Mecânica Quântica /5/2017 Momento angular

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1 Mcânica Quântica /5/017 Momnto angular I. MOMENTO ANGULAR Por analogia com a mcânica clássica, dfin-s o momnto angular quântico pla xprssão L = R P, (1) ond R P são opradors, qu corrpondm às grandzas físicas posição momnto m três dimnsõs, isto é, R = Xî + Y ĵ + Zˆk, () P = P x î + P y ĵ + P z ˆk. (3) O produto vtorial na Eq. (1) sgu as rgras da Gomtria Analítica. Assim, por xmplo, L z = XP y Y P x. (4) As dmais componnts podm sr obtidas da Eq. (4) por prmutação cíclica: L x = Y P z ZP y, (5) ou s prmutarmos ciclicamnt mais uma vz: L y = ZP x XP z. (6) II. REGRAS DE COMUTAÇÃO Ants d mais nada, prcisamos sabr s os componnts do vtor L comutam ntr si. Para isso, calculamos o comutador por xmplo. Expandido o lado dirito, vmos qu [L z, L x ] = [XP y Y P x, Y P z ZP y ], (7) [L z, L x ] = [XP y, Y P z ] [XP y, ZP y ] [Y P x, Y P z ] + [Y P x, ZP y ]. (8) Para calcular o lado dirito da Eq. (8), basta obsrvar qu qu os dmais comutadors, tais como [X, P y ], são nulos. Sgu ntão qu ou sja assim vmos qu Duas prmutaçõs cíclicas sucssivas agora mostram qu [X, P x ] = [Y, P y ] = [Z, P z ] = i, (9) [L z, L x ] = X[P y, Y ]P z + P x [Y, P y ]Z, (10) [L z, L x ] = i XP z + iz P x, (11) [L z, L x ] = i L y. (1) [L x, L y ] = i L z, (13) [L y, L z ] = i L x. (14)

2 III. MÓDULO DO MOMENTO ANGULAR Ainda acompanhando a mcânica clássica, podmos agora dfinir o oprador módulo ao quadrado do momnto angular: L = L x + L y + L z. (15) Ess oprador é important porqu comuta com L x, L y L z, conform o sguint cálculo, para L z por xmplo, mostra: visto qu L z comuta com L z. Vjamos quanto val o primiro trmo à dirita na Eq. (16): o qu quival a ond somamos subtraímos L x L z L x ao lado dirito. A Eq. (18) pod sr rscrita na forma ou com ajuda da Eq. (1), [L, L z ] = [L x, L z ] + [L y, L z ], (16) [L x, L z ] = L xl z L z L x, (17) [L x, L z ] = L xl z L x L z L x + L x L z L x L z L x, (18) [L x, L z ] = L x [L x, L z ] + [L x, L z ]L x, (19) [L x, L z ] = i L x L y i L y L x. (0) D forma análoga, podmos calcular o sgundo comutador no lado dirito da Eq. (16). Rsulta qu Somamos agora, mmbro a mmbro, as Eqs. (0) (1) para vr qu assim a Eq. (16) mostra qu Uma vz qu L não muda sob prmutação cíclica, a Eq. (3) mostra qu [L y, L z ] = i L y L x + i L x L y. (1) [L x, L z ] + [L y, L z ] = 0, () [L, L z ] = 0. (3) [L, L z ] = [L, L z ] = [L, L z ] = 0. (4) IV. OS OPERADORES DE LEVANTAMENTO E ABAIXAMENTO Assim como no tratamnto do Hamiltoniano do oscilador harmônico os opradors a a convnints do qu X P. prfrimos aqui trabalhar com os opradors s mostraram mais L + = L x + il y, (5) L = L x il y, (6) Uma vz qu L x L y, qu rprsntam grandzas físicas, são opradors Hrmitianos, o oprador L é o conjugado Hrmitiano d L +. Podria, portanto, sr dnotado L +. É convnção univrsal, ntrtanto, scrvr L.

3 Por razõs qu ncontrarmos abaixo, o oprador L é conhcido como oprador d abaixamnto L + como oprador d lvantamnto. Assim como L x L y, os opradors d abaixamnto lvantamnto comutam com L. Els não comutam ntr si, como mostra a sguint drivação. [L +, L ] = [L x, L x ] i[l x, L y ] + i[l y, L x ] + [L y, L y ]. (7) O primiro o último trmos à dirita na Eq. (7) são nulos, os dmais são obtidos da Eq. (13). Vmos assim qu Álgbra igualmnt simpls mostra qu [L +, L ] = L z. (8) [L z, L + ] = L + (9) [L z, L ] = L (30) V. O QUARTETO DE OPERADORES Dado qu L + L são combinaçõs linars d L x L y, podmos trabalhor com L + L m lugar d L x L y. D fato, L x L y podm sr obtidos, dirtamnt, d L + L. S somarmos, mmbro a mmbro, as Eqs. (5) (6), vrmos qu s subtrairmos uma da outra, vrmos qu Além disso, já sabmos qu L x = 1 (L + + L ), (31) L y = 1 i (L + L ), (3) [L, L + ] = [L, L ] = [L, L z ] = 0. (33) Qurmos agora dixar d lado os opradors L x L y para trabalhar com L +, L, L z L um quartto d opradors. Falta apnas rlacionar L com os outros três mmbros do quartto. Para tanto, basta obsrvar qu ou sja L + L = (L x + il y )(L x il y ), (34) L + L = L x il x L y + il y L x + L y. (35) A soma dos sgundo com o trciro trmos à dirita na Eq. (35) é proporcional ao comutador d L x com L y, dado pla Eq. (13). A igualdad portanto s rduz à xprssão Um cálculo muito parcido mostra qu Somadas as Eqs. (34) (35), vmos daí obtmos a dsjada xprssão para L m função d L +, L L z : L + L = L x + L y. + L z. (36) L L + = L x + L y. L z. (37) L + L + L L + = (L x + L y), (38) L = L +L + L L + + L z. (39) Smpr qu for mais convnint, podrmos mprgar a sguint igualdad altrnativa, xtraída da Eq. (34): ou a xprssão quivalnt xtraída da Eq. (37): L = L + L + L z L z, (40) L = L L + + L z + L z, (41)

4 VI. OS AUTO-ESTADOS DE L E L z A Tabla I compara as rlaçõs ntr os opradors do oscilador harmônico com as do momnto angular. A analogia ntr os dois conjuntos d igualdad sugr qu apliqumos ao momnto angular o procdimnto qu diagonaliza o oscilador harmônico. Oscilador Momnto angular H = P + X L L z = L x + L y [ X, P ] = i [ L x, L y] = i L z a = X + i P L+ = L x + i L y a = X i P L = L x i L y [a, a ] = 1 [ L +, L ] = L z H = a a + aa L L z = L L+ + L + L H = a a + 1 L L z = L L+ + L z H = aa 1 L L z = L + L L z a n = n n 1 L+ λ, µ = λ µ(µ + 1) λ, µ + 1 a n = n + 1 n + 1 L λ, µ = λ µ(µ 1) λ, µ 1 Tabla I Analogia ntr os opradors do oscilador harmônico os do momnto angular. Para acntuar a smlhança, os opradors adimnsionais P = P m ω X = X mω/ foram introduzidos, m substituição a P X, o oprador adimnsional L = L/ foi introduzido, m substituição a L. Uma vz qu os opradors L L z comutam, podmos ncontrar stados qu sjam ao msmo tmpo auto-stados d L d L z. Vamos dnotar sss stados por λ, µ, para associar cada um dls aos autovalors d L d L z. Mais xplicitamnt, os auto-stados são stados normalizados tais qu L λ, µ = λ λ, µ, (4) L z λ, µ = µ λ, µ. (43) Os fators foram introduzidos à dirita nas Eqs. (4) (43) porqu L L z têm dimnsõs d, rspctivamnt. Assim, λ µ são númros adimnsionais. Quando studamos o oscilador harmônico, vimos qu, s n for auto-stado d H, o stado a n também é autostado. Por analogia qurmos mostrar qu L + λ, µ é auto-stado d L d L z. Para isso, vamos calcular L L + λ, µ, dpois, L z L + λ, µ. Uma vz qu L L + comutam, tmos qu ou sja L L + λ, µ = L + L λ, µ, (44) L L + λ, µ = λl + λ, µ. (45) Vmos da Eq. (45) qu L + λ, µ é auto-stado d L, com autovalor λ. Assim, λ, µ L + λ, µ são auto-stados d L com o msmo autovalor. Dizmos qu são auto-stados dgnrados. Vamos vr, agora, o oprador L z. Da Eq. (9) sgu qu dado qu L z λ, µ = λ, µ, vmos qu L z L + λ, µ = L + L z λ, µ + L + λ, µ, (46) L z L + λ, µ = (µ + 1)L + λ, µ. (47)

5 A Eq. (47) mostra qu L + λ, µ é auto-stado d L z com autovalor (µ + 1), maior do qu o autovalor µ do auto-stado λ, µ. D forma análoga, podmos mostrar qu L z L λ, µ = (µ 1)L λ, µ, (48) ou sja, qu L λ, µ é auto-stado d L z com autovalor (µ 1). São ssas propridads qu dão nom aos opradors L + L : o oprador d lvantamnto ralça o oprador d abaixamnto rduz o auto-valor d L z. A. As normas Conform nossa dfinição, os auto-stados λ, µ são normalizados. Não sabmos, porém, s os stados L + λ, µ L λ, µ são normalizados. Para ncontrar as normas, vamos xcutar um cálculo rlativamnt simpls. Da Eq. (40), vmos qu L + L λ, µ = L λ, µ L z λ, µ + L z λ, µ. (49) Uma vz qu o stado λ, µ é auto-stado d L d L z, o lado dirito da Eq. (49) pod sr simplificado, rsulta qu L + L λ, µ = (λ µ + µ) λ, µ. (50) Podmos agora multiplicar os dois lados da Eq. (50) por λ, µ, para obtr a igualdad λ, µ L + L λ, µ = (λ µ + µ) λ, µ λ, µ. (51) O produto scalar λ, µ λ, µ é unitário, visto qu λ, µ é normalizado. O lmnto d matriz do lado squrdo da Eq. (51), por outro lado, é a norma d L λ, µ. Podmos portanto rscrvr a igualdad na forma Por outro lado, podmos vr da Eq. (41) qu squência análoga à qu conduziu à Eq. (5) mostra qu Em rsumo, vmos qu L λ, µ = λ µ(µ 1). (5) L L + λ, µ = L λ, µ L z λ, µ L z λ, µ, (53) L + λ, µ = λ µ(µ + 1). (54) L λ, µ = λ µ(µ 1) λ, µ 1 (55) L + λ, µ = λ µ(µ + 1) λ, µ + 1. (56) VII. OS AUTOVALORES Como ilustração, a Fig. 1 mostra os quadrados das normas d L λ, µ L + λ, µ, dadas plas Eqs. (5) (54), rspctivamnt, m função do autovalor µ, para λ = 30. Vjamos, por xmplo, a parábola laranja, qu mostra L λ, µ. O ponto inicial é o quadradado da norma d L λ,. Dl sai uma sta indicando o sntido da progrssão quando s aplicam, sucssivamnt os opradors L +, (L + ), (L + ) 3 tc., a λ, µ. A cada aplicação d L +, o autovalor µ diminui d uma unidad. Na figura, cada aplicação corrspond a avançar d um círculo sobr a curva para o próximo, mais à squrda. A norma inicialmnt crsc, nquanto µ é positivo, mas dpois, para µ < 0, passa a diminuir. Dpois d alguns passos, o quadrado da norma tnd a sr tornar ngativo, o qu sria absurdo.

6 30 30 L λ, µ L + λ, µ µ -4-0 µ µ 4 + Figura 1 Evolução do autovalor µ à mdida qu os opradors L + L são aplicados, sucssivamnt, a um auto-stado inicial λ, µ. A curva azul mostra o quadarado da norma d (L + ) n λ, µ a curva laranja, o quadrado da norma d (L ) n λ, µ (n = 0, 1,,...) m função do auto-valor µ. A azul alcança o ixo horizontal quando µ = µ a laranja, quando µ = µ +. Para qu o quadrado não s torn ngativo, os autovalors λ µ têm d sr tais qu a norma sja xatamnt zro num dado passo da volução. Significa qu para um crto valor µ do autovalor µ, a norma tm d sr nula, isto é, da Eq. (5), λ = µ µ. (57) A Eq. (57) é uma quação do sgundo grau para µ. A fórmula d Bhaskara nos diz portanto qu µ = 1 ( 1 ± ) 1 + 4λ. (58) Como µ é forçosamnt ngativo, tmos d scolhr o sinal ngativo frnt à raiz quadrada dntro dos parêntss à dirita na Eq. (58). E como µ < 0, convém dnotá-lo por l, ond l é uma grandza positiva. Tmos ntão qu l = 1 ( 1 + 4λ 1 ). (59) Podmos agora aplicar a msma linha d pnsamnto à curva azul na Fig. 1, para ncontrar o autovalor µ + qu anula a norma d L + λ, µ +. Rsulta uma xprssão smlhant à Eq. (58): µ + = 1 ( 1 ± ) 1 + 4λ. (60) O sinal qu intrssa, frnt à raiz quadrada no lado dirito da Eq. (60), é agora o positivo, porqu µ + > 0. Vmos assim qu µ + = l. Sja qual for o valor inicial d µ, podrmos caminhar para a dirita, como na curva azul da Fig. 1, por sucssivas aplicaçõs d L + até alcançar o autovalor µ + = l, qu anula a norma d L + λ, µ assim intrromp o procsso. E s caminharmos para a squrda, por sucssivas aplicaçõs d L, chgarmos ao autovalor µ = l, qu anula a norma d L + λ, µ intrromp a progrssão. Podmos concluir qu todos os autovalors µ prmitidos stão ntr l l, inclusiv, ou mais spcificamnt, µ = l, l + 1,..., l. (61) Uma vz qu a squência (61) comça com µ = l acaba com µ = l, a difrnça l ( l) tm d sr intira.

7 Assim, l é ncssariamnt um númro intiro. As altrnativas possívis são l = 0 µ = 0 l = 1 µ = 1, 1 l = 1 µ = 1, 0, 1 (6) ou l = 3 µ = 3, 1, 1, 3 l = µ =, 1, 0, 1,. Para cada l, o autovalor µ pod tomar l + 1 valors. E a cada l corrspond um autovalor λ, dado pla Eq. (59): λ = l + l, (63) λ = l(l + 1). (64) Uma vz qu o númro l, qu pod sr intiro (0, 1,,...) ou smi-intiro (1/, 3/, 5/,...), dtrmina tanto os possívis autovalors µ d L z como o autovalor λ d L, é mais prático scrvr l, m (m lugar d λ; µ ) para dnotar os l + 1 auto-stados d L L z. Nssa notação, as Eqs. (4) (43) s scrvm as Eqs. (55) (56) s scrvm na forma L l, m = l(l + 1) l, m (l = 0, 1, 1,...) (65) L z l, m = m l, m (m = l, l + 1,..., l), (66) L l, m = l(l + 1) m(m 1) l, m 1 (67) L + l, m = l(l + 1) m(m + 1) l, m + 1, (68) rspctivamnt. Vrmos mais adiant qu o momnto angular dfinido pla Eq. (1), conhcido como momnto angular orbital, somnt admit l intiro (l = 0, 1,,...). Os valors smi-intiros somnt são possívis quando s trata do spin. Para nfatizar a difrnça ntr o momnto orbital o spin, mprga-s o símbolo s m lugar d l m s m lugar d m para indicar os númros qu dtrminam os autovalors do spin. O spin do létron somnt pod tomar valor s = 1/, assim m s pod sr ±1/. Já no caso do fóton, o spin é s = 1. VIII. COORDENADAS ESFÉRICAS Já vimos, na Sção I, como as componnts do momnto angular s xprssam m coordnadas cartsianas. Na prática, porém, o momnto angular s torna útil quando o potncial dpnd somnt da distância r à origm. No Hamiltoniano do átomo d hidrogênio, por xmplo, o potncial é /r, ond é a carga ltrônica. Assim, dsjamos scrvr os opradors L, L z, L + L m coordnadas sféricas. Vjamos L +, como xmplo. Em coordnadas cartsianas, l pod sr obtido da Eq. (5): ou s juntarmos os trmos proporcionais a P z a Z no lado dirito, L + = Y P z ZP y + i(zp x XP z ), (69) L + = i(x + iy )P z + iz(p x + ip y ). (70)

8 Para passar a coordnadas cartsianas, lmbramos agora qu ou na forma invrsa, x = r sn(θ) cos(ϕ) (71) y = r sn(θ) sn(ϕ) (7) z = r cos(θ), (73) r = x + y + z (74) z tan(θ) = x + y (75) tan(ϕ) = y x (76) Prcisarmos também das drivadas parciais. Por xmplo, prcisarmos d r/ x, qu pod sr obtida da Eq. (74): r x = x x + y + z. (77) O dnominador do lado dirito da Eq. (77) é a coordnada r. O numrador pod sr rscrito m trmos d r, θ ϕ a partir da Eq. (71). O rsultado é D manira análoga, ncontramos as dmais drivadas parciais: r = sn(θ) cos(ϕ). (78) x r = sn(θ) sn(ϕ) y (79) r = cos(θ) z (80) θ x = cos(θ)cos(ϕ) r (81) θ y = cos(θ)sn(ϕ) r (8) θ z = sn(θ) r (83) ϕ x = sn(ϕ) r sn(θ) (84) ϕ y = cos(ϕ) r sn(θ) (85) ϕ = 0. z (86) Podmos agora voltar à Eq. (70). Em coordnadas sféricas, o fator X + iy tm uma xprssão simpls: x + iy = r sn(θ) iϕ, (87) o momnto P z, a xprssão i z = i ( r z r + θ z θ + ϕ z ϕ ), (88) ou, com ajuda das Eqs. (80), (83) (86), i z = ( i cos(θ) r sn(θ) r θ ). (89)

9 Sabmos qu Z = r cos(θ). Prcisamos agora obtr uma xprssão para P x + ip y. Trmos d calcular, portanto, ( i x + i ) = ( ( r y i x + i r y ) r + ( θ x + i θ y ) θ + ( ϕ x + i ϕ y ) ). (90) ϕ As Eqs. (78), (79), (81), (8), (84) (85) convrtm o lado dirito na forma ( i x + i ) = ( sn(θ) iϕ y i r + cos(θ)iϕ r θ + iiϕ ), (91) r sn(θ) ϕ Podmos finalmnt multiplicar o lado dirito da Eq. (87) plo da Eq. (89) subtrair do rsultado o produto do lado dirito da Eq. (73) plo da Eq. (91), para calcular i(x + iy )P z + iz(p x + ip y ) obtr a xprssão qu qurmos. Os trmos proporcionais a / r s canclam, o rsultado é L + = iϕ( θ + i cot(θ) ). (9) ϕ Procdimntos smlhants mostram qu L = iϕ( θ i cot(θ) ), (93) ϕ L z = i ϕ. (94) IX. HARMÔNICOS ESFÉRICOS Podmos agora ncontrar a dpndência spacial dos auto-stados d L L z. Para isso, dispomos d duas igualdads: a Eq. (66) a (56) [ou a Eq. (67), qu é quivalnt]. Vamos mprgar o método da sparação d variávis, isto é, supor qu cada auto-stado possa sr scrito na forma R l,m (r)θ l,m (θ)φ l,m (ϕ) com funçõs R, Θ Φ a srm dtrminadas. Com ssa suposição, a Eq. (66) assum a forma dφ l,m i dϕ = mφ l,m (ϕ), (95) visto qu nm R nm Θ dpndm da variávl ϕ. A solução da Eq. (95) é vlha conhcida: a função cuja drivada é la msma é a xponncial. Assim vmos qu Φ l,m (ϕ) = imϕ. (96) Nssa igualdad, dixamos d introduzir uma constant, porqu Φ é apnas uma das três funçõs cujo produto dá o auto-stado d L L z. Absorvrmos a constant na função Θ l,m (θ). Da Eq. (96), vmos qu Φ é indpndnt d l pod portanto sr dnotada Φ m. Uma vz qu Φ m (ϕ = 0) dv coincidir com Φ m (ϕ = π), a Eq. (96) também mostra qu m dv sr um númro intiro. Assim, concluímos qu l tm d sr intiro, o qu nos força a abandonar as soluçõs l = 1/, 3/,... ncontradas ants. Como já mncionado ants, stas últimas somnt s tornam importants quando s trata do spin. Passamos agora a procurar a função Θ l,m (θ). Para isso, rcorrmos à Eq. (68) com m = l. Nss caso, o lado dirito da quação s anula, tmos qu L + l, l = 0. (97) Em coordnadas sféricas, ssa igualdad s rduz à quação iϕ( θ + i cot(θ) ) Θ ϕ l,l (θ)φ l (ϕ) = 0, (98) dpois d dividirmos os dois lados pla função R l,l (r), qu indpnd d θ r não é, portanto, aftada plo oprador L +.

10 Uma vz qu Θ l,l dpnd somnt d θ, Φ l dpnd somnt d ϕ, a Eq. (98) quival à xprssão dθ l,l dθ = i cot(θ)θ l,l dφ l dϕ. (99) E como sabmos qu a drivada no lado dirito da Eq. (99) pod sr facilmnt computada. Rsulta qu Φ l (ϕ) = ilϕ, (100) 1 dθ l,l = l cos(θ) dθ. (101) Θ l,l sn(θ) Dado qu d sn(θ) = cos(θ) dθ, os dois lados da Eq. (101) podm sr facilmnt intgrados, ncontramos qu ( ) ln(θ l,l ) = l ln sn(θ) + c, (10) ond c é a constant d intgração. Uma vz qu θ varia ntr 0 π, o argumnto do logaritmo à squrda é smpr positivo, o qu simplifica a anális. Posmos portanto xponnciar os dois lados da Eq. (10), para vr qu ond c l = xp(c). A autofunção d L L z com m = l é portanto Θ l,l (θ) = c l sn l (θ), (103) ψ l,l (r, θ, ϕ) = R l,l (r)c l sn l (θ) ilϕ (l = 0, 1,...). (104) Dla, por aplicaçõs sucssivas do oprador L, dado pla Eq. (93), podmos computar todos auto-stados com m = l 1, l,..., l. Uma vz qu o lado dirito da Eq. (93) não contém drivadas m r, a part radial no lado dirito da Eq. (104) s rptirá m ψ l,l 1, ψ l,l,..., ψ l, l. Em outras palavras, a função radial indpnd d ml pod sr dnotada R l (r). Uma vz qu as xprssõs (9), (93) (94), para L +, L L z, rspctivamnt, não nvolvm drivadas m rlação a r, a anális do momnto angular não dtrmina R l (r). Prcisarmos rcorrr à Equação d Schrödingr para ncontrar a função radial. Em outras palavras, nquanto Θ Φ são smpr as msmas, a função radial dpnd do potncial V (r) a qu o létron stá sujito. Por isso, convém atribuir um símbolo para o produto Θ l,m Φ m : Y m l (θ, φ) Θ l,m (θ)φ l (ϕ). (105) Os Yl m são os harmônicos sféricos qu aparcm no Eltromagntismo. Vrmos dpois por qu acontc ssa coincidência. Els são normalizados d forma qu Yl m dω = 1, (106) ond a intgração cobr todos os ângulos θ ntr 0 π todos os ϕ ntr 0 π. Assim, das Eqs. (100) (103), tmos qu a constant c l pod sr ncontrada a partir da condição d normalização: Y l l (θ, ϕ) = c l sn l (θ) ilϕ, (107) c l π (1 u ) l du dϕ = 1, (108) ond substituímos a variávl d intgração θ por u = cos(θ), d forma qu sn (θ) = 1 u.

11 A intgração sobr ϕ dá π, assim vmos qu 1 c l (1 u ) l du = 1 π. (109) 1 A xprssão gral para a intgral no lado squrdo nvolv a função hiprgométrica. Vamos dixá-la d lado, porqu o cálculo para dado l é dirto (basta xpandir o binômio d Nwton no intgrando intgrar parcla por parcla), mbora s torn mais mais cansativo quando l crsc. Para l = 0, por xmplo, ncontramos imdiatamnt qu c 0 = 1 4π. (110) Isso dtrmina o módulo d c 0. Uma vz qu a fas da constant qu multiplica a função d onda é irrlvant, podríamos impor qu c l foss smpr um ral positivo. A convnção, porém, é qu c l = ( 1) l c l. (111) No caso, l = 0 assim vmos da Eq. (107) qu Y 0 0 = 1 4π. (11) Analogamnt, para l = 1, vmos qu ou sja, qu Rsulta assim qu portanto, da Eq. (111), qu 1 c 1 (1 u ) du = 1 π, (113) 1 1 c 1 (1 u ) du = 1 π. (114) 1 c 1 = 3 8π, (115) 3 Y1 1 = 8π sn(θ)iϕ. (116) Aplicado o oprador L [Eq. (93)] aos dois lados da Eq. (116), ncontramos ntão qu nova aplicação d L mostra qu Y 0 1 = Y 1 1 = 3 cos(θ), (117) 4π 3 8π sn(θ) iϕ. (118) Em contrast com a Eq. (116), o coficint da raiz quadrada à dirita na Eq. (118) é positivo. D fato, a scolha na Eq. (111) faz com qu nquanto qu Y l l = c l sn l (θ) ilϕ, (119) Y l l = ( 1) l c l sn l (θ) ilϕ. (10) Como já xplicado, trata-s d uma convnção. Podríamos prfitamnt tr imposto qu c l = c l, smpr positivo. Nss caso, o coficint no lado dirito da Eq. (119) sria ( 1) l, o do coficint no lado dirito da Eq. (10), smpr positivo. A prvisão d propridads físicas não sria aftada. A partir da Eq. (10), você pod achar os Yl m para l =, 3,... m = l 1, l,..., l. Val a pna calcular os Y m (m = 1, 0, 1, ).

12 X. SPIN O spin foi dscobrto xprimntalmnt. Em brv, uma tntativa d s mdir o momnto angular d um fix d átomos d prata mostrou qu dois rsultados podm sr obtidos. Significa qu o momnto angular do létron tm l = 1/, já qu o númro d autovalors d L L z compatívis com um dado l é l + 1. Sabmos hoj qu ss valor d l é uma propridad imutávl do létron. El stá associado a um oprador com caractrísticas smlhants ao momnto angular dfinido na Eq. (1), mas qu não é dado por aqula quação. Em particular, não stá sujito à rstrição l = 0, 1,..., qu dcorr da Eq. (1). Entrtanto, o spin obdc às rgras d comutação do momnto angular. Para distinguir o oprador spin d L, é tradicional dnotá-lo por S. Assim, as rgras d comutação s xprssam na forma [S x, S y ] = i S z, (11) na das quaçõs qu rsultam da Eq. (11) quando sus índics são prmutados ciclicamnt. Podmos dfinir opradors d lvantamnto abaixamnto S + = S x + is y (1) S = S x is y, (13) para trabalhar com S z, S + S, m lugar d com S x S y. As rgras d comutação prtinnts são intiramnt análogas às do momnto angular: [S +, S ] = S z, (14) [S z, S + ] = S +, (15) [S z, S ] = S, (16) Podmos também dfinir o quadrado do spin S, assim como dfinimos L. Vrmos ntão, por analogia com as Eqs. (39), (40) (41) qu S = S +S + S S + + S z, (17) S = S + S + S z S z, (18) S = S S + + S z + S z, (19) XI. BASE E MATRIZES S sguirmos a notação mprgada para dscrvr os auto-stados do momnto angular, os auto-stados d S S z srão dnotados s, m s, ond s = 1/ m s pod valr 1/ ou 1/. Uma vz qu s é smpr 1/, a notação pod sr abrviada. Dnotarmos 1/, 1/ por, 1/, 1/ por. A. Bas Os dois auto-stados constitum uma bas, na qual podmos dscrvr todos os stados do spin. Mais adiant vrmos como combinar o spin com as variávis spaciais x, y, z, mas por ora stamos apnas intrssados no spin.

13 B. Elmntos d matriz Os opradors d lvantamnto abaixamnto agm sobr da msma forma qu L + L agm sobr l, m, isto é S + = 0, (130) ou sja Analogamnt, vmos qu Por outro lado, sabmos qu qu S + = s(s + 1) + 1/(1/ + 1), (131) S + =. (13) S =, (133) S = 0. (134) S z = (135) S z =. (136) C. Matrizs Podmos portanto calcular lmntos d matriz, da forma m O m, ond O é um oprador qualqur tanto m como m podm sr ou. Dado um oprador O, podmos calcular quatro lmntos d matriz assim compor uma matriz. Vjamos como xmplo o oprador S z. Sus lmntos d matriz são S z =, (137) S z = 0, (138) S z = 0, (139) S z =. (140) Podmos ntão compor a matriz qu rprsnta S z. A primira linha corrspond aos lmntos m qu o bra é. Na sgunda, o bra é. Na primira coluna, o kt é na sgunda, o kt é. Com isso, a matriz S z s scrv na forma [S z ] = [ ] 1 0. (141) 0 1

14 Não por coincidência, [S z ] é diagonal: la foi rprsntada na bas, qu diagonaliza S z. Já as matrizs qu rprsntam S x S y não são diagonais. Para calculá-las, scrvmos, a partir das Eqs. (1) (13) qu S x = S + + S (14) S y = S + S. (143) i Uma vz qu conhcmos os lmntos d matriz d S + S ( S + =, por xmplo), podmos facilmnt concluir das Eqs. (14) (143) qu [S x ] = [ ] 0 1 (144) 1 0 qu [S y ] = [ ] 0 i. (145) i 0 As matrizs dos lados diritos das Eqs. (141), (145) (141) são chamadas d matrizs d Pauli são dnotadas σ α (α = x, y, z); [ ] 0 1 σ x, (146) 1 0 σ y σ z [ ] 0 i i 0 [ ] Elas têm propridads intrssants. O quadrado d cada uma dlas é a matriz idntidad: (147) (148) σ x = σ y = σ z = I, (149) ond 1 dnota a idntidad : Elas anticomutam: I [ ] (150) [ σx σ y = σ y σ x, ] (151) por xmplo. Os autovalors d σ x, σ y σ z são ±1. D. Vtors coluna linha A notação matricial introduzida na Sção XI.C é muito prática. Para xplorar o su podr, prcisamos scrvr, analogamnt, os stados quânticos. Associamos o auto-stados d bas, kdos a dois vtors-coluna lmntars: [ ] 1 [ ] =, (15) 0

15 [ ] = [ 0 1]. (153) Aqui, como na notaçõ [S z ], os colchts qurm dizr a matriz qu rprsnta. Assim, [ ] é a matriz qu rprsnta. S multiplicarmos a matriz qu rprsnta um oprador A pla matriz qu rprsnta um stado α, obtrmos a matriz qu rprsnta A α. D forma análoga, introduzimos vtors-linha para rprsntar bras: [ ] = [ 1 0 ] (154) [ ] = [ 0 1 ]. (155) Agora, um lmnto d matriz α A β pod sr obtido como o produto do vtor-linha qu rprsnta α pla matriz qu rprsnta o oprador A plo vtor-coluna qu rprsnta β. Por xmplo S x = [ ] [ ] [ ] , (156) qu rsulta m S x = /. O msmo procdimnto srv para calcular lmntos d matriz mais laborados. Um stado d spin χ pod prfitamnt não sr um stado d bas. Em gral, l srá combinação linar dos dois stados d bas: χ = α + β, (157) ond α β são duas constants. A Eq. (157) pod sr facilmnt traduzida para a forma matricial: [ ] [ ] 1 0 [ χ ] = α + β, (158) 0 1 o qu quival à xprssão mais compacta [ χ ] = [ α β]. (159) Podmos agora trabalhar com o vtor à dirita na Eq. (159) como s foss o próprio stado χ. Por xmplo, s quisrmos impor a normalização d χ, podmos calcular a sua norma dirtamnt a partir da rprsntação matricial: χ χ = [ [ ] α β ] α. (160) β O produto à dirita é um númro, dado pla igualdad χ χ = α + β, (161) como podríamos sprar, a partir da Eq. (157). Como outro xmplo, podmos calcular o valor médio sprado d S y no stado χ. O spin é um obsrvávl, isto é, uma grandza física qu pod sr mdida. Há portanto intrss m s calcular o valor médio sprado d cada uma d suas componnts. No caso, qurmos calcular χ S y χ. O cálculo s rduz a dois produtos matriciais sucssivos: χ S y χ = [ ] [ α β ] α σ y (16) β Eftuado o produto d σ y plo vtor coluna à dirita na Eq. (16), podmos vr qu χ S y χ = [ [ ] α β ] iβ iα, (163)

16 assim ncontramos qu χ S y χ = i (α β αβ ). (164) O fator ntr parêntss no lado dirito da Eq. (164) é a difrnça ntr α β su complxo conjugado, isto é, a part imaginária d α β multiplicada por i. Podmos portanto rscrvr a Eq. (164) na forma χ S y χ = I(α β), (165) ond o símbolo I dnota a part imaginária. O msmo procdimnto mostra qu o valor médio sprado d S x é proporcional à part ral do produto α β: qu χ S x χ = R(α β), (166) χ S z χ = ( α β ). (167) Os lmntos d matriz podm, é claro, sr calculados dirtamnt a partir do stado quântico. O valor médio sprado d S z, por xmplo, pod sr obtido assim: portanto S z χ = S z (α + β ), (168) S z χ = (α β ). (169) Para ncontrar o lmnto d matriz dsjado, prcisamos apnas multiplicar scalarmnt os dois lados da Eq. (169) por χ : χ S z χ = (α + β )(α β ). (170) Tmos agora qu xpandir o lado dirito da Eq. (170). Uma vz qu os stados d bas são ortonormais, os quatro produtos scalars qu aparcm são nulos ou iguais à unidad. Assim, chgamos outra vz à Eq. (167). Msmo nst caso spcialmnt simpls, porém, podmos vr qu é mais xpdito computar produtos matriciais do qu trabalhar com produtos scalars d bras kts. XII. SPIN E CAMPO MAGNÉTICO A manifstação física mais vidnt do spin, aqula qu conduziu à dscobrta xprimntal do oprador S, é sua intração com o campo magnético. Para dscrvr a intração, partimos da xprssão clássica para a nrgia d um momnto magnético µ m um campo magnético B: H = µ B. (171) O momnto magnético do létron dpnd tanto d su momnto angular L como do su spin S. Por nquanto, darmos atnção apnas a st último. Vamos portanto imaginar qu l = 0, d forma qu a contribuição d L possa sr dixada d lado. Nss caso, o momnto magnético do spin é dado pla sguint xprssão, qu na mcânica quântica não-rlativística tm d sr acita como dado xprimntal: ond g, o sinal ngativo provém da carga ngativa do létron µ = gµ B S, (17) µ B = m, (173)

17 no Sistma Intrnacional. Uma vz qu µ B é muito pquno, é mais prático xprssar µ B m unidads d V Tsla: µ B = V/T. (174) Uma vz qu os campos magnéticos ncontrados m laboratório não ultrapassam algumas dznas d T, podmos vr das Eqs. (171) (174) qu a nrgia d intração ntr létrons campos magnéticos é rlativamnt pquna. É muito mnor, por xmplo, do qu a intração ltrostática ntr o létron o núclo no átomo d hidrogênio. Nm por isso, porém, dvmos ignorá-la, já qu la dá origm a fitos importants. A rssonância magnética, uma das técnicas xprimntais mais importants da Matéria Condnsada, é consquência dirta da Eq. (171). A. Enrgias O Hamiltoniano da Eq. (171) pod sr facilmnt diagonalizado. Comçamos por xprssar o campo magnético B m coordnadas sféricas r, θ φ: ( ) B = B sn(θ) cos(ϕ)î + sn(θ) sn(ϕ)ĵ + cos(θ)ˆk. (175) Com isso, m forma matricial, a Eq. (171) assum a forma [H] = µ B B(sn(θ) cos(ϕ)σ x + sn(θ) sn(ϕ)σ y + cos(θ)σ z, (176) ond o fator g foi aproximado por. Substituímos agora as matrizs d Pauli no lado dirito da Eq. (176) para obtr uma xprssão xplícita: [ cos(θ) sn(θ) ( cos(ϕ) i sn(ϕ) ) ] [H] = µ B B sn(θ) ( cos(ϕ) + i sn(ϕ) ), (177) cos(θ) ou s rcorrrmos à xprssão d Eulr, [ ] cos(θ) sn(θ) iϕ [H] = µ B B sn(θ) iϕ. (178) cos(θ) A matriz à dirita na Eq. (178) pod sr diagonalizada plo procdimnto tradicional. Os sus autovalors são 1 1. Significa qu, s a nrgia do létron no campo magnético B for mdida, os únicos rsultados possívis são µ B B µ B B. Ess rsultado é smpr o msmo, indpndnt da dirção do campo magnético B. É o qu sria d s sprar, visto qu, dado um campo magnético, o ixo ẑ smpr pod sr scolhido na dirção do campo. S isso for fito, o Hamiltoniano srá como os autovalors d σ z são 1 1, as nrgias possívis são ±µ B. H = µ B Bσ z, (179) B. Autovtors Os autovtors d H também podm sr facilmnt obtidos, mas isso (com ϕ = 0) é part da atividad dsta smana.