MESTRADO EM MACROECONOMIA e FINANÇAS Disciplina de Computação. Aula 07. Prof. Dr. Marco Antonio Leonel Caetano

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1 MESTRADO EM MACROECONOMIA FINANÇAS Disiplina d Compuação Aula 7 Prof. Dr. Maro Anonio Lonl Caano

2 Guia d Esudo para Aula 7 Vors Linarmn Indpndns - Vrifiação d vors LI - Cálulo do Wronsiano Equaçõs Difrniais - Inrodução a EDO d ª. Ordm. - Inrodução a EDO d ª. Ordm. - Uilização do Wronsiano para drminação d soluçõs. - Uso do ODE45 do Malab. - Uso d funions rnas no Malab. Eríios -EDO - Funions Objivos da Aula - Enndr vors LI. - Drminar solução d EDO om o programa ODE45. - Aprndr a usar funions rnas.

3 Vors Linarmn Dpndns (LD) V(,) V(4,) O vor v é LD d v pois pod sr obido d v por uma simpls mulipliação d onsan r v r v No aso 4 3

4 Dfinição (LD) Dois vors são dios LD s is uma ombinação d valors difrns dos valors nulos para os ofiins al qu Emplo r r v v No mplo anrior são soluçõs pois: 4 Mas - ambém são soluçõs pois: 4 Logo v v são Linarmn Dpndns ( LD) 4

5 Vors Linarmn Indpndns (LI).8 Não is omo obr v do vor v somn om mulipliação d salar V(,) Para a quação, r r v v.8.6 V(,) A únia solução é.4. (vrifiação)

6 6 Vrifiação d vor LI Isolando da primira quação, Subsiuindo na sgunda quação, E não

7 7 Uilização d Drminan DEFINIÇÃO: Dois vors são dios Linarmn Indpndns s somn s O drminan dos ofiins do sisma linar for DIFERENTE d zro. Dados srão dios LI s somn s onsidrando o sisma O drminan sguin NÃO for nulo. v v r r v v r r

8 Emplo Sndo r r v v Difrn d zro. Logo v v são LI 8

9 9 Eríio Us o malab para vrifiar s os rês vors são LI ou LD v v v r r r O drminan riado a parir dos vors é: Logo, os vors são LD

10 Apliaçõs d LI LD m Equaçõs Difrniais Ordinárias

11 Equaçõs Difrniais Ordinárias ( EDO ) Emplo d() d Solução d () d d d supondo ( ) () d d ()

12 Rsulado ()

13 Ouro Emplo d() d () Solução d d d d supondo ( ) () d ln d ln( ) ln() () usando propridad log Condição iniial 3

14 Rsulado () () 4

15 Rsolução Numéria - Méodo d Eulr f (, h ) Passo d Ingração Funion 5

16 6 Rsolução Numéria Rung-Kua d Sgunda Ordm ( ) ), ( ), ( h h f f h

17 7 Rsolução Numéria - Rung-Kua d Quara Ordm ( ) ) h h, f ( ) h, h f ( ) h, h f ( ), f ( 6 h

18 No Malab... Função od45 Erro rlaivo Erro absoluo Rung-Kua 4a./5a. Ordm, passo h variávl Funion ond sá o modlo 8

19 Programa Prinipal - Emplo d() d () Tmpo iniial Tmpo final Condição iniial () 9

20 Criando a funion do modlo Msmo nom da funion do programa prinipal

21 Rsulado

22 d() d Emplo () ()

23 Rsulado 3

24 Modlo Daimno Eponnial d() () d () 4

25 Rsulado 5

26 Modlo d Crsimno Limiado d() d r( ()) () Emplo: r. ; {vloidad d rsimno}.5; {faor limian} final 5; {mpo final d ingração} 6

27 O Programa 7

28 Rsulado 8

29 A vloidad d rsimno do modlo r..5 r.5 r. r. 9

30 Modlo d Crsimno Logísiio d() d r()( () ) K ().5 Emplo: r. ; {vloidad d rsimno} K 3; {faor limian} final 6; {mpo final d ingração} 3

31 O Programa 3

32 Rsulado 3

33 Equação Difrnial d Sgunda Ordm Sja a quação difrnial ( ) ( ) Como s nonra a solução? Admi-s qu a solução srá da forma: ( ) p Essa solução dv rspiar a quação difrnial aima, ou sja, ( ( p ( p p p ) ) p ) p p p p Como ponnial nuna é zro, não: p ± 33

34 Quais as soluçõs? Quando p êm-s ( ) Quando p- êm-s ( ) Pod-s r uma solução gral? 34

35 Torma: S as soluçõs d EDO são linarmn Indpndns (LI), não a solução gral srá: ( ) ( ) ( ) Como sabr s as soluçõs obidas são LI? Enonra-s o drminan WRONSKIANO ( ) ( ( ) ( ) ) S l for DIFERENTE d zro as soluçõs são LI êm-s uma solução gral. 35

36 Emplo: Supor para a EDO ( ) ( ) As sguins ondiçõs iniiais: () () final Eis uma solução gral? 36

37 Sndo as soluçõs O Wronsiano srá: ( ) ( ) () () () () Como o drminan é difrn d zro, as soluçõs são LI. Eis porano uma Solução gral. 37

38 38 Sndo a forma da solução gral: A drivada é: Para o mplo m qusão: Para as ondiçõs iniiais: Subsiuindo o valor d () () ou ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( () ()

39 Rsolvndo o sisma linar: C ½ C ½ Solução gral ( ) 39

40 4 No Malab Passo-: Dv-s fazr a sguin mudança d variávl : Passo-: Dv-s apliar a drivada para ambas quaçõs: Passo-3: Insrir o novo sisma d quaçõs na funion:

41 Tmpo final Duas ondiçõs iniiais 4

42 4 Problma EDO a. ordm SOLUÇÃO GERAL ().5 ().5 () SOLUÇÃO DA DERIVADA ()

43 Eríio: Supor para a EDO ( ) ( ) As sguins ondiçõs iniiais: () () final Eis uma solução gral? Qual a solução via malab? 43

44 44 Solução Solução pariular ) ( p p p p p Enão ) ( ) ( Wronsiano Eis solução gral pois as pariulars são LI. 3

45 45 Enonrando a solução gral 3 3 () () 3 3 ) ( SOLUÇÃO GERAL

46 46 No Malab Passo-: Dv-s fazr a sguin mudança d variávl : Passo-: Dv-s apliar a drivada para ambas quaçõs: Passo-3: Insrir o novo sisma d quaçõs na funion:

47 No Malab 5 Problma EDO a. ordm Y() X ().5.5 Y () X ()