Fundamnal Ψ( Es rsulado sgu do faco qu Marizs Fundamnais d (7. quaisqur Ψ( Ψ ( saisfazm Ψ( = Ψ ( P para algum P invrsívl.
10 Solução d um sisma linar Propridads da Mariz d Transição Φ(, o d (7. i Φ(, = I ; ii Φ 1 (, o = Ψ( o Ψ 1 ( = Φ( o, ; iii Φ(, o = Φ(, 1 Φ( 1, o para odo, o, 1, (,. A inrpração da propridad (iii é qu φ(, o,x o, = φ(, 1,φ( 1, o,x o,, x( 1 x( 1 x( = Φ(, o x o = Φ(, 1 Φ( 1, o x o x( 1 x( o
11 Solução d um sisma linar Exmplo 4 Tomando novamn o sisma x( = A( x( do Exmplo, ond A( = qualqur qu sja a Mariz Fundamnal Ψ( scolhida, a Mariz d Transição Φ(, o srá dado por, Φ(, o = 1 ( 1 1 Torma 5 A Mariz d Transição Φ(, o d (7. é a única solução d Torma 6 Φ(, o = A( Φ(, o, φ(, o,x o, = Φ(, o x o Φ(, o = I (7.6
12 Solução d um sisma linar Porano a Mariz d Transição Φ(, o d (7. govrna a volução d x( quando x( = x o. Ou sja, a Mariz d Transição Φ(, o d (7. govrna o sado do sisma (7.1 quando u( =. Torma 7 S A( ( A(τ dτ comuam, não a única solução d (7.6 o é dada por Φ(, o = A(τ dτ o (7.7 Es orma diz qu s A( ( A(τ dτ = ( A(τ dτ A( o o (7.8 não a Φ(, o dada por (7.7 é a Mariz d Transição d (7.. Obsrvação imporan Quando A( é uma mariz diagonal, ou quando A( = A (consan, indpndn d, não a quação (7.8 é saisfia.
13 Solução d um sisma linar Solução da Equação Dinâmica Torma 8 A solução d (7.1 é dada por φ(, o,x o, u( = Φ(, o x o + Φ(,τ B(τ u(τ dτ ond Φ(, o é a Mariz d Transição d (7., ou sja, Φ(, o é a única solução d (7.6. o S u( = mos: φ(, o,x o, = Φ(, o x o ( já viso no Torma 6 S x o = mos: φ(, o,,u( = Φ(,τ B(τ u(τ dτ o
14 Solução d um sisma linar Porano, φ(, o,x o, u( = φ (, o, x o, + φ (, o,, u( ransin ou rsposa livr rgim sacionário ou rsposa forçada Corolário A saída y( m (7. é dada por y( = C( Φ(, o x o + C( Φ(,τ B(τ u(τ dτ o S x o =,mos qu: y( = [ C( Φ(,τ B(τ ] u(τ dτ o G(, τ dfinido m (5.7
15 Solução d um sisma linar Solução d Sismas Invarians no Tmpo Para sismas invarians no mpo A( = A B( = B C( = C, conform vimos m (5.14 (5.15 Ns caso uma possívl Mariz Fundamnal Ψ( é dada por Ψ( = A Es rsulado sgu do Torma uma vz qu d d A = A A A o são não singulars para =.
16 Solução d um sisma linar Porano a Mariz d Transição para sismas invarians no mpo m a forma Φ(, o = A ( A 1 = A ( o o = Φ( o Aliás, s rsulado ambém podria sr obido plo Torma 7 junamn com a obsrvação qu o sgu. Logo, φ(, o,x o, u( = A ( o + A( τ B u(τ dτ o (7.9 S o =, a solução do sisma linar invarian no mpo é não dada por: x( = φ(,,x o,u( = A x o + A( τ B u(τ dτ y( = C A x o + C A( τ B u(τ dτ (7.1 (7.11
17 Solução d um sisma linar S x o =, a solução do sisma linar invarian no mpo é não dada por: y( = C A( τ B u(τ dτ G(,τ = G( τ = mariz rsposa ao impulso, dada por (7.8 Tomando a Transformada d Laplac d (7.1 (7.11, ~ Quando x o =, mos a Mariz d Transfrência G(s ~ G(s conform já havia sido obida m (6.9. X(s = (si A 1 x o + (si A 1 B U(s Y(s = C (si A 1 x o + C (si A 1 B U(s Y(s = C (si A 1 B U(s (7.1
18 Solução d um sisma linar Em rsumo, A solução do sisma linar invarian no mpo x( = A x( + B u(, x( o = x o (7.1 y( = C x( (7. é dada por x( = A x o + A( τ B u(τ dτ y( = C A x o + C A( τ B u(τ dτ (7.1 (7.11
19 Solução d um sisma linar Exmplo 5 Sisma homogéno d 1ª ordm x = a x, x( = x o y = c x ond: a csão consans, iso é, são marizs 1x1 1 saída (oupu Solução: Como é basan conhcida, da rsolução d quaçõs difrnciais homogénas d 1ª ordm. x( = x o a y( = cx o a
20 Solução d um sisma linar Exmplo 6 Sisma homogéno d ordm n x = A x, x( = x o y = C x ond: A é uma mariz n x n C é uma mariz q x n q saídas (oupus Solução: x( = A x o y( = C A x o qu niidamn é uma gnralização do sisma d 1ª ordm do Exmplo 5.
21 Solução d um sisma linar Exmplo 7 Sisma d 1ª ordm x = a x + b u, y = c x x( = x o ond: a, b c são consans, iso é, são marizs 1x1 Solução: 1 nrada (inpu 1 saída (oupu Também basan conhcida da rsolução d quaçõs difrnciais d 1ª ordm. x( = x o a + a( τ b u(τ dτ, x( = x o y( = c x o a + C a( τ b u(τ dτ
22 Solução d um sisma linar Exmplo 8 Sisma d ordm n x = A x + B u, y = C x x( = x o ond: A é uma mariz n x n B é uma mariz n x p C é uma mariz q x n p nradas (inpus q saídas (oupus Solução: x( = A x o + A( τ B u(τ dτ y( = C A x o + C A( τ B u(τ dτ qu niidamn é uma gnralização do sisma d 1ª ordm do Exmplo 7.
23 Solução d um sisma linar Exmplo 9 Sisma d ª ordm A B x = y = 1 1 [ 1 ] x + 1 u x( = x o = C D = u( = dgrau uniário
24 Solução d um sisma linar ( 1 cuja solução é dada por: A x o Logo, o sisma homogéno é dado por: ou sja, x 1 ( x ( x( = A x o = x( = A x o = x = x
25 Solução d um sisma linar x 1 ( x (
26 Solução d um sisma linar No qu, s =, x( = qu ra o valor sprado pois s ra o sado inicial x o. a saída, y = Cx, para o sisma homogéno, é dada por y( = C [ 1 ] x( + = +
27 Solução d um sisma linar τ τ + τ o A( o A d Bu( x Para o sisma não homogéno, iso é, com nrada u(: τ τ + + τ τ τ τ o ( ( ( ( d u( 1 ( 1 τ τ τ + + τ τ τ o ( ( ( d u( ( u( 1 τ τ τ τ + + τ τ τ o ( ( o ( d u( ( d u( 1 τ τ + + τ τ τ o ( ( o ( d ( d 1 u( = dgrau uniário i.., u( = 1 x( = = = = =
28 Solução d um sisma linar ou sja, x 1 ( x ( No qu, novamn, s =, qu ra o valor sprado pois s ra o sado inicial x o. x( = = x( =
29 Solução d um sisma linar x 1 ( x (
30 Solução d um sisma linar a saída, y = C x x( y( = = [ 1 ] 1 C
31 Obrigado! Flipp d Souza flipp@ubi.p
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