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1 Instituto Suprior Técnico Dpartamnto d Matmática Scção d Àlgbra Anális o TESTE DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I (MEFT, LMAC, MEBiom) o Sm. 0/ 4/Jan/0 Duração: h30mn Instruçõs Prncha os sus dados na part d baixo dsta folha. Numr as páginas do su tst, indiqu na tabla abaixo m qu página rsolvu cada prgunta. Aprsnt justifiqu todos os cálculos. Não é prmitida a utilização d quaisqur lmntos d consulta nm d máquinas calculadoras. Boa sort! PARA A CORRECÇÃO - Vrsão A Prgunta Cotação Página Classificação.,0.,0 3.,0 4.,5 5.,0 6.,5 TOTAL 0,0 Nom: Curso: N o : Sala: Rúbrica do Docnt: Rgisto:

2 Instituto Suprior Técnico Dpartamnto d Matmatica Scção d Àlgbra Anális o TESTE DE CáLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I O SEM. 0/ DURAÇÃO: H30M VERSãO A LMAC, MEFT, MEBIOM Esquma da Rsolução:. (,0 val.) Dtrmin uma primitiva d cada uma das sguints funçõs: (a) sn( x )( x ) (b) x 3 +x (c) x x x 3 +x +x (d) x x ( x +) ( m (d) considr a mudança d variávl x log t) Rs: sn( x )( x ) dx cos(x ) (primitivação imdiata). x 3 dx + x ( ) x x( + x ) dx x ( + x ) x( + x ) dx x ( + x ) 3 ( + x ) 3. (primitivação por parts). x x x 3 + x + x dx x (x + ) dx x + (x + ) dx (x + ) dx (x + ) dx log x + + x +. (primitivação d uma função racional). Fazndo a mudança d variávl indicada, x log t ( t x ) dx t dt, plo qu

3 CDI I TESTE 3 ficamos com: ( t ) t (t + ). t dt t (t + ) dt log t + + t +, (pla alína antrior). Concluímos portanto qu x x ( x + ) dx log x + + x +.. (,0 val.) Dtrmin a ára da rgião plana D R limitada plas curvas y tan x, y x 0. Rs: Como tan x x π 4, a ára m qustão é dada por: A π 4 π 4 0 tan x dx π 4 + log cos(π 4 ) log cos 0 π 4 + log( ). 3. (,0 val.) Sja φ : R R a função dfinida por φ(x) x 0 x t dt. a) Justifiqu qu φ C (R) calcul φ φ. Rs: A função h(x) : x 0 t dt é um intgral indfinido d uma função contínua m R portanto difrnciávl m R, plo Torma Fundamntal do Cálculo. Como φ(x) x x dt xh(x) é o produto d duas funçõs 0 t difrnciávis m R srá também difrnciávl m R. A sua drivada é dada por: φ (x) x x + x t 0 pla rgra da drivada do produto plo Torma Fundamntal do Cálculo. Por sua vz, φ é a soma d duas funçõs difrnciávis m R portanto difrnciávl m R tndo-s: dt, φ (x) x + x x + x x ( + x ). Como φ C (R) tmos qu φ C (R). b) Indiqu justificando s φ tm ou não um xtrmo local m x 0. Rs: Como φ (0) 0 φ (0), plo corolário do T. d Lagrang concluímos qu φ tm um mínimo local m x 0. É aliás fácil vr pla dfinição qu φ(x) 0 para todo o x R plo qu a função tm um mínimo absoluto m x 0.

4 4 CDI I TESTE c) Dsnvolva a função φ m séri d potências d x indicando o maior intrvalo abrto ond a séri rprsnta a função. Rs: Atndndo ao dsnvolvimnto m séri d Mac-Laurin da função xponncial tmos qu x (x ) n n! x n, x R. n! Como h(x) : x 0 t dt é uma primitiva d x, atndndo ás propridads dos dsnvolvimntos m séris d potências, podmos intgrar trmo a trmo a séri no intrior do su intrvalo d convrgência. Obtmos ntão qu h(x) x n+ + c, x R. (n + )n! Como c h(0), concluímos qu c 0 portanto φ(x) xh(x) x n+, x R. (n + )n! 4. (,5 val.) (a) Dtrmin a naturza das séris (i) 3 + n n + (ii) cos(nπ) n+ n Rs: Como s trata d uma séri d trmos positivos, fazndo lim n + 3+ n n+ (3 + n) n lim, n + n n + concluímos plo critério d D Almbrt qu a séri m qustão a séri n têm a msma naturza. Como sta última é uma séri d Dirichlt com xpont <, é divrgnt. Como cos(nπ)n+ n n+ n, a séri + n+ é uma séri gométrica com razão n <, concluímos plo critério da comparação qu a séri é absolutamnt convrgnt. (b) Calcul a soma da séri (ii) da alína antrior. Rs: Como cos(nπ) s n é par cos(nπ) s n é ímpar, podmos dcompôr a séri m duas séris gométricas convrgnts:

5 CDI I TESTE 5 cos(nπ) n+ n cos(kπ) k+ cos((k + )π) k+ k + k+ k+ k ( ) k k+ k+ 4 ( ) k Método altrnativo: notar qu cos(nπ) ( ) n, n N 0 plo qu a séri s scrv como: cos(nπ) n+ ( ) n n n, qu é uma séri gométrica com razão. 5. (,0 val) a) Dtrmin para qu valors d x a séri d potências: ( ) n ( + x) n n(n + ) é absolutamnt convrgnt, simplsmnt convrgnt ou divrgnt. Rs: O raio d convrg{ncia R d uma séri d potências a n (x a) n é dado a por lim n n a n+, caso st limit xista (m R). Para a séri m qustão tmos ntão: (n + )(n + ) R lim. n + n(n + ) A séri é absolutamnt convrgnt para x + < isto é para x ] 3, [ divrgnt para x R\[ 3, ], faltando analisar o qu s passa para x 3 x. Em x 3 tmos a séri numérica: + n(n + ) ( n n + uma séri d Mngoli qu é convrgnt visto a sucssão d trmo gral n sr convrgnt. Em x tmos a séri numérica + ( )n n(n+) cuja séri dos módulos acabámos d vrificar sr convrgnt. Em conclusão a séri d potências é absolutamnt convrgnt para x [ 3, ] divrgnt para x R\[ 3, ]. b) Calcul a soma da séri m x 3. Rs: O trmo gral da sucssão das somas parciais da séri + 6. (,5 val.) ), s n n +, plo qu a soma da séri é igual a lim n + s n. n(n+) é:

6 6 CDI I TESTE (a) Sja {x n } uma sucssão limitada considr as sucssõs cujos trmos grais são dfinidos por: y n sup{x n, x n+, x n+,...} z n inf{x n, x n+, x n+,...}. Prov qu as sucssõs {y n } {z n } são convrgnts. Rs: A sucssão {y n} é óbviamnt limitada, visto {x n } sr limitada. Por outro lado, y n+ sup{x n+, x n+, x n+3,...} sup{x n, x n+, x n+,...} y n, n N. Sndo assim {y n } é uma sucssão monótona (dcrscnt) limitada, logo convrgnt. Por um raciocínio análogo a sucssão {z n } é limitada crscnt logo igualmnt convrgnt. (b) Mostr qu {x n } é convrgnt s só s {y n } {z n } tivrm o msmo limit. Como s tm: z n x n y n, n N, s {y n } {z n } tivrm o msmo limit, a sucssão {x n } tm igualmnt o msmo limit plo Torma das sucssõs nquadradas. Rcíprocamnt, atndndo à dfinição d suprmo, para cada n N xist m(n) tal qu y n < x m(n) + n. Como {x n} é convrgnt, a subsucssão {x m(n) } também é convrgnt ( para o msmo limit), plo qu da dsigualdad x n y n < x m(n) + n, s conclui qu {y n } tm o msmo limit qu {x n }. Um raciocínio análogo ( agora com o ínfimo) lva à msma conclusão rlativamnt a {z n }.