7. Aplicação do Principio do Máximo

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1 7. Aplicação do Principio do Máximo Ns capiulo vamos implmnar um algorimo qu uiliz a oria do Principio do Máximo para drminar o conjuno dos sados aingívis. Com o rsulados obidos vamos nar fazr um parallo com os rsulados obidos no capiulo anrior, principalmn com os rsulados obidos no pono 6.3 ond obmos um procsso simplificado para drminação do conjuno dos sados aingívis. Vamos ambém vrificar a imporância da função d swiching no procsso. 7.. Implmnação d função qu apliqu o Principio do Máximo S volarmos ao xmplo da nuvm d valors da figura 6.4 do capiulo anrior, grada por n = 0 = 04 possibilidads d conrolo, podmos mais uma vz nar nconrar apnas os valors qu dfinm a margm dssa nuvm, ou sja o conjuno dos sados aingívis grados por conrolos ópimos. Já vimos no pono 6.3 do capiulo anrior um modo d o fazr, no nano qurmos ns pono ds capiulo, dsnvolvr um algorimo ond s apliqu o Principio do Máximo, uilizando novamn como frramna o MALAB. O procsso vai consisir m sar para cada pono da nuvm d valors sgundo uma dircção dada por um angulo θ vrificar s ss valor s raa d um máximo/mínimo, s assim for ss valor corrspond a um sado do sismas grado por um conrolo ópimo, qu fica porano na margm da rfrida nuvm. Usando como valors para s o rsulado da função aing(nu,a,b,x0, vamos criar uma função pmax(qu drmina dsss valors, os qu corrspondm à aplicação do Principio do Máximo. Função pmax( funcion kx=pmax(mx for k=:360, c=[cos(k*(pi/80,sin(k*(pi/80]; valor=c(*mx(,+c(*mx(,; maximo=valor; i=; for j=:lngh(mx valor=c(*mx(j,+c(*mx(j,; nd nd if valor>maximo maximo=valor; i=j; kx(k,:=mx(i,:; - -

2 Enradas saídas da função: A função pmax(mx vai r como nrada os sguins parâmros:! mx - rsulado da função, mx=aing(nu,a,b,x0, O rsulado dsa função, ou sja kx=pmax(mx, vai sr:! kx mariz rsulado da função, rprsna os valors possívis para do sado x( corrspondns à aplicação do Principio do Máximo. Dscrição da função A função vai sr implmnada sguindo a dscrição do dada no inicio do pono 7., ou sja vamos sar cada valor do rsulado da função nx=aing(nu,a,b,x0,, sgundo a dircção d um angulo θ vrificar s s raa d um máximo/mínimo. Para al prcisamos d grar um vcor c=[sin(k*(pi/80,cos(k*(pi/80] m qu k é o valor do angulo qu varia dnro d um ciclo for d a 360 corrspondndo a variação 0 d do angulo θ. Inicializados o valor da variávl valor=c(*mx(,+c(*mx(, com o primiro valor da mariz d nrada mx, aribuímos a variávl maximo ss valor inicial maximo=valor;. A parir daqui mos qu sar cada valor da mariz d nrada mx para cada dircção acualizar a variávl maximo, ou sja para cada valor da variávl valor acualizada, s valor for mnor qu maximo não o maximo é acualizado com ss valor. Cada acualização da variávl valor é fia dnro dum ciclo for com a dimnsão da mariz d nrada mx já qu sa variávl vai r qu sr sada acualizada para cada um dos valors d nrada. Ns algorimo o criério uilizado foi, nconrar o máximo no nano funcionaria d igual modo s m vz do máximo uilizássmos como criério o mínimo. No final vamos r uma mariz kx com o rsulado prndido, ou sja uma mariz com os valors dos sados aingívis corrspondns a conrolos ópimos aplicados ao sisma.. s da função no MALAB. Esamos agora m condiçõs d sar sa função no MALAB, para al vamos considrar novamn o xmplo qu mos vindo a raar aproviar o rsulado obido pla função aing(uu,a,b,x0, para o caso m qu ínhamos n = 0 = 04 valors. Rpindo os passos vamos chgar ao rsulado:» nx=aing(uu,a,b,x0,; A parir daqui vamos aplicar a s rsulado o principio do máximo. - -

3 » kx=pmax(nx; Usando a função plo( obmos o conorno da ára ocupada plo conjuno dos sados aingívis corrspondn à aplicação do principio do máximo.» plo(kx(:,,kx(:,, g+» hold on» plo(kx(:,,kx(:, Figura 7. : Conorno da ára corrspondns à aplicação do Principio do Máximo. 7.. Comparação d rsulados S comparamos o rsulados do pono 6.3. do capiulo anrior pan na figura 6.5 com o rsulado obido ns capiulo pan na figura 7., vrificamos qu são idênicos ou sja a simplificação fia no pono 6.3. do capiulo anrior para nconrar os valors do conjuno dos sados aingívis, parido dos prssuposos já dscrios nss msmo pono, vão corrspondr aos valors ópimos nconrados pla aplicação do Principio do Máximo. Iso é xplicado plo faco d ao variar o angulo θ no procsso d maximização sgundo uma dircção, vai corrspondr uma variação do mpo d swiching na função d conrolo. As marizs n 0 n 0 uilizadas no xmplo dscrio no pono 6.3. do capiulo anrior, não são mais qu marizs qu simulam os vários mpos d comuação possívis d aplicar ao nosso sisma, s dividirmos a nosso função d conrolo num maior numro d mpos d comuação podmos obr um rsulado mais prciso para o conjuno dos sados aingívis

4 Figura 7. : Corrspondência nr o angulo θ o mpo d swiching Função d Swiching Na comparação d rsulados qu fizmos nr o rsulado da aplicação do principio do máximo dscrio ns capiulo a aplicação d um procsso simplificado para achar o conjuno dos sados aingívis dscrio no capiulo anrior, chgamos a conclusão qu chgávamos a rsulados idênicos. Jusificamos ss faco com a corrspondência qu xis nr o angulo θ o mpo d swiching. Ns pono vamos jusificar ssa corrspondência, ou sja vamos uilizando função d swiching para um problma concro, vrificar qu d faco xis ssa corrspondência. Para al vamos dsnvolvr a função d swiching parindo da sua dscrição fia no capiulo 3. A função d swiching m σ :[ 0,] R é dada por σ( = p ( B( A sraégia d conrolo u * é ópima para o problma s só s u * ( maximiza a função ( B( v m Ω( [ 0,] q.s. v p, n ond :[ 0,] R p! p é uma função absoluamn coninua saisfazndo ( = p( A( [ 0,] q.s. p ( = c. Assim sndo podmos dar oura forma à função d swiching. ( c A( σ = Φ(, B ou scrvndo d ouro modo σ( = c B - 4 -

5 O nosso objcivo agora é calcular * al qu σ( *;c = 0 * = * ( c ond c ( θ é ( θ ( θ sn * * c( θ = = cos ( θ θ [ 0, π] Ficamos assim com a quação qu nos vai dar a corrspondência nr o mpo d swicing o angulo θ rprsnado no vcor c ( θ. c ( A B = 0 ( 7. Rlmbrando um procsso qu usamos no capiulo 3 para o calculo d A A n = M k= k k Para simplificar para podrmos aplicar ao xmplo qu mos vindo a raar vamos apnas xmplificar para o caso d um sisma m R A = M + M subsiuindo m ( 7. ficamos com c ( ( ( M + M B = 0 ( ( B + B ( ( ( ( = = B B ( B ( ( = c M B = 0-5 -

6 ( = ln = ln B ( ( c M B ( ( ( B c M B ( 7. A quação ( 7. vai finalmn dar-nos um modo d calcular o mpo d swicing m função d c ( θ, ds modo já podmos sablcr a corrspondência prndida. Para rmos uma mlhor visibilidad sobr ssa corrspondência, vamos usar o xmplo d sisma qu mos vindo a raar ao longo ds rabalho. A = 0 B = 0 x 0 0 = 0 Para o nosso xmplo os valors d, d M M, já foram calculados no capiulo 5 são rspcivamn. = = = M = M = M = 0 M Usando o MALAB podmos calcular para cada valor do angulo θ o mpo corrspondn.» for k=:360, c=[cos(k*(pi/80;sin(k*(pi/80]; (k=(log((-((c'*m*b/(c'*m*b*xp(l-l/(l-l; nd O rsulado obido foi o sguin Para θ 89! > Para 90 θ! 0 " Para 3 θ 35! < 0 Para 36 θ 80! valor imaginario Para 8 θ 69! > Para 70 θ 30! 0 " Para 303 θ 35! < 0 Para 36 θ 360! valor imaginario - 6 -

7 Os valors válidos são os qu m como rsulado 0, por xmplo para um angulo θ = 00º vamos obr um mpo d swicing = 0, 8, qu pod sr rprsnado aproximadamn, fazndo uma amosragm do mpo m 0 pars iguais, por u = 0 0. [ ] Figura 7.3 : mpo d swiching. Para o xmplo dado, θ = 00º vamos obr um pono (valor do conjuno dos sados aingívis corrspondn a um conrolo ópimo com um mpo d swicing = 0, 8. A figura 7.4 ilusra o xmplo rfrido. Figura 7.4 : Rprsnação gráfica d um pono do conjuno dos sados aingívis