INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO Estatística I - Licenciatura em MAEG 2º Ano PADEF Junho 2005 Parte teórica Prova Nome: Nº

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1 Estatística I - Licnciatura m MAEG º Ano PADEF Junho 5 Part tórica Prova Nom: Nº 1. Prguntas d rsposta fchada ( valors) Para cada afirmação, assinal s sta é Vrdadira (V) ou Falsa (F). Uma rsposta crta val.5 uma rsposta rrada pnaliza m idêntico valor. A prcisão d um stimador pod sr avaliada plo invrso da sua variância Um intrvalo d confiança a 9% para µ é um intrvalo qu contém o vrdadiro valor d µ com probabilidad.9 O concito d stimativa, na stimação pontual, tm parallo no concito d intrvalo d confiança na stimação por intrvalos Num univrso normal d média µ conhcida variância dsconhcida a xprssão n S / dfin uma statística Num univrso d Poisson a conjctura Pr( X = ) =. 3 constitui uma hipóts statística. A dimnsão d um tst é o suprmo da probabilidad d um rro d 1ª spéci Num tst m qu o valor-p=.5, não s rjita H ao nívl d 1% mas rjita-s ao nívl d 5% O stimador d máxima vrosimilhança goza da propridad d sr o mais ficint. Prguntas d rsposta abrta (4 valors) As duas primiras rspostas têm a cotação máxima d 1 valor cada uma, a trcira d valors. As rspostas dvm sr dadas nos spaços prvistos para o fito. a. Dfina o concito d variávl fulcral:

2 b. Prov qu S é um stimador nvisado d calcul o su grau d nvisamnto, sndo S a variância d uma amostra casual simpls d dimnsão n a variância do univrso qu s admit xistir c. Sjam T1 T dois stimadors indpndnts do parâmtro θ d uma população X. Considr qu os dois stimadors são cntrados têm variâncias conhcidas, 1 rspctivamnt. Mostr qu o stimador T α T1 + ( 1 α) T =, α constant, é cntrado dtrmin o valor d α por forma a minimizar o rro quadrático médio

3 Estatística I - Licnciatura m MAEG º Ano PADEF Junho 5 Part tórica Prova Nom: Nº 1. Prguntas d rsposta fchada ( valors) Para cada afirmação, assinal s sta é Vrdadira (V) ou Falsa (F). Uma rsposta crta val.5 uma rsposta rrada pnaliza m idêntico valor. Num univrso normal d média µ conhcida variância dsconhcida a xprssão n S / dfin uma statística O stimador d máxima vrosimilhança goza da propridad d sr o mais ficint Num univrso d Poisson a conjctura Pr( X > ) =. 3 constitui uma hipóts statística A prcisão d um stimador pod sr avaliada plo invrso da sua variância A dimnsão d um tst é o suprmo da probabilidad d um rro d 1ª spéci Um intrvalo d confiança a 9% para µ é um intrvalo qu contém o vrdadiro valor d µ com probabilidad.9 Num tst m qu o valor-p=.5, não s rjita H ao nívl d 1% mas rjita-s ao nívl d 5% O concito d stimativa, na stimação pontual, tm parallo no concito d intrvalo alatório na stimação por intrvalos. Prguntas d rsposta abrta (4 valors) As duas primiras rspostas têm a cotação máxima d 1 valor cada uma, a trcira d valors. As rspostas dvm sr dadas nos spaços prvistos para o fito. a. Dfina o concito d variávl fulcral:

4 b. Prov qu S é um stimador nvisado d calcul o su grau d nvisamnto, sndo S a variância d uma amostra casual simpls d dimnsão n a variância do univrso qu s admit xistir c. Sjam T1 T dois stimadors indpndnts do parâmtro θ d uma população X. Considr qu os dois stimadors são cntrados têm variâncias conhcidas, 1 rspctivamnt. Mostr qu o stimador T α T1 + ( 1 α) T =, α constant, é cntrado dtrmin o valor d α por forma a minimizar o rro quadrático médio

5 Estatística I - Licnciatura m MAEG º Ano PADEF Junho 5 Part tórica Prova Nom: Nº 1. Prguntas d rsposta fchada ( valors) Para cada afirmação, assinal s sta é Vrdadira (V) ou Falsa (F). Uma rsposta crta val.5 uma rsposta rrada pnaliza m idêntico valor. O concito d stimativa, na stimação pontual, tm parallo no concito d intrvalo d confiança na stimação por intrvalos A dimnsão d um tst é o suprmo da probabilidad d um rro d 1ª spéci A prcisão d um stimador pod sr avaliada plo invrso da sua variância Num univrso normal d média µ variância xprssão n S / dfin uma statística dsconhcidas a Num tst m qu o valor-p=.15, não s rjita H ao nívl d 1% mas rjita-s ao nívl d 5% Um intrvalo d confiança a 9% para µ é um intrvalo qu contém o vrdadiro valor d µ com probabilidad.9 Num univrso d Poisson a conjctura Pr( X = 3) =. 3 constitui uma hipóts statística O stimador d máxima vrosimilhança goza da propridad d sr o mais ficint. Prguntas d rsposta abrta (4 valors) As duas primiras rspostas têm a cotação máxima d 1 valor cada uma, a trcira d valors. As rspostas dvm sr dadas nos spaços prvistos para o fito. a. Dfina o concito d variávl fulcral:

6 b. Prov qu S é um stimador nvisado d calcul o su grau d nvisamnto, sndo S a variância d uma amostra casual simpls d dimnsão n a variância do univrso qu s admit xistir c. Sjam T1 T dois stimadors indpndnts do parâmtro θ d uma população X. Considr qu os dois stimadors são cntrados têm variâncias conhcidas, 1 rspctivamnt. Mostr qu o stimador T α T1 + ( 1 α) T =, α constant, é cntrado dtrmin o valor d α por forma a minimizar o rro quadrático médio

7 Estatística I - Licnciatura m MAEG º Ano PADEF Junho 5 Part tórica Prova Nom: Nº 1. Prguntas d rsposta fchada ( valors) Para cada afirmação, assinal s sta é Vrdadira (V) ou Falsa (F). Uma rsposta crta val.5 uma rsposta rrada pnaliza m idêntico valor. O stimador d máxima vrosimilhança goza da propridad d sr o mais ficint Num univrso d Poisson a conjctura Pr( X > ) =. 3 constitui uma hipóts statística Um intrvalo d confiança a 9% para µ é um intrvalo qu contém o vrdadiro valor d µ com probabilidad.9 Num tst m qu o valor-p=.15, não s rjita H ao nívl d 1% mas rjita-s ao nívl d 5% Num univrso normal d média µ variância xprssão n S / dfin uma statística dsconhcidas a A prcisão d um stimador pod sr avaliada plo invrso da sua variância A dimnsão d um tst é o suprmo da probabilidad d um rro d 1ª spéci O concito d stimativa, na stimação pontual, tm parallo no concito d intrvalo alatório na stimação por intrvalos. Prguntas d rsposta abrta (4 valors) As duas primiras rspostas têm a cotação máxima d 1 valor cada uma, a trcira d valors. As rspostas dvm sr dadas nos spaços prvistos para o fito. a. Dfina o concito d variávl fulcral:

8 b. Prov qu S é um stimador nvisado d calcul o su grau d nvisamnto, sndo S a variância d uma amostra casual simpls d dimnsão n a variância do univrso qu s admit xistir c. Sjam T1 T dois stimadors indpndnts do parâmtro θ d uma população X. Considr qu os dois stimadors são cntrados têm variâncias conhcidas, 1 rspctivamnt. Mostr qu o stimador T α T1 + ( 1 α) T =, α constant, é cntrado dtrmin o valor d α por forma a minimizar o rro quadrático médio

9 Estatística I - Licnciatura m MAEG º Ano PADEF Junho 5 - Part prática 1. Sja X um univrso d Parto, isto é, com função d distribuição dada por 1 F( x θ ) = 1, x >, θ >, do qual s rcolhu a amostra casual simpls (.3;.59; θ ( x + 1) 1 1.7;.73;.1). Sab-s também qu E ( X ) =, θ > 1, θ 1 ) θ var( X =, θ >, ( θ 1) ( θ ) Y = ln( X + 1) ~ Ex( θ ), rsultados qu podrá utilizar s dls prcisar. a. Obtnha, s xistir, uma statística suficint mínima para θ. b. Mostr qu o stimador d máxima vrosimilhança d θ é dado por ˆ n θ = n X = ln( + i 1 i 1) obtnha uma stimativa d máxima vrosimilhança para Pr( X < ). c. Estud a ficiência do stimador d máxima vrosimilhança para τ ( θ ) = 1/ θ. d. Construa um intrvalo d confiança a 9% para θ.. Obtnha uma stimativa d θ rcorrndo ao método dos momntos. f. Obtnha a rgião crítica uniformmnt mais potnt para tstar ( α =. 5 ) H : θ contra H : θ. Com bas na amostra obsrvada, qual sria a sua dcisão? 1 < g. Para fctuar o tst proposto na alína antrior, dfiniu-s a sguint rgra d rjição: Rjitar H quando 3 ou mais das 5 obsrvaçõs qu compõm a amostra assumm valors supriors a 1. Qual a dimnsão do tst assim dfinido? h. Tst ( α =. 5 ) s é d rjitar ou não a distribuição proposta com θ =. 5.. Um novo mdicamnto qu é suposto prvnir constipaçõs foi tstado m 1 indivíduos scolhidos alatoriamnt, 5 dntro dos qu tomaram o mdicamnto 5 dntro dos qu o não tomaram. Os rsultados obsrvados foram: Nnhuma constipação Uma constipação Duas ou mais constipaçõs Tomaram Não tomaram Qual a sua opinião sobr a ficácia do mdicamnto ( α =. 5 ). Não s squça d formalizar a hipóts qu vai tstar. Prgunta 1a 1b 1c 1d 1 1f 1g 1h Cotação