Análise Matemática IV

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1 Anális Matmática IV Problmas para as Aulas Práticas Smana 7 1. Dtrmin a solução da quação difrncial d y d t = t2 + 3y 2 2ty, t > 0 qu vrifica a condição inicial y(1) = 1 indiqu o intrvalo máximo d dfinição da solução. Sugstão: Considr a mudança d varávl v = y/t. Rsolução: Fazndo v = y, ou sja y = tv, obtmos t d dt (tv(t)) = t2 + 3(tv) 2 2t(tv) v + tv = 1 + 3v2 2v A quação é sparávl, pod sr scrita na forma 2v 1 + v 2 v = 1 t d dt ( 2v 1 + v 2 dv ) = 1 t log(1 + v 2 ) = log t + c plo qu v 2 (t) = kt 1 Dsfazndo a mudança d variávl y 2 (t) = t 2 (kt 1) dado qu y(1) = 1 < 0, a solução do PVI é y(t) = t 2 (2t 1) Para calcular o intrvalo máximo d solução, not-s qu, a quação difrncial faz sntido s t 0 y(t) 0. Então, o intrvalo máximo d solução, I, srá o maior intrvalo vrificando Visto t 0 = 1 I 0 I y(t) 0 para todo t I. conclui-s qu I =] 1 2, [. y(t) = 0 t = 0 ou t = 1 2

2 Anális Matmática IV 2 2. Dtrmin a solução do problma d Cauchy 3t 2 + 4tx + (2x + 2t 2 )x = 0, x(0) = 1 sclarça qual é o su intrvalo máximo d xistência. Rsolução: Not-s m primiro lugar qu a quação não é linar nm sparávl. Rsta-nos invstigar s srá uma quação xacta (ou rduívl a xacta). A quação é da forma m qu M(t, x) + N(t, x) dx dt = 0 M(t, x) = 3t 2 + 4tx, N(t, x) = 2x + 2t 2 Dado qu ambas as funçõs são polinomiais, srão d class C 1 m R 2, x = 4t = N t concluimos qu s trata d uma quação xacta, plo qu xist Φ(t, x) : R 2 R, tal qu Φ = (M, N) Φ(t, x) = C dfin implicitamnt a solução da quação difrncial. Para calcular Φ t = 3t2 + 4tx Φ(t, x) = (3t 2 + 4tx) dt = t 3 + 2t 2 x + c(x) Por outro lado Tm-s ntão qu x = N(t, x) 2t2 + c (x) = 2x + 2t 2 Φ(t, x) = t 3 + 2t 2 x + x 2 = C c(x) = x 2 + c dfin implicitamnt a solução da quação difrncial. Dado qu x(0) = 1, conclui-s qu C = 1, atndndo a qu N(0, 1) = 2 0 t 3 + 2t 2 x + x 2 1 = 0 dfin implicitamnt a solução do PVI para t numa vizinhança da condição inicial t 0 = 0. Rsolvndo a quação m ordm a x, obtmos a solução xplícita do PVI Fazndo o studo da função x(t) = t 2 + t 4 t p(t) = t 4 t conclui-s qu p tm dois xtrmos locais m t = 0 t = 3. Visto p sr um polinómio d 4 grau 4 (o qu implica lim p(t) = + ) podmos concluir qu um dls é ncssáriamnt t ± um mínimo absoluto. Fazndo as contas conclui-s qu o minimizant é 3, plo qu 4 ( 3 ) 4 ( 3 ) 3 t 4 t > para todo t R, plo qu o intrvalo máximo d solução é R.

3 Anális Matmática IV 3 3. Considr a quação difrncial y x + ( y 3 log x ) dy (1) a) Vrifiqu qu (1) tm um factor intgrant da forma µ = µ(y) dtrmin-o. b) Prov qu as soluçõs d (1) são dadas implicitamnt por Φ(x, y) = C, ond C é uma constant arbitrária Φ(x, y) = 1 2 y2 + 1 y log x c) Dtrmin a solução d (1) qu satisfaz a condição inicial y(1) = 2. Rsolução: (a) Sndo M(x, y) = y x, N(x, y) = y 3 log x é óbvio qu y = 1 x N x = 1 x plo qu trmos qu invstigar a xistência d um factor intgrant. Vamos avriguar s xistirá µ(y) (como sugrido, tal qu a quação µ(y) y x + µ(y) ( y 3 log x ) dy é xacta, isto é vrifica ( µ(y) y ) = (µ(y) ( y 3 log x ) ) y x x Efctuando as drivadas µ (y) y x + µ(y) 1 x = µ(y) 1 x para x 0, y 0 obtmos plo qu, rsolvndo a quação é um factor intgrant da quação. (b) Por construção, a quação µ (y) = 2 y µ(y) µ(y) = y 2 1 log(x) + (y )y = 0 xy y 2 é xacta, plo qu xist Φ : D R 2 R vrifcando Φ(x, y) = ( 1 xy, y log(x) y 2 )

4 Anális Matmática IV 4 Φ(x, y) = C dfin implicitamnt a solução da quação difrncial. Para calcular Φ finalmnt y = y log(x) y 2 x = 1 xy Φ(x, y) = 1 log x + c(y) y 1 y 2 log x + c (y) = y log(x) y 2 Φ(x, y) = 1 y log x + y2 2 = C c(y) = y2 2 + c dfin implicitamnt a solução da quação difrncial como s quria mostrar. (c) Dado qu y(1) = 2, tm-s C = 1, visto N(1, 2) = 2 2 0, o Torma da função Implícita garant xistência unicidad d solução do PVI, dfinida pla quação para x numa vizinhança d x 0 = Considr a quação difrncial 1 y2 log x + y 2 1 = 0 dy dx = y 4y 2 + 2x a) Mostr qu sta quação tm um factor intgrant µ = µ(y). b) Dtrmin a solução qu satisfaz a condição inicial y(1) = 1. c) Dtrmin o intrvalo máximo d xistência da solução qu calculou na alína antrior. Rsolução: (a) A quação pod sr scrita na forma Fazndo é óbvio qu y + (4y 2 + 2x) dy M(x, y) = y, N(x, y) = 4y 2 + 2x y = 1 N x = 2 plo qu trmos qu invstigar a xistência d um factor intgrant. Vamos avriguar s xistirá µ(y) (como sugrido), tal qu a quação é xacta, isto é vrifica µ(y)y + µ(y) ( 4y 2 + 2x ) dy ( ) µ(y)y = (µ(y) ( 4y 2 + 2x ) ) y x

5 Anális Matmática IV 5 Efctuando as drivadas para y 0 obtmos µ (y)y + µ(y) = 2µ(y) µ (y) = 1 y µ(y) plo qu, rsolvndo a quação é um factor intgrant da quação. (b) Por construção, a quação µ(y) = y y 2 + (4y 3 + 2xy)y = 0 é xacta, plo qu xist Φ : R 2 R vrifcando Φ(x, y) = (y 2, 4y 3 + 2xy) Φ(x, y) = C dfin implicitamnt a solução da quação difrncial. Para calcular Φ finalmnt x = y2 Φ(x, y) = xy 2 + c(y) y = 4y3 + 2xy 2xy + c (y) = 4y 3 + 2xy c(y) = y 4 + c Φ(x, y) = xy 2 + y 4 = C dfin implicitamnt a solução da quação difrncial. Dado qu y(1) = 1, tm-s qu C = 2. Por outro lado N(1, 1) = 6 0, o Torma da Função Implícita garant a xistência d solução única do PVI, dfinida por para x numa vizinhança d x 0 = 1. xy 2 + y 4 2 = 0 (2) (c) Para calcular o intrvalo máximo d solução, not-s qu, rsolvndo a quação (5) m ordm a y x + x y(x) = (ond as scolhas dos ramos das raízs foi basado no facto d a condição inicial y 0 = 1 > 0). Dado qu x + x > 0, x R tm-s qu o intrvalo máximo d solução é R. 5. a) Dtrmin m qu condiçõs uma quação da forma M(t, x) + N(t, x)x = 0 admit um factor intgrant qu é uma função d t, isto é, da forma µ(t), para uma crta função ral d variávl ral µ, scrva uma quação difrncial ordinária satisfita por µ.

6 Anális Matmática IV 6 b) Considr a quação difrncial ordinária x t sn(t) + x = 0 (3) Mostr qu a quação não é xacta. Us o rsultado da alína (a) para dtrminar a solução da quação (3) qu satisfaz a condição inicial x(π) = 1. Indiqu o intrvalo máximo d dfinição da solução obtida. Rsolução: (a) A quação M(t, x) + N(t, x)x = 0 admit um factor intgrant qu é função d t, s consguirmos ncontrar uma função µ(t) tal qu a quação µ(t)m(t, x) + µ(t)n(t, x)x = 0 é uma quação xacta. Para tal ( ) µ(t)m(t, x) = ( ) µ(t)n(t, x) x t Efctuando as drivadas µ(t) x = µ(t) N t + µ (t)n o qu é quivalnt a ( µ x (t) = N ) t µ(t) (4) N Dado qu por construção, µ é uma função d t, para qu xista um factor intgrant qu só dpnda d t, é ncssário qu a função N x t N não dpnda d x. S tal acontcr, a quação (4) é a quação difrncial vrificada por µ(t). (b) Considrando qu M(t, x) = x t sn(t), N(t, x) = 1 é óbvio qu Para o nosso caso x = 1 t N x t N t = 0 = 1 N t qu obviamnt não dpnd d x, plo qu, usando (4) o factor intgrant vrifica µ (t) = 1 µ(t) µ(t) = t t

7 Anális Matmática IV 7 Por construção, a quação x t sn t + tx = 0 é xacta, plo qu xist Φ : R 2 R vrifcando Φ(t, x) = (x t sn t, t) Φ(t, x) = C dfin implicitamnt a solução da quação difrncial. Para calcular Φ finalmnt t = x t sn t Φ(t, x) = xt + t cos t sn t + c(x) x = t t + c (x) = t c(x) = c Φ(t, x) = xt + t cos t sn t = C dfin implicitamnt a solução da quação difrncial. Dado qu x(π) = 1, tm-s qu C = 0. Por outro lado N(π, 1) = 1 0, o Torma da Função Implícita garant a xistência d solução única do PVI, dfinida por xt + t cos t sn t = 0 (5) para x numa vizinhança d t 0 = π. Rsolvndo a quação m ordm a x obtm-s x(t) = t cos t + sn t t plo qu o intrvalo máximo d solução srá ]0, [. 6. Considr o problma d valor inicial: ( ) 1 y 2 x + log x y() = 1 + 2y log x dy Obtnha xplicitamnt a solução dst problma dtrmin o su intrvalo máximo d dfinição. Rsolução: Trata-s d uma quação da forma M(x, y) + N(x, y)y = 0, com M(x, y) = y 2 ( 1 x + log x) N(x, y) = 2y log x. Tmos qu y = 2y x + 2y log x N x = 2y x, plo qu a quação não é xacta. µ = µ(x, y), obtém-s: Multiplicando a quação por um factor intgrant µ(x, y)m(x, y) + µ(x, y)n(x, y)y = 0.

8 Anális Matmática IV 8 Para qu sta quação sja xacta, µ dvrá vrificar o qu é quivalnt a ( ) ( 1 µ 2y y 2 x + log x y + µ x ou, ainda: y 2 ( 1 x + log x ) µ y y (µm) = x (µn), ) + 2y log x = 2y log x µ x + µ2y x, 2y log x µ x = 2y log xµ (6) Parc pois provávl a xistência d um factor intgrant dpndnt apnas d x. D facto, admitindo qu µ = µ(x), ntão µ µ = 0, = y y µ (x), plo qu a quação (6) rduz-s a: µ = µ. Podmos ntão tomar µ(x) = x. Dsta forma, a quação: x ( 1 x + log x ) y 2 + 2y x log x dy é xacta, portanto xist F (x, y) tal qu sta msma quação s pod scrvr: d F (x, y(x)) = 0. dx F é ntão o potncial do campo gradint ( x ( 1 x + log x) y 2, 2y x log x ). Assim sndo: Intgrando (m ordm a y), obtém-s: Por outro lado, como F x = y2 x F y = 2yx log x. F (x, y) = y 2 x log x + h(x). (7) ( ) ( ) 1 1x x + log x + h (x) = x + log x y 2, tmos h (x) = 0, plo qu s pod tomar h(x) = 0 m (7). A solução gral da quação difrncial é ntão dada implicitamnt por: y 2 x log x = C, com C R. Da condição inicial y() = 1, rsulta qu C =. Como log x 0 para x numa vizinhança d, podmos dividir por x log x obtr (scolhndo o sinal d acordo com a condição inicial): y(x) = x log x = x log x. (8) Esta xprssão dfin uma função continuamnt difrnciávl m ]1, + [ é quivalnt à forma implícita da solução, nss intrvalo. D acordo com (8), tmos qu a solução xplod quando x 1, plo qu ]1, + [ é msmo o intrvalo máximo d solução.

9 Anális Matmática IV 9 7. Considr a quação difrncial ordinária ( 4x 2 y + 3xy 2 + 2y 3) + ( 2x 3 + 3x 2 y + 4xy 2) dy (9) a) Mostr qu (9) tm um factor intgrant do tipo µ = µ(xy). b) Mostr qu a solução d (9) com condição inicial y( 1) = 1 é dada implicitamnt pla xprssão x 4 y 2 + x 3 y 3 + x 2 y 4 = 1. c) Dtrmin o polinómio d Taylor d sgunda ordm, no ponto 1, da solução dada implicitamnt na alína antrior. Rsolução: (a) Admitindo qu a quação (9) admit um factor intgrant do tipo µ = µ(xy), tm-s qu µ(xy) ( 4x 2 y + 3xy 2 + 2y 3) + µ(xy) ( 2x 3 + 3x 2 y + 4xy 2) dy é uma quação xacta, plo qu ( µ(xy) ( 4x 2 y + 3xy 2 + 2y 3) ) = (µ(xy) ( 2x 3 + 3x 2 y + 4xy 2) ) y x ou sja µ (xy)x ( 4x 2 y + 3xy 2 + 2y 3) + µ(xy)(4x 2 + 6xy + 6y 2 ) = µ (xy)y ( 2x 3 + 3x 2 y + 4xy 2) + µ(xy)(6x 2 + 6xy + 4y 2 ) Fazndo v = xy, obtm-s ntão Por construção a quação µ (v) = 1 µ(v) µ(v) = v µ(xy) = xy v xy ( 4x 2 y + 3xy 2 + 2y 3) + xy ( 2x 3 + 3x 2 y + 4xy 2) dy é xacta, plo qu xist Φ : R 2 R tal qu Φ(x, y) = (4x 3 y 2 + 3x 2 y 3 + 2xy 4, 2x 4 y + 3x 3 y 2 + 4x 2 y 3 ) Φ(x, y) = C dfin implicitamnt a solução da quação. Para calcular Φ, x = 4x3 y 2 + 3x 2 y 3 + 2xy 4 Φ(x, y) = x 4 y 2 + x 3 y 3 + x 2 y 4 + c(y) y = 2x4 y + 3x 3 y 2 + 4x 2 y 3 2x 4 y + 3x 3 y 2 + 4x 2 y 3 + c (y) = 2x 4 y + 3x 3 y 2 + 4x 2 y 3 o qu implica c(y) = c. Tm-s ntão Φ(x, y) = x 4 y 3 + x 3 y 3 + x 2 y 4 = C

10 Anális Matmática IV 10 dfin implicitamnt a solução da quação difrncial. Finalmnt, visto y( 1) = 1 N( 1, 1) = 3 0, o Torma da Função Implícita garant a xistência d solução única d (9) dfinida por x 4 y 2 + x 3 y 3 + x 2 y 4 1 = 0 para x numa vizinhança d x 0 = 1 como s quria mostrar. (c) O polinómio d Taylor d sgunda ordm pdido, srá P 2 (x) = y( 1) + y ( 1)(x + 1) + y (x + 1)2 ( 1) 2 É dado qu y( 1) = 1, atndndo a qu y (x) = 4x2 y + 3xy 2 + 2y 3 2x 3 + 3x 2 y + 4xy 2 para todo (x, y) m R 2 qu não anul 2x 3 + 3x 2 y + 4xy 2, tm-s m particular qu Finalmnt, drivando (10) m ordm a x y ( 1) = 4x2 y + 3xy 2 + 2y 3 2x 3 + 3x 2 y + 4xy 2 (x,y)=( 1,1) = 1 y (x) = (8xy + 4x2 y + 3y 2 + 6xyy + 6y 2 y )(2x 3 + 3x 2 y + 4xy 2 ) (2x 3 + 3x 2 y + 4xy 2 ) 2 (4x2 y + 3xy 2 + 2y 3 )(6x 2 + 6xy + 3x 2 y + 4y 2 + 8xyy ) (2x 3 + 3x 2 y + 4xy 2 ) 2 Sabndo qu s x = 1, y = 1 y = 1, tm-s ntão y ( 1) = 6 (x + 1)2 P 2 (x) = 1 (x + 1) 6 2 = 2 7x 3x 2