Ângulos de Euler. x y z. onde

Transcrição

1 Ângulos d Eulr Considr um corpo rígido sus três ios principais, ê, ê 2 ê 3, qu são ortonormais. Vamos dfinir o sistma d coordnadas fio ao corpo rígido, S, com os ios, 2 3 ao longo dos vrsors ê, ê 2 ê 3, rspctivamnt. Quando o corpo rígido gira m torno d algum ponto qu prmanc fio no spaço, tomamos a origm d S como sndo ss ponto fio. No caso m qu o corpo rígido não tm um ponto qu fica fio no spaço, tomamos a origm d S no cntro d massa. Quando dois dos momntos d inércia principais do corpo rígido são iguais, smpr tomamos sus rspctivos ios principais como sndo ê ê 2, por convnção. Também considr um sistma d coordnadas cartsianas, S, com ios,, sus três vrsors rspctivos, ˆ, ŷ ẑ. A origm d S, tomamos como sndo a msma origm d S, d forma qu S não é ncssariamnt fio no spaço, já qu o corpo rígido pod tr su cntro d massa m movimnto, o qu implicaria m uma origm d S móvl. No ntanto, as dirçõs ˆ, ŷ ẑ são tomadas como fias no spaço. Logo, são ncssários três ângulos para dtrminar a orintação d S com rlação a S. Esss ângulos podm sr tomado como os chamados ângulos d Eulr, qu dscrvo a sguir. O primiro ângulo d Eulr chamamos d φ, qu consist d uma rotação dos ios, m torno do io, d um ângulo φ. A transformação d coordnadas para ssa primira rotação é dscrita matricialmnt como = R φ, ond R φ = snφ cos φ 0. 2 Para ntndr as Eqs. 2, basta tomar um ponto no plano dado por,, nas coordnadas rodadas, também dado por, nas coordnadas cartsianas originais. Em coordnadas polars, scrvmos, = r cos ϕ, rsnϕ. 3 Como os ios stão rodados d um ângulo φ com rlação aos ios, sgu qu Mas, da Eq. 4 sgu qu, = r cos ϕ + φ, rsn ϕ + φ. 4 = r cos ϕ + φ = r cos ϕ cos φ rsnϕsnφ, = cos φ snφ, 5

2 ond usi a Eq. 3, = rsn ϕ + φ = rsnϕ cos φ + r cos ϕsnφ, = snφ + cos φ, 6 ond também usi a Eq. 3. Podmos colocar as Eqs. 5 6 m forma matricial assim: cos φ snφ = snφ cos φ. 7 Como cos φ snφ snφ cos φ cos φ snφ snφ cos φ = 0 0, 8 podmos multiplicar ambos os mmbros da Eq. 7 por cos φ snφ snφ cos φ obtr = cos φ snφ snφ cos φ. 9 No caso d três coordnadas, mas mantndo os ios coincidnts, podmos também scrvr, com o auílio da Eq. 9, = snφ cos φ 0, qu plica as Eqs. 2. O novo io também é convncionalmnt chamado d io ξ, ou linha nodal. O sgundo ângulo d Eulr é chamado θ consist d uma rotação dos ios, m torno do io, d um ângulo θ. As novas coordnadas, dpois dssa sgunda rotação d Eulr, são dadas por = R θ, 0 ond R θ = cos θ snθ 0 snθ cos θ. 2

3 Not qu a substituição da Eq. na Eq. 0 rsulta m = R θ R φ. 2 Finalmnt, o trciro ângulo d Eulr chamamos d ψ, qu consist d uma rotação dos ios, m torno do io, d um ângulo ψ. As novas coordnadas, dnotadas, 2 3, são as coordnadas do sistma S mncionado acima. Então, 2 3 = R ψ, 3 ond R ψ = cos ψ snψ 0 snψ cos ψ 0. 4 Substituindo a Eq. 2 na Eq. 3, obtmos 2 = R ψ R θ R φ 3 Das Eqs. 2, obtmos R θ R φ = θ 0 0 cos 0 snθ 0 snθ cos θ. 5 snφ cos φ 0, R θ R φ = cos θsnφ cos θ cos φ snθ snθsnφ snθ cos φ cos θ. 6 Das Eqs. 4 6, obtmos cos ψ snψ 0 R = R ψ R θ R φ = snψ cos ψ 0 cos θsnφ cos θ cos φ snθ snθsnφ snθ cos φ cos θ, R = cos ψ cos φ snψ cos θsnφ cos ψsnφ + snψ cos θ cos φ snψsnθ snψ cos φ cos ψ cos θsnφ snψsnφ + cos ψ cos θ cos φ cos ψsnθ snθsnφ snθ cos φ cos θ. 7 3

4 Como cada uma das matris R φ, R θ R ψ é ortogonal, a invrsa d cada uma é sua transposta obtmos, para o produto das três, R = R ψ R θ R φ = R φ R θ R ψ = Rt φr t θr t ψ = R ψ R θ R φ t = R t. 8 Das Eqs. 7 8 sgu, portanto, qu cos ψ cos φ snψ cos θsnφ snψ cos φ cos ψ cos θsnφ snθsnφ R = cos ψsnφ + snψ cos θ cos φ snψsnφ + cos ψ cos θ cos φ snθ cos φ. 9 snψsnθ cos ψsnθ cos θ Não squça qu os ângulos φ, θ ψ são funçõs do tmpo. Agora vamos scrvr, m trmos dos ângulos d Eulr suas drivadas tmporais, o vtor ω. Para isso, m trmos dos ios principais, qu giram juntamnt com o corpo rígido, podmos scrvr dê = a ê + b ê 2 + c ê 3, 20 dê 2 = a 2 ê + b 2 ê 2 + c 2 ê 3 2 dê 3 = a 3 ê + b 3 ê 2 + c 3 ê Sguindo o raciocínio da postagm Sistmas d coordnadas m movimnto, vmos qu o vtor ω é dfinido como Das Eqs. 20, 2 22, obtmos ω = c 2 ê + a 3 ê 2 + b ê b = ê 2 dê, 24 c 2 = ê 3 dê 2 25 a 3 = ê dê Assim, prcisamos calcular, plicitamnt, ê, ê 2 ê 3 suas drivadas tmporais. Da Eq. 5 sgu qu = R ψ R θ R φ

5 Como as coordnadas d ê no rfrncial S são dadas por 2 3 = 0 0, sgu qu, m S, suas coordnadas são dadas por = R ψ R θ R φ Logo, usando a Eq. 9, podmos scrvr ê = ˆ cos ψ cos φ snψ cos θsnφ + ŷ cos ψsnφ + snψ cos θ cos φ + ẑsnψsnθ D manira compltamnt análoga, também obtmos ê 2 = ˆ snψ cos φ cos ψ cos θsnφ + ŷ snψsnφ + cos ψ cos θ cos φ + ẑ cos ψsnθ 29 ê 3 = ˆsnθsnφ ŷsnθ cos φ + ẑ cos θ. 30 Tomando as drivadas tmporais das Eqs. 28, 29 30, obtmos dê = ˆ ψ snψ cos φ cos ψ cos θsnφ + φ cos ψsnφ snψ cos θ cos φ + θsnψsnθsnφ + ŷ ψ snψsnφ + cos ψ cos θ cos φ + φ cos ψ cos φ snψ cos θsnφ θsnψsnθ cos φ + ẑ ψ cos ψsnθ + θsnψ cos θ, 3 dê 2 dê 3. = ˆ ψ cos ψ cos φ + snψ cos θsnφ + φ snψsnφ cos ψ cos θ cos φ + θ cos ψsnθsnφ + ŷ ψ cos ψsnφ snψ cos θ cos φ + φ snψ cos φ cos ψ cos θsnφ θ cos ψsnθ cos φ + ẑ ψsnψsnθ + θ cos ψ cos θ 32 = ˆ φsnθ cos φ + θ cos θsnφ + ŷ φsnθsnφ θ cos θ cos φ ẑ θsnθ. 33 Substituindo as Eqs na Eq. 24, obtmos b = ψ snψ cos φ cos ψ cos θsnφ 2 + snψsnφ + cos ψ cos θ cos φ 2 + cos 2 ψsn 2 θ + φ cos ψ cos φ snψ cos θsnφ snψsnφ + cos ψ cos θ cos φ + cos ψsnφ snψ cos θ cos φ snψ cos φ cos ψ cos θsnφ + θ snψsnθ cos φ snψsnφ + cos ψ cos θ cos φ + snψsnθsnφ snψ cos φ cos ψ cos θsnφ + snψ cos θ cos ψsnθ, 5

6 b = ψ sn 2 ψ + cos 2 ψ cos 2 θ + cos 2 ψsn 2 θ + φ cos 2 ψ cos 2 φ cos θ + sn 2 ψ cos θsn 2 φ + cos 2 ψsn 2 φ cos θ + sn 2 ψ cos 2 φ cos θ + θ cos 2 φsnψ cos ψsnθ cos θ sn 2 φsnψ cos ψsnθ cos θ + snψ cos ψsnθ cos θ, b = ψ + φ cos θ. 34 Substituindo as Eqs na Eq. 25, obtmos c 2 = ψsnθsnφ cos ψ cos φ + snψ cos θsnφ + φsnθsnφ snψsnφ cos ψ cos θ cos φ + θsnθsnφ cos ψsnθsnφ ψsnθ cos φ cos ψsnφ snψ cos θ cos φ φsnθ cos φ snψ cos φ cos ψ cos θsnφ + θsnθ cos φ cos ψsnθ cos φ ψ cos θsnψsnθ + θ cos θ cos ψ cos θ, c 2 = ψ snθsnφ cos ψ cos φ + snθ cos φ cos ψsnφ + snθsnψ cos θ snψsnθ cos θ + φ snθsn 2 φsnψ snθsnφ cos ψ cos θ cos φ + snθ cos 2 φsnψ + snθ cos φ cos ψ cos θsnφ + θ sn 2 θsn 2 φ cos ψ + sn 2 θ cos 2 φ cos ψ + cos ψ cos 2 θ, c 2 = φsnθsnψ + θ cos ψ. 35 Substituindo as Eqs na Eq. 26, obtmos a 3 = cos ψ cos φ snψ cos θsnφ φsnθ cos φ + θ cos θsnφ + cos ψsnφ + snψ cos θ cos φ φsnθsnφ θ cos θ cos φ θsnψsnθsnθ, a 3 = φ snθ cos φ cos ψ cos φ snψ cos θsnφ + snθsnφ cos ψsnφ + snψ cos θ cos φ + θ cos θsnφ cos ψ cos φ snψ cos θsnφ cos θ cos φ cos ψsnφ + snψ cos θ cos φ snψsnθsnθ, a 3 = φsnθ cos ψ + θ cos 2 θsn 2 φsnψ cos 2 θ cos 2 φsnψ snψsn 2 θ, ou ainda, a 3 = φsnθ cos ψ θsnψ. 36 6

7 Substituindo as Eqs. 34, na Eq. 23, obtmos ω = φsnθsnψ + θ cos ψ ê + φsnθ cos ψ θsnψ ê 2 + ψ + φ cos θ ê D acordo com a postagm Rotação d um corpo rígido as quaçõs d Eulr, a nrgia cinética do corpo rígido, no sistma S, é dada por ond T = 2 ω I ω, 38 I = I ê ê + I 2 ê 2 ê 2 + I 3 ê 3 ê Substituindo as Eqs na Eq. 38, obtmos T = 2 I T = 2 I ω ê ê ω + 2 I 2ω ê 2 ê 2 ω + 2 I 3ω ê 3 ê 3 ω, 2 2 φsnθsnψ + θ cos ψ + 2 I 2 φsnθ cos ψ θsnψ + 2 I 3 ψ + φ 2 cos θ. 40 No caso d um corpo com tnsor d inércia tal qu dois d sus momntos d inércia principais são iguais, digamos, I = I 2, obtmos T = 2 I 2 2 φsnθsnψ + θ cos ψ + 2 I φsnθ cos ψ θsnψ + 2 I 3 ψ + φ 2 cos θ, T = 2 I φ2 sn 2 θsn 2 ψ + θ 2 cos 2 ψ + φ 2 sn 2 θ cos 2 ψ + θ 2 sn 2 ψ + 2 I 3 ψ + φ 2 cos θ, Bibliografia T = 2 I φ2 sn 2 θ + θ I 3 ψ + φ cos θ 2. 4 Kith R. Smon, Mchanics, trcira dição Addison Wsl, 97. 7