Funções de Várias Variáveis (FVV) UFABC, 2019-Q1

Transcrição

1 Funçõs d Várias Variávis (FVV UFABC, 209-Q Pr Hazard 4 Drivadas Toal, Dircional Parcial 4. Drivadas a rspio d um vor. Dfinição 4.. Sja A R n um abro, sja f: A R, P A v R n. Digamos qu f é drivávl (ou difrnciávl no pono P a rspio do vor v s o limi f(p +v f(p lim 0 xis. S xis, scrvmos Df(P(v para o limi acima. Digamos qu f é drivávl m A a rspio do vor v s Df(P(v xis para odos os ponos P A. Noação 4.2. Ouras noaçõs para Df(P(v inclum f (P;v, v f(p D v f(p. Exmplo 4.. Sja f P como acima. Sja v (0,0,...,0 o vor zro. Enão, Enão Df(P(v 0 para v o vor zro. // f(p +v f(p f(p f(p 0 lim lim lim ( Exmplo 4.2. Sja f P como acima. Sja v R n, qualqur vor, c R, sja u cv. Enão, f(p +u f(p f(p +cv f(p f(p +cv f(p f(p +cv f(p lim lim limc c lim c c 0 c (2 Df(P(cv c Df(P(v. // Dfinição 4.3. Uma função g: R n R qu saisfaz g(cv c g(v é chamada homogêno d grau um. O xmplo acima mosra qu s a drivada d f m P a rspio do v xis v R n, não Df(P(v é homogêno d grau um na variávl v. Exmplo 4.3. Sja α,α 2,...,α n R sja f: R n R ; (x,x 2,...,x n Sja P (P,P 2,...,P n R n v (v,v 2,...,v n R n. Enão f(p +v α k (P k +v k α k v k + f(p +v f(p lim 0 Porano, Df(P(v f(v, v R n, P R n. // α k x k. (3 α k v k f(p+f(v (4 f(v lim f(v. (5 0

2 Dfinição 4.4. Uma função f: R n R m é uma ransformação linar s l saisfaz (i f(u+v f(u+f(v, u,v R n, (ii f(λu λ f(u, λ R, u,v R n. Obsrvação 4.5. No caso quando m, ou sja f: R n R, é possívl mosrar qu f é linar s somn s f m a forma f(v,v 2,...,v n n α kv k, para alguns α,α 2,...,α n R. Enão, Exmplo 4.3 mosra qu ransformaçõs linars com co-dominio R, são drivávis m qualqur pono P a rspio do qualqur vor v R n. Exmplo 4.4. Sja sja P (P,P 2 R 2, v (,0 R 2. Enão f: R 2 R ; (x,y (6 f(p +v f(p f(p +,P 2 f(p,p 2 [(P + 2 +P2 2] [P2 +P2 2 ] (7 [P2 +2P + 2 +P2 2] [P2 +P2 2 ] (8 2P + 2 (9 2P + (0 porano Df(P(,0 2P. // f(p +v f(p lim lim(2p + 2P ( 0 0 Proposição 4.6. Sja A R n um abro, sja g,f: A R n R, P A v R n. S f g são drivávis no pono P a rspio do v não ( D(f +g(p(v Df(P(v+Dg(P(v (2 Df(λf(P(v λ Df(P(v, λ R. Dmonsração. Enão ( Sja 0. Enão, (f +g(p +v (f +g(p f(p +v f(p+g(p +v g(p f(p +v f(p g(p +v g(p + (f +g(p +v (f +g(p +v D(f +g(p(v lim (4 0 [ ] f(p +v f(p +v g(p +v g(p lim + (5 0 f(p +v f(p +v g(p +v g(p lim +lim 0 0 (6 Df(P(v+Dg(P(v (7 (2 (3 2

3 (2 Sja 0. Enão, para qualqur λ R, (λf(p +v (λf(v λ f(p +v f(p [ ] (λf(p +v (λf(p f(p +v f(p D(λf(P(v lim lim λ 0 0 (9 f(p +v f(p λ lim 0 (20 λdf(p(v (2 (8 Exmplo 4.5. Sja f: R 2 R ; (x,y g: R 2 R ; (x,y 5x+4y (22 sja P (P,P 2 R v (,0. Plo Exmplo 4.4, Df(P(,0 2P, plo Exmplo 4.3, Dg(P(,0 g(, Enão, Proposição 4.6 D(2f +g(p(,0 2Df(P(,0+Dg(P(,0 2 2P +5 ( Drivadas dircionais parciais. Dfinição 4.7. Sja f, P v como na dfinição 4.. (i S v, Df(P(v é chamada a drivada dircional d f no pono P no snido v (ii S v k, o k-sima vor coordnada, Df(P(v é chamada a k-sima drivada parcial d f no pono P, ou a drivada parcial d f, a rspio da variávl x k, no pono P, scrvmos (P. Noação 4.8. Ouras noaçõs para (P inclum xk f(p, D k f(p f xk (P. Em R 2 ambém scrvmos x (P y (P m R3 scrvmos x (P, y (P z (P. Exmplo 4.6 (Exmplo 4.4 d novo. Sja f P como m Exmplo 4.4. Sabmos qu Similarmn Porano f(p + 2 f(p x (P Df(P( 2P. (24 [P2 +(P ] [P 2 +P2 2 ]2 2P P + (25 y (P Df(P( f(p + 2 f(p 2 lim lim[2p 2 +] 2P 2 ( Enão, x f(p 2P y f(p 2P 2. // Em gral, para calcular drivadas parciais mos a: 3

4 Rgra para drminar a drivada parcial d f(x,x 2,...,x n : Para achar (P, olh x,x 2,...,x k,x k+,...,x n, como consans difrnci f com rlação a x k. Obsrvação 4.9. Obsrva-s qu ssa rgra, para calcular podmos uilizar odas as frramnas do cálculo m dimnsão (rgra d cadia, rgra d produo, rgra d quocin, orma d valor médio, c.. Noação 4.0. Em dimnsão um, s mos f: A R R, x A, scrvmos f( x para f avaliada no pono x. Exmplo 4.7. Sja Enão, f: R 2 R ; (x,y 3x 5 +2x 4 y (27 x (P,P 2 x (3x5 3 x (x5 (x,y(p,p 2 (x,y(p,p 2 + x (2x4 y +2y x (x4 (x,y(p,p 2 (x,y(p,p 2 (28 (29 3 (5x 4 (x,y(p,p 2 +2y (4x 3 (x,y(p,p 2 (30 5P 4 +8P 2P 3 (3 y (P,P 2 y (3x5 + (x,y(p,p 2 y (2x4 y (x,y(p,p 2 3x 5 y ( +2x (x,y(p 4,P 2 y (y (x,y(p,p 2 (32 (33 Exmplo 4.8. S z z(x, y é drminada impliciamn plo drmin z x z y impliciamn. Solução: Drivamos impliciamn m rlação a x: (3x 5 (0 (x,y(p,p 2 +(2x 4 ( (x,y(p,p 2 (34 2P 4 (35 x 3 +y 3 +z 3 +6xyz (36 Enão, 3x z 2 z +6yz +6xy z x x 0 (37 z x (3x2 +6xy 3x 2 6yz (38 z x +6yz 3x2 3z 2 +6xy (39 4

5 Agora drivamos impliciamn m rlação a y: Enão 0+3y 2 +3z 2 z +6xz +6xy z y y 0 (40 z y (3z2 +6xy 3y 2 6xz (4 z y +6xz 3y2 3z 2 +6xy Lmbr-s, qu m dimnsão um, dada uma função, a xisência da drivada dssa fucção num pono a função é conínua no msmo pono. Isso não aconc m dimnsõs maiors. Exmplo 4.9 (Exisência das drivadas a rspio do v, para odo v, não implica coninuidad. Sja (42 f: R 2 R ; (x,y { xy 2 x 2 +y 4 x 0 0 x 0 (43 Enão Df(0,0(v xis v (v,v 2 R 2 mas f não é conínuo m (0,0. Prova: S v 0, para 0, f((0,0+v f(0,0 (v (v 2 2 (v 2 +(v 2 4 v v 2 2 v 2 +2 v 2 2 (44 S v 0, para 0, f((0,0+v f(0,0 v v2 2 Df(0,0(v lim lim 0 0 v 2 +2 v2 4 f((0,0+v f(0,0 v2 2 v (45 (0 0 0 (46 f((0,0+v f(0,0 Df(0,0(v lim 0 (47 0 Porano, Df(0,0(v xis, v R 2. Mas f(0, 0, 0, f( 2, (2 2 4 ( , lim (x,y (0,0 x0 f(x,y 0 (48 lim f(x,y (x,y (0,0 2 xy 2 (49 Plo Torma 3.8, lim (x,y (0,0 f(x,y não xis, porano f não é conínuo m (0,0. // 5

6 4.3 Drivadas d Maior Ordm. Sja A R n um abro. S f: A R m a drivada parcial uma função : A R ; S, para a função, a j-sima drivada parcial ao pono Q A xis, não x j ( (P dfinido P A, não l dfin P (P. (50 (Q (5 é chamada a drivada parcial da sgunda ordm d f ao pono Q a rspio das variávis x j x k. Escrvmos x j (Q. (52 Induivamn, s r f r 2 : A R é dfinido, no pono Q A a drivada parcial x j ( r f x r x 2 x (Q (53 xis, chama-s a drivada parcial d r-sima ordm d f ao pono Q a rspio das variavis x r,...,x 2,x. Escrvmos r f r 2 (Q. (54 Noação 4.. Ouas noaçõs para r f r x inclum r x r x 2 x f ou D xr x 2 x f. Obsrvação 4.2. O ordm d drivação (ou difrnciação é imporan(!. Não mos, ncssariamn qu 2 f x j 2 f x j. Exmplo 4.0 (Exmplo 4.4 d novo. Sja f como no Exmplo 4.4, i.., f(x,y x 2 + y 2. Plo Exmplo 4.6 sabmos qu x (P,P 2 2P y (P,P 2 2P 2 (55 Enão x x (P,P 2 ( x x (x,y(p,p 2 x (2x (x,y(p,p 2 2 (56 y x (P,P 2 ( y x (x,y(p,p 2 x y (P,P 2 ( x y (x,y(p,p 2 y y (P,P 2 y y (2x (x,y(p,p 2 0 (57 y (2y (x,y(p,p 2 0 (58 ( y (x,y(p,p 2 y (2y (x,y(p,p 2 2 (59 6

7 Exrcício: Para mosr qu x 2(x,y 0, f: R 2 R ; (x,y 2xy (60 (x,y 2y, x y x (x,y 2 2 f x y (x,y, (x,y 2x (6 y y2(x,y 0 (62 No Exmplo Exrcício acima, mos qu 2 f x y 2 f y x. Inflizmn, não é smpr qu aconc. Exmplo 4. ( 2 f x y 2 f y x. Sja f: R 2 R ; (x,y xy x2 y 2 (x,y (0,0 0 (x,y (0,0 (63 Enão x y 2 f y x. (64 Prova: Para faciliar a noação, vamos uilisar x no lugar d x, c. x f(0,0: x f(0,0 lim [f(0+h,0 f(0,0] lim [h 0 h2 0 2 ] h 0 h h 0 h h (65 x f(p,p 2 para (P,P 2 (0,0: Aplicando a dfinição 63 dpois a rgra do produo m dimnsão um, mos [ x f(p,p 2 x xy x2 y 2 ] [ x (xy x2 y 2 ( x 2 +xy y 2 ] x (66 (x,y(p,p 2 (x,y(p,p 2 Mas x (xy y pla rgra do quocin m dimnsão um ( x 2 y 2 x x(x 2 y 2 ( (x 2 y 2 x ( ( 2 (67 Enão (2x(x2 +y 2 (x 2 y 2 (2x ( 2 (68 4xy 2 ( 2 (69 x f(p,p 2 [y x2 y 2 +xy 4xy 2 ] ( 2 [ y(x 2 y 2 ( +4x 2 y 3 ] ( 2 [ y(x 4 +4x 2 y 2 y 4 ] ( 2 (x,y(p,p 2 (x,y(p,p 2 (x,y(p,p 2 (70 (7 (72 7

8 y f(0,0: yx f(0,0 lim k 0 k [ xf(0,0+k x f(0,0] lim k 0 k [ k( k 2 k 4 ] (k (73 y f(0,0 lim [f(0,0+k f(0,0] lim [0 h 02 h 2 ] k 0 k k 0 k 0 2 +h (74 y f(p,p 2 para (P,P 2 (0,0: y f(p,p 2 [ y (xy x2 y 2 ( x 2 +xy y 2 ] y (x,y(p,p 2 Mas y (xy x pla rgra da quocin ( x 2 y 2 y y(x 2 y 2 ( (x 2 y 2 y ( ( 2 (76 (75 ( 2y(x2 +y 2 (x 2 y 2 (2y ( 2 (77 4x2 y ( 2 (78 Enão y f(p,p 2 [x x2 y 2 ] +xy 4x2 y ( 2 [ x(x 2 y 2 ( 4x 3 y 2 ] ( 2 [ x(x 4 4x 2 y 2 y 4 ] ( 2 (x,y(p,p 2 (x,y(p,p 2 (x,y(p,p 2 (79 (80 (8 xy f(0,0 lim h 0 h [ yf(0+h,0 y f(0,0] lim h 0 h [ h(h 4 4h ] (h (82 Porano xy f(0,0 yx f(0,0 (83 Torma 4.3 (Torma d Clairau-Schwarz. Sja A R n um abro, f: A R al qu x j,, x j x j (84 xis m A, para alguns j,k {,2,...,n}. Sja P A, um pono ond Enão Dmonsração. Dfrido x j x j são coninuas. (P 2 f (P (85 x j x j 8

9 4.4 Drivada oal. Em dimnsão um, difrnciabilidad num pono implica coninuidad nss pono. O Exmplo 4.9 mosra qu a xisência das drivadas d f a rspio do v, para udos vors v, não é sufficin para implicar coninuidad. Porém, m uma oura noção d drivabilidad (ou difrnciabilidad qu implica coninuidad. Lmbr m dimnsão um: Sja f: A R R drivávl m P A. Enão f (P lim h 0 f(p +h f(p h. (86 Sja E(P;h { f(p+h f(p h f (P h 0 0 h 0 (87 Obsrva-s qu E(P;h m a forma F(h G(h, ond G(h 0 s somn s h 0. Enão, E(P;h é conínuo m h, para qualqur h 0. Além disso, [ ] f(p +h f(p lim E(P,h lim lim f (P f (P f (P 0 (88 h 0 h 0 h h 0 Enão E(P;h é conínuo m h 0 ambém. Tmos f(p +h f(p+f (Ph+h E(P;h h R. (89 Essa xprssão é chamada a aproximação d Taylor do primira ordm (ou primiro grau. A aproximação linar d f no pono P é a função o rro nr f(p +h a aproximação linar f(p+f (P h é (As vzs, a função E(P;h é chamada o rro. h f(p+f (P h (90 f(p +h [f(p+f (P h] h E(P;h. (9 Dfinição 4.4. Sja A R n um abro, sja f: A R, P A r > 0 al qu B(P,r A. Digamos qu f é drivávl (ou oalmn drivávl no pono P s xis uma ransformação linar L P : R n R, uma função E(P; : B(0,r R al qu, v B(0,r, f(p +v f(p+l P (v+ v E(P,h (92 lim E(P;v 0 (93 v 0 L P é chamada a drivada oal d f no pono P. A função v f(p+l P (v é chamada d aproximação linar d f no pono P. Exmplo 4.2 (Exmplo 4.4 d novo. Sja f como no Exmplo 4.4, ou sja, f(x,y. Mosra qu f é drivávl m P, P (P,P 2 R 2. Calcula a aproximação linar d f a P (2,3. Us-a para calcular aproximadamn f(2.02,

10 Prova: Como (x+h 2 x 2 +2xh+h 2 (94 (y +k 2 y 2 +2yk +k 2 (95 mos qu f(p +h,p 2 +k P 2 +2P h+h 2 +P P 2 k +k 2 f(p,p 2 +(2P h+2p 2 k+(h 2 +k 2 (96 Obsrvamos qu (h,k 2P h+2p 2 k é linar, não é um candidao para a drivada oal d f no pono P. S l é, não E(P,v, v (h,k, é dfinido por v E(p;v (h,k E(P;(h,k h 2 +k 2 (97 Mas (h,k h 2 +k 2 E(P;v h 2 +k 2 v. Porano lim v 0 E(P;v lim v 0 v 0. Enão, L P E(P; saisfaz as condiçõs d dfinição da drivada oal. Porano L P é a drivada oal d f no pono P. A aproximação linar d f a P (2,3 é dada por (h,k f(p+l P (h,k h+2 3 k 3+4h+6k (98 No caso (h, k (0.02, 0.0 mos // f(2.02,2.99 f( , f(2,3+l 2,3 (0.02, (99 Exrcício: Mosrar qu L: R n R, L é drivávl m qualqur pono calcular a drivada oal m qualqur pono. Torma 4.5. Sja A R n um abro, sja f: A R P A al qu f é drivávl no pono P, com drivada oal L P : R n R. Enão ( v R n, a drivada a rspio do v, v f(p, xis L P (v v f(p (2 v R n, v f(p é uma combinação linar dos componns d v: Dmonsração. v f(p xk f(pv k para v (v,v 2,...,v n (00 ( S v é o vor zro, não ( é rivial (os dois lados são zro. Suponhamos qu v não é zro. Sja r > 0 al qu B(P,r A. Enão, f drivávl no pono P f(p +v f(p+l P (v+ v E(P;v v B(P,r (0 lim E(P;v 0 (02 v 0 0

11 Sja v u, ond 0 u saisfaz u. Obsrva-s qu u < r. Enão, pla linaridad d L P, qu f(p +u f(p+l P (u+ u E(P;u (03 f(p +u f(p Mas u ± lim 0E(P;u 0 f(p+l P (u+ u E(P;u (04 L P (u+ u E(P;u (05 f(p +u f(p v f(p lim L P (u (06 0 Porano v f(u L P (u, v R n qu saisfaz u. Porém, Exmplo 4.2 mosrou qu drivadas parciais são homogênos d grau um, L P é homogêno d grau um pla dfinição da linaridad, não v f(p u f(p u f(p L P (u L P (u L P (v. (07 (2 S v (v,v 2,...,v n não v n v k k ond k é a k-sima vor coordnada. Enão, pla linaridad d L P ( acima v f(p L P (v L P ( v k k v k L P ( k v k k f(p v k xk f(p (08 Dfinição 4.6. S a drivada oal xis v f(p v k xk f(p v, f(p (09 ond f(p ( x f(p, x2 f(p,..., xn f(p (0 O vor f(p é chamado d vor gradin d f m P. Nssa noação, a aproximação d Taylor do primira ordm é f(p +v f(p+ v, f(p + v E(P;v ( Torma 4.7. Sja A R n um abro, sja f: A R n R P A. S f é drivávl m P, não f é conínuo m P. Dmonsração. f drivávl m P f(p +v f(p f(p,v + v E(P;v (2 Aplicando, no lado dirio, a dsigualdad d Triangulo, sguida pla dsigualdad d Cauchy-Schwarz, mos qu f(p +v f(p f(p,v + v E(P;v (3 f(p v + v E(P;v (4

12 Mas f(p E(P;v é limiada como v 0. Enão, para alguma consan C > 0, lim f(p +v f(p lim C v 0 (5 v 0 v 0 qu lim Q P f(q f(p, ou sja, f é conínuo no pono P. Torma 4.8. Sja A R n um abro, sja f: A R P A, al qu as drivadas parciais x f, x2 f,..., xn f ( xis numa vizinhança B(P,r d P m A, (2 são coninuas no pono P. Enão f é drivávl m P. Dmonsração. Dfrido. Dfinição 4.9. Sja r N. Sja A R n um abro sja f: A R n R P A. S (i xis uma vizinhança d P m A, m qu j 0,,...,r, k,k 2,...,k j {,2,...,n}, a drivada parcial j f 2 j xis, (ii j 0,,...,r, k,k 2,...,k r {,2,...,n}, a driivada parcial é conínuo no pono P, j f 2 j não digamos qu f é d class C r no pono P. S f é d class C r para odos os ponos P A, digamos qu f é d class C r m A. Obsrvação Para r ambém digamos qu f é coninuamn drivávl no pono P. Obsrvação 4.2. (i f é C no pono P D P f xis (Torma 4.8 (ii f é C 2 no pono P 2 f x y (P 2 f (P (Torma d Clairau-Schwarz x y Exmplo 4.3. Sja ( f: R 2 (x R ; (x,y 2 +y 2 sn x 2 +y 2 (x,y (0,0 0 (x,y (0,0 (6 Mosra qu f é drivávl, mas não é C, no pono (0,0. Prova: Primiro, vamos mosrar qu f ão é C no pono (0,0. Vamos mosrar qu x f y f xis numa vizinhança d (0,0, mas x f não é coninuo lá. x f(0,0: f(0+h,0 f(0,0 [h 2 sn h ] h h 2 0 hsn h 2 (7 2

13 mas, como sn(x, x R, 0 hsn h 2 h 0 como h 0. (8 Porano ou sja, x f(0,0 0. y f(0,0: f(0+h,0 f(0,0 h f(0,0+k f(0,0 k não, plo msmo argumno como acima, y f(0,0 0. x f(p para P (0,0: Pla rgra d produo m dimnsão um, ( ] x f(p x [( sn P [ ( x ( sn Pla rgra d cadia m dimnsão um, [ ( x f(p (2x sn [ ( ( (2x sn 0 como h 0. (9 [k 2 sn k ] k 2 0 ksn k 2 (20 +( x sn ( +( cos cos ( ] P ] ( 2 (2x ] ( Enão x f xis numa vizinhança d (0,0. Nós vamos mosrar qu xis uma sqüncia dos ponos P n R 2, lim n P n (0,0, al qu lim n f(p n não xis, ou sja é infinio. Ess mosrará qu f não é coninuo no pono (0,0. Sja P n ( 4nπ, 4nπ, para n N. Obsrva-s qu lim P n (0,0 n P P (2 (22 (23 (24 2nπ. (25 P n 2 Enão, x f(p n 2 (sn 4nπ P n 2 P n 2 cos P n 2 (sn(2nπ (2nπcos(2nπ 2 nπ nπ (26 como sn(2nπ 0 cos(2nπ, n Z. Porano lim n x f(p n x f não é conínuo m (0,0. Drivada oal: S a drivada oal xis, Torma 4.5, v (h,k R 2, l é dada por D (0,0 f(v f(0,0,v x f(0,0h+ y f(0,0k 0 (27 porqu x f(0,0 0 y f(0,0. Nós prcisamos mosrar qu o rro E(0,0,(h,k na aproximação d Taylor do primiro ordm saisfaz lim (h,k (0,0 E((0,0,(h,k 0. Mas, para v (h,k R 2, (h,k (0,0, ( v E((0,0,v f((0,0+v f(0,0 f(0,0,v f(v v 2 sn v 2 (28 3

14 Mas ( E((0,0,v v sn v 2. (29 ( E(0,0,v v sn v 2 v (30 lim v (0,0 E((0,0,v 0. Porano, xis (i D (0,0 f linar (la é zro (ii um rro E((0,0,v; qu saisfaz a fórmula d approximação d Taylor da primira ordm para f no pono (0,0, lim v (0,0 E((0,0,v 0. Ou sja, f é drivávl no pono (0,0. // 4

15 4.5 Exrcícios ( Sja f: R n R um polinômio m n variávis. Mosra qu f é d class C r m R n, r N 0. (Dica: Mosra qu (a f é d class C ; (b x f, x2 f,..., xn f são polinômios R n R. (2 Sja A R n um abro, sja f,g: A R P A. Mosra qu (a α,β R, (αf +βg(p α f(p+β g(p, (b (fg(p f(p g(p+f(p g(p, (c Sf g é conínuo mp g(p 0, não ( f (P f(p g(p f(p g(p g g(p 2. BOA SORTE!! 5