1 O Pêndulo de Torção

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1 Figura 1.1: Diagrama squmático rprsntando um pêndulo d torção. 1 O Pêndulo d Torção Essa aula stá basada na obra d Halliday & Rsnick (1997). Considr o sistma físico rprsntado na Figura 1.1. Ess sistma pod sr considrado como uma vrsão angular do oscilador harmônico simpls. Nss caso a lasticidad stá associada com a torção do fio d suspnsão. A torção dss fio cumpr um papl similar a comprssão da mola no sistma massa mola, ou do dslocamnto d um pêndulo simpls m rlação a sua posição d quilíbrio. S o sistma for girado d um ângulo θ m rlação à sua posição d quilíbrio, ag sobr l uma força do tipo rstauradora na forma τ = θ, (1.1) sndo τ o torqu dvido a lasticidad do fio, uma constant dnominada d constant d torção, qu dpnd tanto das propridads gomtricas como comprimnto diâmtro do fio como das propridads físicas dl, coo o matrial d qu é composto. A comparação dssa quação com a quação qu rg o movimnto d um sistma massa mola nos lva a suspitar qu la é a vrsão angular da li d Hook. Dssa fita, a constant d distorção cumpriria o msmo papl da constant lástica da mola, a massa da mola sria substituída plo momnto d inércia do sistma. Como o torqu dscrito na Equação 1.1 ag da msma forma qu uma força rstauradora, pod-s admitir qu o disco passa a oscilar m um movimnto harmônico simpls angular m torno da posição d rfrência. D fato, a quação difrncial grada pla Equação 1.1 é do tipo d um movimnto harmônico simpls, pois τ = α = d θ dt = θ, 1

2 Figura 1.: Diagrama squmático do sistma do Exmplo 1. ou, d θ dt θ = 0 d θ dt θ = 0. Comparando-a com a quação do sistma massa-mola, d x dt k m x = 0, pod-s concluir qu a quação qu dscrv ss movimnto é xprssa na forma θ = θ m cos (ωt φ), sndo ω = a frquência angular dss sistma. Para tornar sts concitos mais vidnts considr os Exmplos 1. Exmplo 1. Calcul o príodo d oscilação d um pêndulo d torção cuja bas sja uma chapa mtálica d massa M =1kg, dimnsõs a = 10cm b = 15cm, s a constant d torça do sistma é = 150 Nm rad. O sistma stá rprsntado na Figura 1..

3 Solução: basta aplicar a dfinição. ω = π T = π T = T = π T = π T = π = π M 1 = π (a b ) (1kg) 1 [(10 10 m) (15 10 m) ] = π = s. 150 Nm rad Exmplo. Considr qu um bastão fino d comprimnto L = 1.4cm d massa m = 135g stá suspnso por um fio a partir d su ponto médio, conform ilustrado na Figura 1.3(a). O príodo T a do su movimnto harmônico simpls angular é.53 sgundos. O objto d forma irrgular X é suspnso plo msmo fio, conform ilustrado na Figura 1.3(b) su príodo é 4.76 sgundos. Qual é o momnto d inércia rotacional do objto X m torno d su ixo d suspnsão? Solução: para rsolvr ss problma, basta dtrminar a constant d torção do fio plo príodo do bastão aplicar tal rsultado para dtrminar o momnto d inércia do objto X mdiant o conhcimnto d su príodo d oscilação. 3

4 Figura 1.3: Diagrama squmático rprsntando o bastão objto irrgular X suspnsos plo msmo fio rfrnts a um Exmplo. Font: Halliday & Rsnick (1997) Daí, Então, do príodo do bastão, dtrmina-s : T a = = T a = ml 1 ml 1 ( ) ml = Ta 1 ( kg ) ( m ) (.53s) = Nm = rad. T b = 1 Tb = = Tb Nm rad = (4.76s) = kgm. 4

5 Rprsntação Ral Binômia do MHS. O movimnto harmônico simpls pod sr considrado como a part ral da solução complxa da quação difrncial: x = x m i(ωtφ). Para s vrificar isso, srá prciso rlmbrar a xpansão m séri d McLaurin d funçõs m torno d uma posição d rfrência x 0 : f (x) = i=0 f n (0) x n, n! sndo f n (0) a n-ésima drivada da função f aplicada m 0, n! = n (n 1) (n ) Vjamos a aplicação dssa xpansão a função cossno: [ ] [ ] [ ] [ d cos (0) cos x = x 0 dx cos (x)] d d x 1 dx cos (x) 3 d x dx cos (x) 4 3 x 3 dx cos (x) 4 0! 1!! 3! 4! cos (0) sin (0) cos (0) = (1) x x sin (0) x 3 cos (0) x = x x4... = 1 1 x 1 4 x4... Já a aplicação a função sno gra sin (0) sin x = x 0 0! cos (0) = 0 x 1 [ d sin (0) x = 0 x x3 0x 4... = x x3 6 x dx sin (x)] x 1 1! cos (0) x 3 6 [ ] d dx sin (x)! sin (0) 4 x4... [ ] d 3 x dx sin (x) 3 3! [ ] d 4 x 3 dx sin (x) 4 4! x 4... x

6 Agora, vjamos a aplicação a função xponncial complxa: [ [ [ d ix = i(0) x 0 dx ix] d x 1 dx ix d ] 3 x dx ] ix 3 x 3 0! 1!! 3! = 1 ii(0) 1 x i i(0) = 1 ix 1 x i i (1) 6 x3 i i (1) 4 = 1 ix 1 x i 1 6 x3 1 4 x4 i 1 10 x5... = 1 1 x 1 4 x4... i = cos (x) i sin (x). Então, x i3 i(0) x 3 i4 i(0) 6 4 x4 i5 i(0) 10 x5... x 4 ii i (1) x ( x 1 6 x x5... i(ωtφ) = cos (ωt φ) i sin (ωt φ) x m i(ωtφ) = x m cos (ωt φ) ix m sin (ωt φ). Ou sja, a solução da quação difrncial do movimnto harmônico simpls é a part ral da função x = x m i(ωtφ). Pod-s aprovitar ss rsultado para incluir as sguints rlaçõs adicionais: ) [ d 4 dx ] ix 4 x ! { { ix = cos x i sin x ix ix = cos x i sin x = cos ( x) i sin ( x) ix = cos (x) i sin (x) { ix ix = (cos x i sin x) (cos (x) i sin (x)) ix ix = (cos (x) i sin (x)) (cos (x) i sin (x)) { ix ix = cos x cos (x) i sin x i sin (x) ix ix = cos (x) i sin (x) cos (x) i sin (x) { ix ix = cos x ix ix = cos (x) cos (x) i sin (x) i sin (x) { { cos x = ix ix cos x = ix ix ix ix = i sin (x) sin (x) = ix ix i (.1) As duas quaçõs finais são chamadas d rlaçõs d Eulr, são bastant rcorrnts no studo d sistmas harmônicos simpls d quaçõs difrnciais. Rfrências Halliday, David, & Rsnick, Robrt Fundamntos d física. n: Fundamntos d Física. Compañía Editorial Continntal. 6