A energia cinética de um corpo de massa m, que se desloca com velocidade de módulo v num dado referencial, é:

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1 nrgia no MHS Para studar a nrgia mcânica do oscilador harmônico vamos tomar, como xmplo, o sistma corpo-mola. A nrgia cinética do sistma stá no corpo d massa m. A mola não tm nrgia cinética porqu é uma mola idal qu, além d obdcr a li d Hook, tm massa dsprzívl. Por outro lado, tomando o nívl d rfrência para a nrgia potncial gravitacional na altura do cntro d gravidad do corpo d massa m, a nrgia potncial gravitacional do sistma é nula. ontudo, xist uma nrgia potncial lástica, associada localizada na mola. Lvando m conta qu sta nrgia potncial lástica é dada por: P kx qu, para um oscilador harmônico: x(t) sgu-s qu: A cosωt P ka cos ωt A nrgia cinética d um corpo d massa m, qu s dsloca com vlocidad d módulo v num dado rfrncial, é: mv como, para um oscilador harmônico: tmos: v(t) Aωsnωt ma ω sn ωt ntrtanto, para o sistma corpo-mola, m particular, val a rlação k mω. Por isso: ka sn ωt Da Trigonomtria, sabmos qu: sn ω t+ cos ωt, portanto, a soma da nrgia cinética com a nrgia potncial lástica, isto é, a nrgia mcânica total do sistma corpo-mola, fica: ka

2 sta xprssão mostra qu a nrgia mcânica total do sistma corpo-mola dpnd da constant d lasticidad da mola do quadrado da amplitud do movimnto do corpo. A nrgia cinética do corpo prso à mola a nrgia potncial lástica da mola variam com o tmpo. ontudo, a nrgia mcânica total do sistma corpo-mola não dpnd do tmpo, ou sja, é constant. A Fig. mostra os gráficos da nrgia cinética (linha contínua), da nrgia potncial lástica (linha pontilhada) da nrgia total (linha tracjada) m função d ωt. Uma vz qu: π ωt sta figura aprsnta os rfridos gráficos para o intrvalo d tmpo corrspondnt ao príodo do movimnto. A partir daí, as formas dos gráficos s rptm priodicamnt. A Fig. (abaixo) mostra algumas configuraçõs do sistma corpo-mola. As linhas vrticais pontilhadas são para rfrência. A linha indicada por A stá associada ao stado m qu a mola stá comprimida o corpo, parado no rfrncial considrado. A linha indicada por 0 stá associada ao stado m qu a mola stá com su comprimnto d quilíbrio o corpo, com vlocidad d módulo máximo. A linha indicada por + A stá associada ao stado m qu a mola stá distndida o corpo, parado. As flchas indicam o módulo o sntido da vlocidad instantâna do corpo nas configuraçõs corrspondnts. m t (Fig.(a)), o sistma s ncontra na configuração corrspondnt a mola comprimida com uma longação x A o corpo parado. Nsta configuração: P ka ntão (Fig.(b)), o corpo adquir uma aclração positiva causada pla força qu a mola xrc sobr l, a nrgia potncial da mola diminui nquanto qu a nrgia cinética do corpo aumnta.

3 m t π/ω (Fig.(c)), o sistma alcança a configuração m qu a mola tm longação nula a vlocidad do corpo tm módulo máximo. Nsta configuração: P ka ntão (Fig.(d)), o corpo adquir uma aclração ngativa causada pla força qu a mola xrc sobr l, sua nrgia cinética diminui nquanto qu a nrgia potncial da mola aumnta. m t π/ω (Fig.()), o sistma alcança a configuração m qu a longação da mola val x A o corpo stá parado. Nsta configuração: P ka

4 D t π/ω até t π/ω T (Fig.(f), (g), (h) (a)), o movimnto s rpt com o corpo s dslocando m sntido contrário. m t π/ω T, o sistma alcança a msma configuração qu m t. Daí por diant, o movimnto s rpt priódica indfinidamnt. S xist atrito ntr o corpo a suprfíci horizontal m qu l s apóia, uma part da nrgia mcânica total do sistma corpo-mola s transforma m nrgia intrna no corpo na suprfíci horizontal a cada oscilação. A tmpratura do corpo a tmpratura da suprfíci aumntam. Dsta forma, o movimnto do corpo é amortcido. Para qu o movimnto do corpo não sja amortcido, isto é, para qu a nrgia mcânica do sistma corpo-mola sja constant, dv xistir uma font xtrna qu fornça nrgia mcânica para o sistma a uma taxa igual à taxa com qu sua nrgia mcânica s transforma m nrgia intrna. Para o pêndulo simpls, a discussão é compltamnt análoga. S scolhrmos o nívl d rfrência para a nrgia potncial gravitacional (zro gravitacional) na altura m qu s ncontra a partícula qu faz part do pêndulo simpls quando st s ncontra na vrtical (Fig.3), a discussão s torna idêntica. Assim, por xmplo, na configuração m qu a partícula tm longação máxima ngativa, isto é, quando x A, a sua nrgia cinética é nula nquanto qu a nrgia potncial gravitacional do sistma partícula-trra é máxima igual à nrgia mcânica total. Na configuração m qu a partícula tm longação nula, isto é, quando x, a nrgia cinética da partícula é máxima igual à nrgia mcânica total a nrgia potncial gravitacional do sistma partícula-trra é nula. Na configuração m qu a partícula tm longação máxima positiva, isto é, quando x A, a sua nrgia cinética é nula nquanto qu a nrgia potncial gravitacional do sistma partícula-trra é máxima igual à nrgia mcânica total. Nas configuraçõs intrmdiárias, a partícula tm aclração positiva ou ngativa, conform o caso, tndo ntão nrgia cinética não nula difrnt da

5 nrgia mcânica total, d modo qu o sistma partícula-trra tm crta nrgia potncial gravitacional também não nula. No sistma corpo-mola, a nrgia cinética, quando xist, stá localizada no corpo a nrgia potncial lástica, quando xist, stá localizada na mola. No pêndulo simpls, a nrgia cinética, quando xist, stá localizada na partícula qu faz part do pêndulo, mas não podmos dizr qu a nrgia potncial stá associada a ss ou àqul corpo. la dv star associada ao sistma partícula-trra como um todo, distribuída ntr as parts qu o constitum, já qu dpnd da massa da partícula, da massa da Trra da distância rlativa ntr las. xrcício Um corpo d massa m kg oscila sobr uma msa horizontal, sm atrito, prso a uma mola horizontal d constant lástica k 0 N/m. A amplitud das oscilaçõs é d 0 cm. A partir dsss dados, calcul (a) a nrgia cinética máxima do corpo (b) a nrgia potncial lástica máxima da mola. xrcício Um bloco prso a uma mola apoiado sobr uma suprfíci horizontal sm atrito tm um MHS com amplitud d 0,5 m ao rdor do ponto 0 d quilíbrio (Fig.4). onsidr qu, na situação mostrada, o comprimnto da mola stá diminuindo. (a) Dsnh flchas para indicar a vlocidad a aclração do corpo a força qu a mola xrc sobr l. (b) Indiqu as posiçõs do corpo m qu são máximas as nrgias cinética potncial. (c) Idntifiqu a qu lmnto ou lmntos do sistma corpo-mola podmos atribuir a nrgia cinética a nrgia potncial. xrcício 3 Discuta como as sguints propridads d um oscilador harmônico simpls são aftadas pla duplicação da amplitud: (a) príodo, (b) nrgia mcânica total, (c) módulo máximo da vlocidad (d) módulo máximo da aclração.

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