Funções reais de n variáveis reais

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1 Apoio às aulas MAT II 8--6 INSTITUTO SUPERIOR DE CONTABILIDADE E ADMINISTRAÇÃO DE LISBOA LICENCIATURA EM GESTÃO MATEMÁTICA II APOIO ÀS AULAS DE FUNÇÕES REAIS DE MAIS DE UMA VARIÁVEL REAL 5/6 Manul Marins Carla Marino Ana Jorg Funçõs rais d n variávis rais Cama-s unção ral d variávis rais a oda a aplicação d um conjuno R R. Ao conjuno cama-s domínio da unção. Sjam R. As variávis são as variávis indpndns é a variávl dpndn. Ao conjuno R: cama-s conradomínio d. Cama-s gráico d ao subconjuno dr : : 8--6 CI/ FR 5/6

2 Apoio às aulas MAT II 8--6 Funçõs rais d n variávis rais Noas: - S a unção or dinida por uma prssão analíica o su domínio é o conjuno d ponos ond a prssão analíica sará dinida. - o gráico d é uma curva d R. S o gráico d é uma supríci dr. Por simpliicação odo o capíulo rá por bas unçõs d variávis podndo acilmn sr gnralizado para as n variávis CI/ FR Domínio Emplo - Drmin o domínio da unção D D ln ( ) {( ) IR :( ) ( > ) ( ) } {( ) IR :( ) ( < ) ( ) } A primira quação rprsna o rior d uma circunrência d raio ; a sgunda quação rprsna o inrior d uma circunrência d raio ; a rcira quação rprsna a bissriz dos quadrans impars CI/ FR 5/6

3 Apoio às aulas MAT II 8--6 Domínio Emplo - Rprsnação gomérica: É considrada válida a ára marcada a amarlo a circunrência inrior cada com a cção dos ponos da bissriz CI/5FR5 Domínio Emplo - Drmin o domínio rprsn-o gomricamn da D D sguin unção ( ) ln {( ) IR :( > ) ( ) } {( ) IR :( ) ( ) } {( ) IR :( ) ( [ ;])} Rprsnação gomérica: 8--6 CI/6 FR6 5/6

4 Apoio às aulas MAT II 8--6 Domínio Emplo - Drmin o domínio rprsn-o gomricamn da unção ( ) ln D D ( ) IR : > ( ) {( ) IR :[(( ) ( > ) ) ( ( ) ( < ) )] ( < ) } Rprsnação gomérica: 8--6 CI/7 FR7 Limi coninuidad Diz-s qu L é o limi da unção quando nd para rprsna-s por quando L Lim ( ) ( ab) ( ) δ > ε > : D ( ) ( ab ) < ε ( ) L < δ NOTA: Em R as vizinanças d um pono são círculos dinidos no plano sndo as disâncias mdidas pla órmula uclidiana (co s ouvr indicação prssa m conrário) rprsnam-s da orma aprsnada CI/8 FR8 5/6

5 Apoio às aulas MAT II 8--6 Limi coninuidad As propridads opraórias dos limis o orma da unicidad concidos para unçõs rais d uma variávl ral são igualmn válidos para unçõs dnvariávis indpndns. Diz-s qu uma unção é conínua no pono s. sá dinida no pono com. m limi no pono ss limi é igual a é ó lim ( ) ( ) ( ) 8--6 CI/9 FR9 Drivadas parciais Dada a unção d duas variávis indpndns é possívl drivar m unção d cada uma dlas. Dsigna-s por drivada parcial m ordm a da unção num pono rprsna-s por ( ) Como sndo ( ab) Lim ( b) ( ab) ( a b) ( ab) a Lim a Dsigna-s por drivada parcial m ordm a da unção num pono rprsna-s por ( ) Como sndo ( ab) Lim ( a ) ( ab) ( ab ) ( ab) b Lim a 8--6 CI/ FR 5/6 5

6 Apoio às aulas MAT II 8--6 Drivadas parciais Camam-s drivadas parciais da unção às unçõs ( ) ( ) qu êm por domínio o conjuno dos ponos ond ( ) m as rspivas drivadas parciais inias m cada pono domínio oma os valors ( ) ( ). dss Emplo - Drmin usando a dinição as drivadas parciais da unção dinida por no pono () ( ) ( ) Lim Lim ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 6 ( )( ) Lim Lim 7 Lim ( ) CI/ FR Emplo Coninuação ( ) Lim Drivadas parciais ( ) ( ) ( ) ( ) Lim Lim ( ) Lim 7 Lim 7 Lim NOTA: As rgras d drivação manêm-s vrdadiras. ( ) Torma: S uma unção m drivadas parciais conínuas num pono la é conínua nss pono 8--6 CI/ FR 5/6 6

7 Apoio às aulas MAT II 8--6 Drivadas parciais Emplo - Drmin a drivada parcial m ordm a da unção Usando a dinição: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Lim Lim Lim ( ) Lim Lim Lim 8--6 CI/ FR Drivadas parciais Usando as rgras d drivação (m ordm a sa compora-s como variávl como uma qualqur consan): ( ) ( ) ( ) ( ) 8--6 CI/ FR 5/6 7

8 Apoio às aulas MAT II / CI/5 FR5 CI/5 Drivadas parciais Emplo - Drmin as drivadas parciais da unção ln Usando as rgras d drivação m ordm a sa compora-s como variávl como uma qualqur consan: ln 8--6 CI/6 FR6 CI/6 Drivadas parciais Coninuação do Ercício - Em ordm a sa compora-s como variávl como uma qualqur consan: ln

9 Apoio às aulas MAT II / CI/7 FR7 CI/7 Drivada da Função composa Considr-s a unção sjam Ψ. Num ponoa sjam Ψ. Enão a drivada da unção m ordm a num pono é dada por a a a Considr-s a unção sjam Ψ. Num pono sjam Ψ. Enão as drivadas parciais da unção m ordm a num pono são dadas por ab ab ab ab r ab r ab r 8--6 CI/8 FR8 CI/8 Drivada da Função composa Emplo - Sja sjam. Calcul. ; ; ; ;

10 Apoio às aulas MAT II 8--6 Drivada da Função composa Emplo - Sja sjam ln. w Calcul. ( ) ; ( ) w w ( w) ; ( w) ; ( w) ; ( w) ( w) ( ) ( w) ( ) ( w) ( ) w w w w ; w w w w w w ( ln w) ( ln w) 8--6 CI/9 FR9 w w w w ( w) ( ) ( w) ( ) ( w) w w ( ) w w w ( ln w) 6 w ; 6 Função Implícia Dada a quação do ipo Φ ond a cada par d valors d do domínio da quação corrspond um um só valor d z diz-s qu a quação din d orma implícia a unção. Torma da Função Implícia Sja R R um abro : R uma unção al qu:.. (a unção rspivas drivadas d ª ordm são coninuas).. Enão din impliciamn a variávl como unção das variávis numa vizinança do pono ( ). ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8--6 CI/ FR 5/6

11 Apoio às aulas MAT II 8--6 Função Implícia Emplo Considr a unção ln. Mosr qu a quação φ din impliciamn como unção das variávis numa vizinança do pono () calcul para ss pono. º Passo: Vriicar qu o pono P prnc à curvaφ ϕ ( ) ln º Passo A unção assim como as suas ª drivadas são coninuas (unção polinomial unção logarímica) logo a unção é d class. ϕ ϕ z º Passo: ( ) (?) z ϕ z z ( ) ( ) Enão a unção din impliciamn como unção das variávis numa vizinança do pono () 8--6 CI/ FR Enão: z ( ) ( ) ϕ ϕ ϕ z ϕ ( ) ( ) ( ) ( ) Função Implícia z z z z z ( ) ( ) 8--6 CI/ FR 5/6

12 Apoio às aulas MAT II 8--6 Função Homogéna Uma unção ( ) diz-s omogéna d grau s só s R R ( ) Emplo - Mosr qu a unção é omogéna dscubra o su grau d omognidad. ( ) ( ) ( ) Logo a unção é omogéna d grau CI/ FR Função Homogéna Emplo Rlaivamn à unção do mplo vriiqu a sguin igualdad (d Eulr) Ond é uma unção omogéna d grau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 8--6 CI/ FR 5/6

13 Apoio às aulas MAT II 8--6 Drivadas Parciais d Ordm Suprior à ª Dada a unção s isirm num pono s sas admiirm drivada m ordm rspivamn a a num pono a ssa drivada cama-s drivada d sgunda ordm d m ordma oua rspivamn. Rprsnam-s por S admiir drivada m ordm a num pono D a ssa drivada cama-s drivada d sgunda ordm d m ordm a a. D igual modo s din a drivada d sgunda ordm d a m ordm a. Esas úlimas drivadas camam-s drivadas cruzadas CI/5 FR5 Drivadas Parciais d Ordm Suprior à ª Assim rprsnadas por: as drivadas parciais d ª ordm da unção são ( ) O dsnvolvimno anrior mosra qu o númro d drivadas parciais crsc ponncialmn m unção da ordm ou sja: Drivadas parciais d ª ordm ; }... Drivadas parciais d ª ordm ; Drivadas parciais d ª ordm 8 ; c CI/6 FR6 5/6

14 Apoio às aulas MAT II 8--6 Drivadas Parciais d Ordm Suprior à ª Emplo - Drmin as drivadas parciais d ª ordm da unção ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 8--6 CI/7 FR7 Drivadas Parciais d Ordm Suprior à ª Torma d Scwarz Sja D R R um pono inrior a D. S as parciais drivadas são dinidas numa vizinança do pono s é conínua m não ambém sá dinida m ab ( ) 8--6 CI/8 FR8 5/6

15 Apoio às aulas MAT II 8--6 Drivadas Parciais d Ordm Suprior à ª Dada a unção dsigna-s por Mariz Hssiana a mariz H ( ) ( ) Viso raar-s d uma mariz quadrada é possívl alar no su drminan dsignado por Hssiano. Torma S a unção vriica o orma d Scwarz a mariz Hssiana é uma mariz simérica CI/9 FR9 Ermos rlaivos Sja : R R um pono inrior a. i) diz-s um máimo rlaivo d s isir uma vizinança d ab al qu. i) diz-s um máimo absoluo d s iii) diz-s um mínimo rlaivo d s isir uma vizinança d al qu. iv) diz-s um mínimo absoluo d s 8--6 CI/ FR 5/6 5

16 Apoio às aulas MAT II 8--6 Ermos rlaivos Sjam R R ( ). S diz-s qu é um pono criico ou um pono d sacionaridad d. Torma Sja R R suponamos qu m um rmo rlaivo no pono prncn ao inrior d qu odas as drivadas parciais d ism no pono ( ). Enão é um pono críico d CI/ FR Torma Ermos rlaivos Dada a unção sja pono críico da unção sja H mariz Hssiana associada. Enão: i. S < > não ( ) é um máimo rlaivo ii. d. S > > não é um mínimo rlaivo d. iii. S < não é um pono d sla d. iv. S nada s pod concluir sobr o pono CI/ FR 5/6 6

17 Apoio às aulas MAT II / CI/ FR Ermos rlaivos CI/ Emplo - Drmin classiiqu os rmos rlaivos da unção dinida por. Ponos críicos: CI/ FR Ermos rlaivos CI/ Emplo Coninuação Os ponos () (9) são ponos críicos da unção; Pono O pono é um pono d sla. Pono (9) Logo 9 5 é um máimo da unção. 9 6 < H < > H

18 Apoio às aulas MAT II / CI/5 FR5 Ermos rlaivos CI/5 Emplo - Sja a unção dinida por. Vriiqu qu a unção m rmos rlaivos classiiqu-os. Ponos críicos: 8--6 CI/6 FR6 Ermos rlaivos CI/6 Emplo Coninuação - Os ponos ( ) ( ) () são ponos críicos da unção. Pono ( ) Logo é um máimo rlaivo da unção. Pono ( ): Enão é um máimo rlaivo da unção. 96 < > H 96 < > H

19 Apoio às aulas MAT II / CI/7 FR7 Ermos rlaivos CI/7 Emplo Coninuação Pono (): Esudo diro - Euando o sudo por aproimação do pono ao longo das ras : : Os limis dircionais êm sinais conrários logo ism valors maiors mnors qu a unção m orno do pono (); Assim () é um pono d sla da unção. H 8--6 CI/8 FR8 Ermos rlaivos CI/8 Emplo - Sja a unção dinida pla sguin prssão. Vriiqu qu m rmos rlaivos classiiqu-os { } : IR D ) ( D

20 Apoio às aulas MAT II 8--6 Emplo Coninuação Ermos rlaivos Como não prnc ao domínio o pono () é o único pono críico da unção. H ( ) 6 ( ) > Logo 6 é um mínimo rlaivo da unção. 6 > 8--6 CI/9 FR9 Bibliograia. Ana Sá Bno Louro.. Cálculo Dirncial m R Uma inrodução. Dparamno d Mamáica. FCT/UNL.. Larson Hoslr Edwards. 6. Cálculo. Volum. Oiava Edição. McGraw- Hill CI/ FR 5/6