Algumas distribuições de variáveis aleatórias discretas importantes:

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1 Algumas distribuiçõs d variávis alatórias discrtas importants: Distribuição Uniform Discrta Enquadram-s aqui as distribuiçõs m qu os possívis valors da variávl alatória tnham todos a msma probabilidad d ocorrência. Logo, s xistm N valors possívis, cada um trá probabilidad igual a 1/N. 1 P( X xi ) N Ex: Sja o lançamnto d um dado a variávl alatória X fac suprior do dado, tm-s qu: ou P(Xx) 1/6 Distribuição d Brnoulli Imagin um xprimnto alatório qu podm ocorrr dois possívis rsultados, sucsso fracasso. Vja alguns xmplos: - uma vnda é ftuada ou não m uma ligação d call cntr; - um clint pod sr adimplnt ou inadimplnt; - uma pça produzida por uma cia. pod sr prfita ou dfituosa; - um consumidor qu ntra numa loja pod comprar ou não comprar um produto; - Lança-s uma moda obsrva-s s o rsultado é cara ou coroa.

2 Associando-s uma variávl alatória X aos possívis rsultados do xprimnto, d forma qu X 1 s o rsultado for sucsso, X s o rsultado for fracasso. Então, a variávl alatória X, assim dfinida, tm distribuição d Brnoulli, compsndo a probabilidad d ocorrr sucsso, q(1-p) a probabilidad d ocorrr fracasso. Distribuição d Brnoulli: Média: μ p Variância: Dsvio padrão: p s x 1 P(x) 1-p s x σ σ pq p(1 p) pq p(1 p) Podmos utilizar p como sndo a proporção d sucssos. Exmplos: -Lançamnto d uma moda honsta: podmos associar cara a sucsso coroa a fracasso. Além d igualmnt provávl a distribuição d probabilidad é do tipo Brnoulli: Distribuição d Brnoulli: μ 1/ σ 1/ 4 1/ P(x) 1/ σ 1/ s x 1 s x - A xpriência tm mostrado qu durant as vndas d Natal, um clint qu ntra m uma dtrminada loja tm 6% d chanc d comprar um produto qualqur. Tmos, portanto, uma probabilidad d sucsso X1 (o clint adquirir um produto qualqur) d,6 uma probabilidad d não adquirir X um produto d q 1-p,4. Nst caso p é a proporção das vzs qu um clint compra um produto. Distribuição d Brnoulli: μ,6 σ,4 σ,6 P(x),4,4898 s x 1 s x

3 Distribuição binomial Para qu uma situação possa s nquadrar m uma distribuição binomial, dv atndr às sguints condiçõs: - são ralizadas n rptiçõs (tntativas, nsaios, provas) indpndnts; -cada tntativa é um nsaio d Brnoulli, isto é, só podm ocorrr dois rsultados possívis, com probabilidads p q1-p; -aprobabilidadpdsucssomcadansaioéconstant. S uma situação atnd a todas as condiçõs acima, ntão a variávl alatória X númro d sucssos obtidos nas n nsaios trá uma distribuição binomial, com n tntativas p (probabilidad d sucsso). Simbolicamnt: X ~ B(n,p) A variávl alatória x tm distribuição binomial com n nsaios uma probabilidad p d sucsso p : probabilidad d sucsso q 1- p : probabilidad d não sucsso A distribuição d probabilidad da variávl alatória X sucssos, m n nsaios, é dada pla distribuição Binomial: Distribuição Binomial: média: variância: dsvio padrão: n Pn (X ) p µ np σ npq σ npq q n n! p!(n )! q n

4 n1 p,5 n1 p,3 n1 p,6 Probabilidad d s obtr valors maiors ou iguais ao valor obsrvado P (X ) n n i n i i ( p) ( 1 p) Probabilidad d s obtr valors mnors ou iguais ao valor obsrvado P (X ) n i n i n i i ( p) ( 1 p) n i

5 Exmplos (1)No lançamnto d uma moda honsta 6 vzs sucssivamnt: (a) Qual a probabilidad d ocorrr 3 caras? (b) Qual a probabilidad d ocorrr mnos d 3 caras? (c) Qual a probabilidad d ocorrr no máximo 3 caras? (d) Qual a probabilidad d ocorrr no mínimo 3 caras? Sucsso é rprsntado plo rsultado cara. Como a moda é honsta p.5 q1-p.5 númro d lançamntos da moda: n5 a probabilidad d ocorrência d caras m n lançamntos é dado pla distribuição binomial n n n! n Pn (X ) p q p q!(n )! Tmos : 3 ( a) P5 (X 3) (.5) (.5) ! 3 (.5) (.5) 3!(5 3)! ( b) P5 (X < 3) P() + P(1) + P() (.5) (.5) 5 ( c) P5 (X 3) P() + P(1) + P() + P(3) (.5) (.5) 1 + (.5) (.5) (.5) (.5) 1 + (.5) (.5) (.5) (.5) (.5) (.5) ( d) P (X 3) P(3) + P(4) + P(5) 5 ( ou P (X 3) 1 P (X < 3) ) 5 5 Compltm as contas!!!

6 () Em um dtrminado procsso d fabricação, 1% das pças produzidas são considradas dfituosas. As pças são armaznadas m caixas com cinco unidads cada uma. Considr qu cada pça tm a msma probabilidad d sr dfituosa (como s houvss rptição no xprimnto d rtirar uma pça). (a) Qual a probabilidad d havr xatamnt três pças dfituosas numa caixa? (b) Qual a probabilidad d havr duas ou mais pças dfituosas m uma caixa? (c) Qual a probabilidad d uma caixa não aprsntar pça dfituosa? (d) Supondo qu a mprsa pagu uma multa d R$ 1, por caixa qu aprsnt pças dfituosas, qual o valor sprado dsta multa m um lot d 1. caixas? p,1 é a probabilidad da pça sr dfituosa q 1-p,9 é probabilidad da pça não sr dfituosa Numa caixa tmos 5 pças: n 5 O problma é dscrito por uma distribuição binomial ond X é o númro d pças dfituosas Tmos : ( a) P5 (X 3) (.1) 3 ( b) P5 (X ) 1 P5 (X < ) 1 ( P() + P(1)) 1 (.1) ( c) P5 (X ) (.1) 3 (.9) (.9) ! 3 (.1) (.9) 3!(5 3)! (.9) 5 5! 5 5 (.9) (.9),5949!(5 )! 1 (.1) (.9) 1 5 1

7 (d) Nst itm, tmos uma nova variávl alatória Y númro d caixas com pças dfituosas. Então tmos qu calcular o a probabilidad d uma caixa tr pça dfituosa: P(uma caixa tr pça dfituosa) 1-P(uma caixa não tr pça dfituosa) 1 - P(X), 495 Então a nova variávl Y: númro d caixas com pças dfituosas, m um lot d 1. caixas, sgu uma distribuição binomial com n 1. p, 495, portanto o valor sprado d Y srá: E(Y) np 1.,495 49,5 caixas. E a multa sprada: Multa Esprada 49,5. R$ 1, R$ 4.95, Distribuição Hiprgométrica Rlacionada com o númro d sucssos m uma amostra contndo n obsrvaçõs população finita d tamanho N Amostra rtirada sm rposição Os rsultados das obsrvaçõs são dpndnts A probabilidad d sucsso varia d um xprimnto para outro probabilidad da variávl alatória X sucssos m uma amostra rtirada d uma população com r sucssos

8 Fórmula da Distribuição Hiprgométrica r N r n P(X ) N n ond N tamanho da população r númro d sucssos na população N r númro d insucssos na população n tamanho da amostra númro d sucssos na amostra n númro d insucssos na amostra Propridads da Distribuição Hiprgométrica A média ( valor sprado d X ) da distribuição hiprgométrica é ond p r/n é a proporção d sucssos na população o dsvio padrão N n ond é chamado fator d "corrção d população finita", N 1 qu rsulta a mostragm sm rposição, d uma população finita. Quando N é grand comparado com n, a distribuição hiprgométrica d parâmtros n, N, p s aproxima da distribuição binomil com parâmtros n, p σ µ np nr(n-r). N N n N 1 np(1-p). N n N 1

9 Utilizando a Distribuição Hiprgométrica Exmplo: Um dpartamnto possui 1 computadors, dos quais 3 são vrificados. 4 dsss computadors possum softwar ilgal. Qual a probabilidad d qu dos 3 computadors vrificados tnham o softwrar ilgal? N 1 n 3 r 4 r N r 4 6 n 1 (6)(6) P(X ),3 N 1 1 n 3 A probabilidad d qu dos 3 computadors chcados tnham o softwar ilgal é,3 ou 3% Distribuição gométrica V. A. X: númro d tntativas indpndnts até obtr um sucsso Ffalha Ssucsso, pp(s) q1-q P[Xx] P(F F F F...F S) q x-1 p, x 1,, 3... x-1 Média: µ 1/p Variância: σ q/p

10 Aplicada quando: Distribuição d Poisson Você stivr intrssado m contar o númro d vzs m qu um vnto spcífico ocorr m um dtrminado intrvalo (d tmpo, d comprrimnto, d ára, volum, ) A probabilidad d qu um vnto spcífico ocorra m um dtrminado intrvalo é a msma para todas os intrvalos O númro d vntos qu ocorrm m um dtrminado intrvalo é indpndnt do númro d vntos qu ocorrm m outros intrvalos A probabilidad d qu dois ou mais vntos vnham a ocorrr m um dtrminado intrvalo s aproxima d zro à mdida qu o intrvalo s torna mnor. amostra * * Porção d um rolo d papl * * * * dfito tmpo * * * * amostra * chamada tlfônica A distribuição d Poisson é útil para dscrvr o númro d ocorrências num Intrvalo contínuo (tmpo, distância). Ex: Dfitos por cntímtro quadrado, acidnts por dia, vacas por acr, A variáv alatória X númro d ocorrências é discrta, mas a unidad d mdida é contínua. Não é possívl contar o númro d não ocorrências ( númro d dfitos qu não ocorrram por cntímtro quadrado, númro d chamadas tlfônicas qu não foram fitas, tc, )

11 Chamadas tlfônicas por unidad d tmpo; Dfitos por unidad d ára; Acidnts por unidad d tmpo; Chgada d clints a um suprmrcado por unidad d tmpo; Númro d glóbulos sangüínos visívis ao microscópio por unidad d ára; Númro d partículas mitidas por uma font d matrial radioativo por unidad d tmpo. Fórmula da Distribuição d Poisson P(X ) ond: númro d ocorrências! μ µ (, 1,, 3, 4, 5,..., µ λ t númro médio (valor sprado) d ocorrências no intrvalo t λ taxa média por unidad (d tmpo, d distância, d ára ) t númro d unidads (d tmpo, distância, ára, volum, ),7188 (bas dos logaritmos naturais) ) A distribuição d Poisson pod sr um modlo probabilístico razoávl d procssos dscritos na página antrior.

12 Probabilidad d ocorrências: P(X ) μ μ! Valor sprado (média): Variância: μ λt σ μ Dsvio padrão: σ μ Exmplo: ncont P(X ) s µ,5 µ µ P(X )!,5 (,5)!,758 Exmplo: Trns chgam numa stação a uma razão d 3 trêns/hora. Obsrvando a chgada d trns durant mia hora, qual a probabilidad d (a) não chgar nnhum trm (b) chgar 1 trm (c) chgar mnos d trns. Suponha qu a chgada d trns possa sr dscrtia por um procsso d Poisson. Tmos: Taxa d chgada: λ 3 trns/hora intrvalo d tmpo: t,5 h média d chgadas: µ λt 3.,5 1,5 µ P(X )! (a) P(X ) (b) P(X 1) µ 1,5 1,5 1,5 (1,5)! (1,5) 1! (1,5)! 1,3, 334 (c) P(X < ) P() + P(1),557

13 Tmos: Taxa d chgada: λ 3 trns/hora intrvalo d tmpo: t,5 h média d chgadas: µ λt 3.,5 1,5 µ P(X )! E portanto: µ 1,5 (a) P(X ) (b) P(X 1) 1,5 1,5 (1,5)! (1,5)! (1,5) 1! 1,3, 334 (c) P(X < ) P() + P(1),557 Gráfico das Probabilidads d Poisson,7 λ,5 X λ,5,665,333,758,16,16,,, P(x),6,5,4,3,,1, x P(X ),758

14 Forma da Distribuição d Poisson A forma da Distribuição d Poisson dpnd do parâmtro λ :,7 λ,5 λ 3,5 P(x),6,5,4,3 P(x),,15,1,,1,5, x, x Comparação ntr as distribuiçõs Binomial d Poisson: Rsultados possívis Obsrvaçõs Binomial Intiros d a n Contagm d sucssos ou falhas Poisson Intiros d a Contagm d sucssos somnt parâmtros n p µ + Aproximação da binomial pla poisson Para um númro muito grand d rptiçõ probabilidad d sucsso pquna podmos calcular, ou sja, s n é grand p pquno d modo qu np 7, podmos calcular a probabilidad d sucssos aproximando a distribuição binomial pla distribuição d Poisson com µ np.

15 Exmplo: Dtrminar a probabilidad d havr 4 pças dfituosa numa amostra d 3 pças, xtraida d um grand lot ond há % d dfituosas: tmos uma distribuição binomial com n 3 p,. Assim, P(X 4) 3! 4 (,).(,98) 4!(3-4)! 96 durza fazr ss calculo!!! mas tmos uma situação m qu n é grand p pquno, portanto podmos aproximar a distribuição binomial por uma distribuição d Poisson com µ np 3., 6. µ P(X 4)! µ 4 6 4! 6,135 (mais fácil d calcular) Tabla rsumo Modlo P(X ) parâmtros E(X) Var(X) Brnoulli p (1 p) 1,,1 p p p(1-p) Binomial n p (1 p) n p,,1,...,n n, p np np(1-p) Poisson µ µ!,, 1,,..., µ µ µ Hiprgométrica r N r n,, 1,,... N n N, r, n nr N nr 1 N r N N n N 1