Matemática C Extensivo V. 7

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1 Matmática C Extnsivo V 7 Exrcícios 0) 0 0) D 0 Falsa B A Vrdadira A + B Vrdadira A B Vrdadira dt ( A) dt (A) 9 ( ) 9 dt (B) Vrdadira A A a) Falsa Tom A B Então, A B 0, mas A 0 B 0 b) Falsa dt (A) dt (A) 8 dt A, pois a ordm d A é igual a c) Falsa Tom A B como m a) C Então, AB 0 AC, mas B C d) Vrdadira Plas propridads d matrizs 0 0 ) Falsa Tom A 0 0 B 0 0 Então, dt A dt B, ou sja, dt A + dt B, 0 0 mas dt (A + B) dt ) 0 Falso Com os prços mil, mil mil, tmos: Falso Pod-s ncontrar infinitas soluçõs 04 Vrdadira x + x 6 0 0x 0 0 x 08 Vrdadiro Not qu a ª linha é soma da ª com a ª, com isso, o dtrminant dssa matriz é zro, ou sja, la não possui invrsa 04) B x 0 a) Falso S B A, ntão dt B dt (A ) dt A b) Vrdadira c) Falso Tom A 0 0 B Então, dt A dt B, mas dt A dt B d) Falso Tom A B 0 0 Então, dt A dt B, mas dt (A + B) 8 ) Falso dt (A) dt A, pois a ordm d A é 0) A A dt A ay + bz + cx az bx cy A x(c b) + y(a c) + z(b a) B dt B my + nz + px nx py zm B x(p n) + y(m p) + z(n m) Então, a+ m+ b+ n+ c+ p+ x y z z [a + m + (b + n + )] + + y [c + p + (a + m + )] + + x [b + n + (c + p + )] [z(a b) + z(m n) + y(c a) + y(p m)+ + x(b c) + x(n p)] ( xc ( b) + y( c a) + za ( b) ) xp ( n)+ y( m p)+ zn ( m) ( ) ( A B) A B Matmática C

2 06) E 07) A dt (M) + dt (M) + dt (M) dt (M) + dt (M) + dt (M) a) Vrdadira Plas propridads d matrizs b) Falsa A é matriz não pod sr scrita como ( dt A) ( cof A) c) Falsa Tom n, A 0 B , ntão A B 0 0 0, mas A 0 B d) Falsa Tom A, B 0 08) C Então, (A B) , mas 0 A AB + B 0 ) Falsa S a matriz é d ordm n k R, ntão dt (k A) k n dt (A), para todo k R Vamos substituir log por x Então, log 0 log 0 log + log 0 x + Plo msmo raciocínio, log 00 x + Assim, dt M log log 0 log 00 (log ) (log 0) (log 00) 7 x x+ x + x ( x+ ) ( x + ) 7 [ x [ x+ ( x+ ) ]+( x+ ) [ x ( x+ ) ]+ + ( x+ ) [ x+ x ] + ( + + )( 7 x x x )+ ( x + 4x+ 4) 7 x + 4x + 4 x 4x 7 4 Logo, d M dt M 4 09) x Tmos d tr x tal qu: 0 x 0 x x 0 0 x 0 + x 0 x, ou sja, x x ±, ou sja, { } {, } { } Logo, x 0) a) X A B b) X B (A C) c) X A B a) X B A X B B A B X I A B X A B b) BX + C A BX + C C A C BX + 0 A C BX A C B BX B (A C) IX B (A C) X B (A C) c) A X B (A ) A X (A ) B I X A B X A B ) a) x ± y 0 π π xy b) A y π xy x π xy π π xy a) Para sr ortogonal, x y dvm satisfazr: x 0 x y y x x ± x xy xy y xy 0 xy 0 y + y 0 x ± y 0 b) Para sr ortogonal, tmos qu tr x y satisfazndo: π x π y y π x π 0 0 π + x π + x π( x+ y) 0 π( x+ y) y + π 0 π( x+ y) 0 π + y x π < 0, mas x Rqu satisfaz ssa quação π( y+ x) 0 y π < 0, mas y Rqu satisfaz ssa quação Como não xistm x, y R qu satisfaçam a ª a ª quação, o conjunto solução é vazio, ou sja, x, y R qu tornam a matriz ortogonal Matmática C

3 sn θ ) T cos θ ) D 4) B T sn θ cos θ cos θ sn θ cos θ sn θ dt T sn θ + cos θ 0 sn θ cos θ T sn θ cos θ cos θ sn θ cos θ sn θ Vja a rgra dada na obsrvação da pág 4 Como A é a invrsa d A, tmos: A A I x x x x x x x + 0 x Not qu dt A Então, A dt A a T Matriz dos cofators ) k 0, k, k, k ±, ± 6) C k tm d sr tal qu, quando o substituirmos na matriz, la fiqu com duas colunas (ou linhas) iguais Logo, ao tntarmos dixar as colunas, iguais à coluna 4, obtmos k, k ±, k, rspctivamnt Por outro lado, ao tntarmos dixar a ª a ª coluna iguais, obtrmos k 0 k Por fim, s tntarmos igualar a ª a ª coluna, obtmos k Portanto, a solução final é dada por: S {,, 0,,,, } dt A sn x 0 dt A sn x log 0 log sn x Então, dt A 0 sn x log 0 0 sn x log 0 0 sn x log 0 log 0 0 log0 sn x log0 Mas not qu, s t log 0, ntão 0 t, logo 0 < t <, ou sja, t > Mas t log, assim, sn x >, o qu 0 é absurdo, pois 0 sn x para todo x R Portanto, dt A 0 para todo x R,, com isso, A possui invrsa para qualqur x R 7) 9 4 8) C 9) A Como C A B, tmos qu dt (C) dt (A B) dt (C) dt A dt A dt B 8dt C dt C 9 4 Como B xa, ntão dt B dt (xa) dt B t x dt A 8 x 7 x x (lmbr-s d qu dt B dt B t ) Como dt A, tmos qu: dt A dt (A) + dt (A) + dt (4A) dt A + dt A + dt A + 4 dt A dt A + 4 dt A + 9 dt A + 6 dt A 0 dt A 0 90 Matmática C

4 0) 0 0 Falso S A [ ] B, podmos tr AB [ ] [ ] 0 Vrdadiro (A t ) t A 04 Falso S A 0 B 0 0, tmos qu dt A dt B 0, mas dt (A + B) ) Falso A + B não é possívl s m n m k 6 Falso dt (ka) k m dt A Como B 4 4, plo torma d Laplac, 4 4 dt B ( ) + + ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) () + ( ) + ( 4)( 0) Assim, dt C dt A B dt A dt B , portanto: dt C dt C 64 ) D Como A, dt A dt A Como D, dt D Assim, do fato d A B A D, tmos qu: dt (A B A) dt D, ou sja, dt A dt B dt A dt D dt B ( ) dt B ) E Plas propridads d dtrminants, dt A ou sja, dt A k 4) São vrdadiras: a c a) Vrdadira A + B b) Falsa S A B a b C, ntão C A B c d 0 0 ou sja, b, logo b 8 c) Vrdadira Como dt A, dt A t d) Falsa A matriz invrsa d B é B dt B 0 0, assim, a d Logo, a d ( ) ) Falsa S C, AC B ) S { } dt A, Para qu x m + y m + + z + t 0 sja uma quação linar d duas incógnitas, m qu z t são constants, tmos d tr: m m 4 m ± m m + m 4 m Pois prcisa qu satisfazr as duas quaçõs S { } 6) a) S {(, )} b) S {(, )} c) S {( 4/, )} d) S {(6/, /)} a) x + y 4 x( ) 4x+ y 0 x y 68 4x+ y 0 x x y 4 y S {(, )} 4 Matmática C

5 x+ y b) y x 0 x y y + y + y y y x x S {(, )} c) x y x x y x y y + x 7y x( ) x y x+ 7y 4y 4 y x 7( ) x 7+ x 4 S 4, d) y + x 7 x y 9 x 6 y 7) S {(, )} x+ y 7 x y 9 x 6 6 y 9 ( x y) + ( x+ y) 4 ( x y) + ( y x) 4 x( 8) x( ) 4( x y) 6( x + y) 4 8( x y) + ( y x) 6 4x + 8y 6x 6y 4 6x 8y+ y x 6 0x + y 4 x( ) x y 6 x( ) 0x + 0y 0 6x 0y 7 4x / 48 x y S 6, 8) C Como (, ) é solução, tmos + 4p 7q 8p 7q q ( ) q q q 8p 7 p p q 0 9) 00 Montando um sistma com as informaçõs dadas: Sja x o númro d vndas d pratos comuns y o d pratos spciais 0x+ 0y x 0y x+ y 00 x y 00 4x / 00 x 800 Assim, y 000 y 00 Logo, o númro total d pratos é ) y x + A quação d r é dada por: y 0 (x 0) 0 ) 7 y x y x + Sja x a idad d Luiza y a idad d Robrto Então: x+ y x + x+ y+ x( ) x+ y x 4 x + y 4 x( 8) x y 4 x( ) 6x 9y 7 0x+ 9y 7 + 0x 9y 7 4x / 44 x 6 Logo, a idad d Luiza daqui um ano srá 7 anos Matmática C

6 ) y 9; x Sja x a idad d Ana y a idad d Marta Então, plo nunciado, tmos: x x y y x y x 0 ( ) x+ ( y 4) x y x( ) + x 4y 0 x 9y 4 y 4 y 9 E, assim, x x 6 x Logo, Ana tm anos Marta tm 9 anos ) S {(, )} x+ y + x y x 6 x+ y x y x 0 4 ( x + y)+ ( x y) 4( x + y) ( x y) 40 x + 6y+ x y 4x + y 0x + y 40 x + 4y x 6 6x + 7y 40 x 0x + 4y 8 0x + 8y 00 09y 8 y x 8 x S {(, )} 4) B Sjam n y os valors das bicicltas Plos dados da qustão, podmos afirmar qu: x+ y 670 ( + 0% ) x+ ( % ) y 677 x+ y x 670 (, ), x+ 09, y 677, x, y 77, x+ 09, y 677 0, y 60 y , Logo, x Portanto, os valors d compra das bicicltas foram: R$ 70,00 R$ 400,00 y x+ ) a) y 4( x 6) b) 0 a) Sndo x o númro d amigos y o númro d brinds, tmos: y x + y 4( x 6) x( ) y x+ b) y 4( x 6) y x+ y 4x+ 4 0 x+ 6 x 6 Logo, o númro d amigos qu comparcu foi ) a) Não, pois faltará farinha b) Tipo A:, kg Tipo B: kg a) Como 7 kg do bolo A consom 7 0,,4 kg d farinha 8 kg do Bolo B consom 8 0,,4 kg d farinha, sriam ncssários,4 +,4 kg Logo, não é possívl produzir os bolos A B nas quantidads spcificadas b) Sndo x a quantidad m kg do bolo do tipo A y do tipo B, tmos: x 04, + y 0, 0 x 0, + y 0, 6 x ( ) x 04, + y 0, 0 x 04, y 06, 04, y y x, 7) a) 9, km b) 96 km na strada 47, km na cidad a) Sja A o rndimnto m L/km na cidad B o rndimnto m L/km na strada: 9A+ 76B x ( ) 90A+ 64B 4 90A B 66 90A+ 64B 4 88B 4 B A 9 6 Matmática C

7 8) A Logo, s na cidad o rndimnto é d L/km, ntão 9 Vicnt podrá rodar na cidad 9, km com L x+ y b) 9 x+ y 4, y 4, x 9 x + (4, x) 4x + 9(4, x) 9 4x + 76, 9x 964 x 7, x 47, km y 4, 47, y 96 km Sndo p o valor da parcla caso a gladira sja paga m n parclas, do nunciado tmos: Pagamnto m (n ) parclas: np (n ) (p + 60) np np + 60n p 80 60n p 80 Pagamnto m (n ) parclas: np (n ) (p + ) np np + n p 6 n p 6 Assim tmos o sistma: 60n p 80 x n p 6 x 00n p 900 7n+ p 87 7n 97 n 9) R$8,00 na farmácia R$0,00 no suprmrcado Considrando x as dspsas da farmácia, as do suprmrcado srão x + 94 Assim, x + x x 6 x 8 Logo x Sndo assim, Matild gastou R$0,00 no suprmrcado R$8,00 na farmácia 40) Adulto: R$87,00; criança: R$0,00 Sja x o valor cobrado d um adulto, ntão x é o valor cobrado d uma criança 4) B E assim: x + x 8 9x+ 4x 8 x 8 x 87 x 0 Logo, a agência cobrou R$87,00 d adultos R$0,00 d crianças Sja C a quantidad d crianças Então: C + 70 x, por outro lado, C x + 40 Logo, tmos o sistma: x C 70 x C 40 C 0 c x x 4) n, d 8 Plos dados tmos: d + (n )(d + 8) nd + 7 d + n d + 8n d 6 n d + 7 8n d 88 d 8n 88 Como n, d N, n > 0 d > 0, o mnor valor possívl para n é E, assim, d 8 4) C 44) E Plos dados: 4 0 ( 8P + 6P ) 86 ( P + 0P ) A B A B 40P A + 0P B 4P A + 40P B 6P A 0P B P A 0 6 P B 0,6 P B 6,% P B Sjam C númro d carrinhos B númro d boncas A númro d bolas Então: C + B + A, 70 A B+ C A+ B+ C 0 D tmos: A + A 0 A 60 Matmática C 7

8 4) A 46) A Por outro lado, por : C + B + 60, 70 B + C 70 0 B+ C 60 B+ C 60 x( ) B 40 C 0 A rcbu x, B rcbu x A ficou com d x B ficou 7 com d x, qu quival a rais a mnos qu A 8 Logo, B A, ou sja, A B, ou ainda, x x 8 x 7 x x Sja n o númro d pssoas x o valor inicial d cada pssoa Então: nx 000 (n 0)(x + 0) 000 nx + 0n 0x n 0x n 0 n 00 0n n 0n 00n n 0n n 60 ou n 0 Como n > 0, n 60 47) A Sjam: v vaca, p porco, t touro, assim, plo nunciado: v+ t 88 v t 8p + v t+ 8 v t p v 9p v p Logo, uma vaca pod sr trocado por porcos Por outro lado, p + t 8p t p Logo, um touro pod sr trocado por porcos 48) E Sja x o númro d filhos y o númro d filhas Tmos qu um filho qualqur possui x irmãos y irmãs Também, uma filha qualqur possui y irmãs x irmãos Assim, plo nunciado: x y x y x ( y ) x y y x 4 49) A 0) A Logo, são x + y filhos, ou sja, 7 filhos Δ Δx Δy Δz x y z x, y 8, z 0 x + y + z Δ Δx Δy Δz Matmática C

9 ) E ) B x y z x, y, z x y z 8 Δ Δx 8 0 Δy Δz x, y, z x + y + z + Sjam x, y, z w o númro d cantas, cadrnos, lapisiras corrtors rspctivamnt x+ z 0 4y+ w 44 Como o númro d lapisiras dv sr máximo, dvmos achar o mnor númro d cantas qu satisfaça a quação: z 0 x ) E Dssa forma, x z Como x y, ntão y s, portanto, substituindo tmos: w 44 4 y Por substituição tmos qu: y z z y x z x (y ) Portanto, x y + x y z y + y (y ) y Substituindo: x y + z y 4) A ) B Δ 6 4 Δx 4 4 Δy 4 Δz x, y z x y z ( ) 4 A matriz A do sistma val: A dt A dt A 4 6) C Tom x, y, z como a primira, sgunda trcira ligas rspctivamnt Então: x+ y+ 4z, 7 x+ 4y+ z 4, 9 4x+ y+ 9z 7, 6 Portanto, substituindo as duas primiras quaçõs da trcira tmos qu: x y + y 4z 7, y+ z 9, z,, y,7 x 0,6 z 0, g y 0, g x 0,4g Matmática C 9

10 7)9 Sjam x, y z os rspctivos númros d carros dos tipos C, C C qu foram construídos x+ y+ 4z 6 x+ y+ z x+ y+ z 9 Subtraindo a primira quação do dobro da sgunda tmos qu: y 6 4 Substituindo, tmos: x + z 7 x 7 x, y 4 z x + y + z ) a) b) {(,, )} a) x 7 b) y z x y 7 + z + 9) a 0 b x y 0 x+ y x y x + y y y Dssa forma: a b b ( b) b b Substituindo: a 0 60) Colocando y m função d x tmos: y 4 x z 7 4 x Portanto, substituindo na sgunda quação tmos: x+ z x + y x + z 4x + 4y 0 x + 7 4x 4x + 6 8x 0 x Substituindo tmos qu: y 4 z 7 4 x y z 6) Andréa psa kg, Carlos 7 kg Bidu kg Considr x, y z rprsntando Carlos, Andréa o cão rspctivamnt: x+ 0y+ z 87 x+ y+ 0z 0x+ y+ z 66 0 Δ 0 0 Δx Δy Δy x 7, y z 0 Matmática C

11 z 6) I ; II 8 z; III z 8 Sjam x, y z as vitaminas A, B C rspctivamnt x+ y+ z x+ y 8x+ y+ z 0 x y dssa forma: 8 ( y ) + y + z 0 y 8 z Substituindo tmos: x 8 + z + z Portanto z < 8 6) S {(00, 0, 0)} Sjam x, y, z os númros d bactérias das spécis I, II III rspctivamnt Como cada uma das x bactérias da spéci I consom duas unidads d A por dia, o grupo I consom no total x unidads por dia Da msma forma tmos para II III um total d y 4z unidads por dia x+ y+ 4z 00 x+ y 8000 x+ y+ z ) D Δ Δx 6 Δy 0 4 Portanto, sndo y 0 tmos: x y z 0 6) 66) A 67) E Sndo y 0 tmos: z x x Então: + 0 ( ) k k + 6 Substituindo t no sistma, tmos: x+ y () I x+ 0y+ b () II x y 8 ( III) Formando um sistma com (I) (III), tmos: 7 x x+ y y x y 8 Substituindo os valors d x y m (II), tmos qu: x + 0y + b b b x 0 y 7 z x x+ y 7 x+ y+ z 6 + y 7 y Matmática C

12 Substituindo x y na a quação, tmos: + + z z 0 Solução: (,, 0) 68) R$900,00 Tlvisor: x Aparlho d DVD: y Aparlho d som: z x+ y 00 y+ z 00 x+ z 00 Somando as três quaçõs, tmos: x + y + z 800 (x + y + z) 800 x + y + z ) 0 70) 6 40A+ 80B+ 0C 600 ( 40) 00A+ 0B+ 0C 00 ( 0) 0A+ 0B+ 60C 700 ( 0) A+ B+ C 90 A+ B+ C 0 4A+ B+ C Δ 90 C ΔC ΔC 00 C 00 0 Substituindo y + z na trcira quação, tmos: x y + z x + x x Usando apnas a primira a sgunda quação, ncontramos: + y z y + z z z z ; y Solução: (,, ) Produto: 6 7) (6 A, A, A) I I I 0 I+ I 0 0I 0I 0 Fazndo I x; I y; I z, tmos: x y z 0 x+ 0z 0 0y 0z 0 x 0 0z x 0 4z (I) 0y 0 + 0z y + z (II) Substituindo I II na primira quação, obtmos: x y z 0 0 4z z z 0 7z 7 z x 6 y Solução (6,, ) 7) a) S {(α, α, α, α)} b) Ca: H: 6 P: O: 8 x z y w y z 4y 8z y z y w z w w z Fazndo z α, tmos: (x, y, z, w) (α, α, α, α) b) Para α (x, y, z, w) (,,, ) Ca P O 8 + H Logo, Ca P O 8 8 H 6 Matmática C