estimação Bayesiana em Modelos de Regressão Log-Log 2 Amostrador de Gibbs 3 Resposta Dicotômica

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1 Estimação Baysiana m Modlos d Rgrssão Complmnto Log-Log Maria Rgina Madruga, Pdro Silvstr da Silva Campos, Faculdad d Estatística, ICEN, UFPA, , Blém, PA madruga@ufpa.br, psscam@yahoo.com.br, Rsumo: Est trabalho utiliza os métodos d stimação Baysiana m Modlos d Rgrssão Complmnto Log-Log, também conhcidos como rgrssão xtrmito. O procsso d stimação basia-s nos trabalhos d [] [5], qu utilizam variávis latnts no procsso d stimação dos parâmtros dos modlos d Rgrssão Probito Logístico, rspctivamnt, a partir do Amostrador d Gibbs[3]. São fitas aplicaçõs m dados catgorizados já utilizados na litratura m ajusts com outros modlos, para comparação das mtodologias. Introdução A mtodologia d stimação dsnvolvida nst trabalho stá basada nos trabalhos d [] [5], qu fazm uso d variávis latnts no procsso d stimação dos parâmtros m modlos d rgrssão com rspostas catgóricas. Na proposta d [] ajusta-s o modlo probit binário, com a introdução d uma squência d n variávis latnts, z, z 2,, z n, com z i Nx T i β,, m qu xt i é o vtor d covariávis para a i-ésima obsrvação β é o vtor d parâmtros do modlo, dfin-s a variávl rsposta binária para a i-ésima obsrvação como Y i = 0, s zi 0, s z i > 0. Como as variávis z i, i =,, n, não são obsrvadas, ls mostram qu dado o valor da variávl osrvávl Y i, tm-s qu z i β, σ 2 tm distribuiçao normal truncada. A técnica sugrida m [5] stá basada m uma proposta d aproximação da distribuição a postriori obtida m [], usando o método data augumntation, uma função d ligação logit variávis latnts com distribuição uniform, com implmntação via Amostrador d Gibbs [3]; [2] para o procsso d simulação stimação dos parâmtros. 2 Amostrador d Gibbs O Amostrador d Gibbs é um método d amostragm itrativo d uma cadia d Markov, cuja transição d um stado a outro é fita a partir das distribuiçõs condicionais compltas postriors d um vtor d parâmtros θ d dimnsão n. Dfin-s a distribuição condicional complta d um componnt qualqur θ i como a distribuição condicional dst, dado todos os outros parâmtros os dados, dnotada por p i θ i θ θi, Y, com θ θi = θ,, θ i, θ i+,, θ n. A atualização fita plo amostrador d Gibbs é um caso particular do algoritmo d Mtropolis-Hastings [8]. A implntação do Amostrador d Gibbs, na itração k, dv obdcr aos sguints passos: Passo : θ k p θ θ k 2, θ k 3,..., θ n k, Y Passo 2: θ k 2 p 2 θ 2 θ k, θk 3,..., θ n k, Y Passo 3: θ k 3 p 3 θ 3 θ k, θk 2,..., θk n, Y..... Passo n: θ n k p n θ n θ k, θk 2,..., θk n., Y Rpita os passos, 2, 3,..., n para k =, 2, 3,... 3 Rsposta Dicotômica Sja y i uma variávl alatória dicotômica, tal qu, com probabilidad πi ; y i = 0, com probabilidad π i. 529

2 Sgundo [7] [9] tm-s qu o modlo d Rgrssão Extrmito RE faz uso da função d ligação complmnto log-log, ou sja, log[ log π i ], para modlar π i associada a um vtor d p covariávis X =, X i,, X ip. Assim, o modlo é dado por ond β = β 0,, β p. π i = βx Tm-s qu RE dado m é a função d distribuição acumulada da distribuição Gumbl para valors xtrmos, isto é, π i = F z = βx z z dz, < z <. 2 D forma análoga a [5], introduzimos no modlo uma variávl latnt indpndnt U Uniform0,. Nst caso, sgu qu βx π i = F z = z z dz 3 = P U < βx. 4 A variávl latnt introduzida no modlo srá grada para cada obsrvação, dando origm ao vtor d variávis latnts u= u,, u n. A dnsidad conjunta do vtor d parâmtros β u, dado o vtor d obsrvaçõs Y = y,, y n, srá dada por πβ, u Y πβlβ, u Y n [ πβ I u i βx Iy i = ] +I u i > βx Iy i = 0 I0 u i ond πβ é a priori do vtor d parâmtros IX A é a função indicadora, qu é igual a s X A 0, caso contrário, sndo assim; πβ, u Y n [I βx log [ log u i ] Iy i = ] +I u i > βx Iy i = 0 I0 u i. 5 D 5, s y i = sgu qu: β t log [ log u i ] } para todo i com y i = > 0, sndo válida também s y i = 0 < 0. Da msma forma, s y i = 0, sgu qu: β t log [ log u i ] } para todo i com y i = 0 > 0, sndo válida também s y i = < 0. Sndo assim, obsrva-s o surgimnto natural d dois conjuntos indicadors, A t B t, qu auxiliam na implmntação do Amostrador d Gibbs. Os conjuntos A t B t são dfinidos por A t = i : [y i = > 0] [y i = 0 < 0]} B t = i : [y i = 0 > 0] [y i = < 0]} Considrando qu não há nnhum conhcimnto prévio sobr β, assum-s uma priori difusa para β, isto é, πβ. Tm-s, ntão, qu a distribuição complta d β t srá uma distribuição uniform β t β t, u, Y Uniforma k, b k, t = 0,,, p. sndo a t = max i A t b t = min i B t log [ log u i ] }} log [ log u i ] }} 4 Rsposta Multinomial Ordinal Sja y i uma variávl alatória multinomial assumindo valors m r catgorias ordnadas, tal qu P y i = j = π ij, j =, 2,, r, a probabilidad acumulada até a j ésima catgoria dnotada por η ij = j π ik = P y i j. k=. 530

3 Sgundo [9] tm-s qu para modlos com rspostas ordinais o modlo xtrmito é dado por η ij = α j+βx 6 ond X =, X i,, X ip é o vtor d covariadas β = β,, β p é o vtor d coficints d X α = α 0, α,, α r é o vtor d pontos d cort, tal qu = α 0 < α < < α r =. A distribuiçào conjunta d α, β u, dado Y, é dada por n r πα, β, u Y πα, β Iy i = j7 j= Iη i,j < u i η i,j } I0 u i. Assumindo uma priori conjunta difusa para α β, tm-s qu a distribuição condicional d u i, dado α, β y i = j, é dada por u i α, β, y i = j Uniformη i,j, η i,j 8 com i =,, n η ij dada por 6. Introduzindo m 6 a variávl latnt com distribuição uniform no intrvalo [0,], d forma análoga à Sção 3, tm-s qu η ij = P U i < α j+βx, d ond sgu, para os parâmtros das covariadas, qu β t < log[ log u i] α j β t > log[ log u i] α j. D forma a sumarizar a notação, dnota-s por T ij = log[ log u i] α j, logo, tm-s qu T i,j,t < β t < T i,j,t para todo y i = j > 0, T i,j,t < β t < T i,j,t para todo y i j < 0, surgindo assim naturalmnt o conjunto A j = i : y i = j}. Sndo a distribuição complta truncada,d β t, dada por β t β t, α, u, y Uniforma t, b t com t =,, p, tal qu a t = max j max i A j [mint i,j,t ; T i,j,t ] } b t = min min[maxt i,j,t ; T i,j,t ]. j i A j Na dtrminação da distribuição condicional dos pontos d cort, α s, dv-s obsrvar as condiçõs u i η ij para todo i A j u i > η ij para todo i A j+, também, qu α j < α j < α j+. Sndo assim, sgu qu ond α j α j, β, u, y Uniformc j, d j c j = max i A j+ max[log[ log u i ] βx; α j ]} d j = min i A j min[log[ log u i ] βx; α j+ ]} 5 Aplicação Um conjunto d dados, conhcido na litratura d modlos dos-rsposta, ncontra-s m [2], basias no comportamnto d bsouros adultos fac à xposição a dissulfto d carbono CS 2 durant 5 horas. A curva d dos-rsposta da mortalidad dos bsouros foi formada a partir d 8 dosagns, foi ajustada sgundo a mtodologia da Sção 3, dvido ao fato dos dados sugrirm um comportamnto anômalo m uma das xtrmidads. Os dados ncontram-s na Tabla, ond as três colunas corrspondm, rspctivamnt, ao númro d bsouros obsrvados n i, ao númro d bsouros mortos r i ao log d cada dosagm d CS 2, i =, 2,..., 8. Tabla : Dos-rsposta n i r i logdos i 59 6, , , , , , , ,8839 A Figura mostra o gráfico do modlo dosrsposta ajustado para os dados da Tabla, sgundo a mtodologia da Sção 3, dado por π i = 39, ,0273X. } 53

4 Extrmito 0. Extrmito Estimada Dados logd Figura : Função Extrmito ajustada Ests dados, quando ajustados pla mtodologia aprsntada m [5], fz uso d uma transformação xponncial da dos, isto é, t i = xpx i, o modlo stimado é dado por π i = xp 34, , 8586t i + xp 34, , 8586t i, qu é aprsntado na Figura Logística Nota-s qu o 0. Logística Estimada Dados Dos Figura 2: Proporção d Bsouros mortos xpostos à CS 2 ajust proposto na Sção 3, modlo d Rgrssão Extrmito Figura, aprsnta um mlhor dsmpnho do qu o Modlo Logístico ajustado Figura 2, com técnicas d stimação Baysiana smlhants, fazndo uso d variávis latnts no procsso d implmntação do Amostrador d Gibbs. 6 Aplicação 2 [6] propôs um modlo d Rgrssão Logística Multinomial para dados d dos-rsposta d um xprimnto m dosimtria citognética. O modlo d rgrssão logística proposto s caractriza por um modlo linar invrso para a transformação logodds da frqüência d abrraçõs, ou sja, a prsnça d micronúclosmn. Sndo π ij a proporção d células com j j = 0,, 2 MN na i-ésima dos i =, 2,, 0, o modlo proposto é dado por: tal qu π ij = H j = xph j + xph + xph 2 β 0j + β j β 2j + D i, j =, 2. Os dados y i = y i0, y i, y i2 são aprsntados na Tabla 2, com y ij rprsntando a frquência d células com j j = 0,, 2 MN na i-ésima dos i =, 2,, 0, n i o númro total d células obsrvadas na i-ésima dos. Tabla 2: Dos-rsposta Dos i cgy y i0 y i y i2 n i A implmntação da Sção 4 stá sndo fita para os dados d [6] os rsultados s mostram bastants promissors, stando m fas d ajusts finais d comparação ajust dos parâmtros para o modlo d Rgrssão Extrmito Multinomial Ordinal. Sndo ncssário ncontrar a mlhor transformação da covariada para não colocar m dúvida a consistência validad dos rsultados. Rfrências [] Albrt, J. H; Chib, S. Baysian analysis of binary and polychotomous rspons data. Journal of th Amrican Statistical Association, 88, [2] Bliss, C. I. Th calculation of th dosagmortality curv. Annals Applid Biology, 22,

5 [3] Glfand, A. E.; Smith, A. F. M. Sampling- Basd Approachs to Calculating Marginal Dnsitis. Journal of th Amrican Statistical Association, 85, [4] Gman, S.; Gman, D. Stochastic Rlaxation, Gibbs Distribuitions and th Baysian Rstoration of Imags. IEEE Transactions on Pattrn Analysis and Machin Intllignc, 6, [5] Gronwald, P. C. N; Molkgatlh, L. Baysian computation for logistic rgrssion. Computaional Statistics & Data Analysis, 48, [6] Madruga, M. R.; Prira, C. A. d B.; Gay- Rablo, M. N. Baysian dosimtry: radiation dos vrsus frquncis of clls with abrrations. Enviromtrics, 5, [7] McCullagh, P.; Nldr, J. A. Gnralizd Linar Modls. Chapman and Hall, 2nd d., London, 989. [8] Paulino, C. D.; Turkman, M. A. A.; Murtira, B. Estatística Baysiana. Fundação Caloust Gulbnkian, Lisboa, [9] Paulino, C. D.; Singr, J. M. Anális d Dados Catgorizados. Edgard Bluchr, São Paulo,