P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O D O E X A M E T I P O 5

Transcrição

1 P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O D O E X A M E T I P O 5 GRUPO I ITENS DE ESCOLHA MÚLTIPLA 1. Agrupando num bloco a Ana, a Bruna, o Carlos, a Diana o Eduardo, o bloco os rstants st amigos prmutam ntr si d maniras. Como os cinco amigos d bloco têm d ficar sntados altrnadamnt por sxo, ntão a sgunda a quarta posiçõs srão ocupadas por rapazs (portanto, podm-s sntar d maniras) as primira, trcira quinta posiçõs do bloco por raparigas (portanto, podm-s sntar d maniras). Logo, o númro maniras dos cinco amigos s sntarm é. Portanto o númro pdido é (obsrva a figura sguint). Rsposta: B 2. Como são indpndnts, ntão, assim: ( ) (( ) ) ( ) ( ) ( ) Rsposta: C 3. Tm-s qu qu,, { }.. Logo, o ponto d coordnadas prtnc ao gráfico d.. Logo, o ponto d coordnadas prtnc ao gráfico d.. Logo, o ponto d coordnadas prtnc ao gráfico d.. Logo, o ponto d coordnadas prtnc ao gráfico d portanto o ponto d coordnadas não prtnc ao gráfico d. Cálculo auxiliar: Rsposta: D Proposta d Rsolução do Exam-Tipo 5 Página 1

2 4. Os pontos prtncm à rta. Assim, portanto a quação rduzida da rta é (assíntota do gráfico d, quando ). Como a função é par, ntão a rta d quação é assíntota do gráfico d, quando. Como é finito, ntão. Assim: ( ) ( ) Portanto,. Rsposta: D 5. Tm-s: ( ). Portanto xclui-s a opção IC. ( ) ( ). Portanto xclui-s a opção ID. Nota: Como, vm qu ( ) ( ). Portanto xclui-s a opção IB. Rsposta: A 6. Tm-s qu :. Logo, portanto a função não é contínua à squrda do ponto. S ntão Logo, portanto a função é contínua à dirita do ponto. Proposta d Rsolução do Exam-Tipo 5 Página 2

3 Portanto a função é contínua m { }, sndo contínua apnas à dirita do ponto. Nota: Para a função é contínua pois é composição, difrnça quocint ntr funçõs contínuas no su domínio para a função é contínua plas msmas razõs. Rsposta: C 7. Um númro ral ngativo pod sr rprsntado na forma trigonométrica por, com. Assim:, com { } A raiz sxta qu s obtém para é, cuja imagm gométrica prtnc à part positiva do ixo imaginário. Das opçõs aprsntadas, o único hxágono qu tm um vértic na part positiva do ixo imaginário é o da opção IC. Rsposta: C 8. O ponto é a imagm gométrica do númro complxo, portanto o ponto é a imagm gométrica do númro complxo, o ponto é a imagm gométrica do númro complxo o ponto é a imagm gométrica do númro complxo (obsrva a figura). Pla rgra do parallogramo tm-s: Assim, ( ) w P B C Q z w z O (z) A D z z (z) Rsposta: B GRUPO II ITENS DE RESPOSTA ABERTA ( ) ( ) ( ) ) Logo,, mas porqu portanto. i) Cálculo Auxiliar: Para scrvr na forma trigonométrica, vm: ( ). Sndo um argumnto d, tm-s quadrant, plo qu. Assim,. Proposta d Rsolução do Exam-Tipo 5 Página 3

4 1.2. Fazndo, com, vm: { { { { S ntão qu não é solução, pois. S substituindo por valors prtncnts ao conjunto { }, obtém-s: Portanto, o conjunto solução da condição é { } ( ) dsigna a probabilidad do produto dos númros das três fichas rtiradas da caixa B sr zro, sabndo qu as duas fichas rtiradas d A colocadas m B stão numradas com o msmo númro. Assim, as fichas rtiradas da caixa A colocadas na caixa B stão numradas com o númro portanto, para a sgunda fas da xpriência, ficam na caixa B st fichas, duas numradas com o númro, três numradas com o númro duas numradas com o númro. Logo, o númro d casos possívis é (das sts fichas da caixa B rtiram-s três). Para o produto dos númros das três fichas sr zro, plo mnos uma dlas tm d star numrada com o númro, portanto o númro d casos favorávis é (das duas fichas numradas com o númro rtira-s uma das rstants cinco rtiram-s duas ou das duas fichas numradas com o númro rtiram-s as duas das rstants cinco rtira-s uma). Assim, pla li d Laplac, ( ) D acordo com a xpriência alatória nunciada, as somas possívis são: (xtraindo uma ficha com o númro da caixa A duas com o númro da caixa B), o rsto da divisão intira d por é ; (xtraindo a ficha com o númro da caixa A duas fichas com o númro da caixa B ou xtraindo uma ficha com o númro da caixa A, uma com o númro da caixa B uma com o númro da caixa B), o rsto da divisão intira d por é ; Proposta d Rsolução do Exam-Tipo 5 Página 4

5 (xtraindo uma ficha com o númro da caixa A as duas com o númro da caixa B ou xtraindo a ficha com o númro da caixa A, uma com o númro da caixa B uma com o númro da caixa B), o rsto da divisão intira d por é ; (xtraindo a ficha com o númro da caixa A as duas fichas com o númro da caixa B), o rsto da divisão intira d por é. Portanto, a variávl alatória pod tomar os valors,,, isto é { }. Para qualqur valor da variávl alatória o númro d casos possívis é. Tm-s qu: ( ) ( ) ( ) ( ) Portanto a tabla aprsntada é a da distribuição d probabilidads da variávl alatória. 3. A variávl alatória : «volum d tinta, m ml, dos tintiros» sgu uma distribuição normal cujo valor médio vamos dsignar por o dsvio padrão por, isto é. Tm-s qu como o intrvalo [ ] é o único intrvalo d amplitud m qu, vm qu, portanto: Nota: Os valors d podm sr obtidos rsolvndo o sistma { Tm-s ntão qu. Assim: Logo, a probabilidad pdida é. Proposta d Rsolução do Exam-Tipo 5 Página 5

6 Tm-s: { { { { { { { Portanto, Tm-s radioativo A rduz-s por ano Tm-s:. A massa do lmnto ( ) Fazndo vm: Logo, portanto a difrnça ntr a massa da amostra do lmnto radioativo A a massa da amostra do lmnto radioativo B é d mg passados, aproximadamnt, st anos quatro mss. Proposta d Rsolução do Exam-Tipo 5 Página 6

7 5. Sguindo a sugstão, vamos provar qu a função tm plo mnos um zro no intrvalo [ ]. Provando qu a função tm plo mnos um zro, fica provado qu prtnc ao contradomínio d. Tm-s: têm sinais contrários. Como é stritamnt dcrscnt m IR as rtas d quaçõs são assíntotas do su gráfico vm qu ] [, ou sja,, (na figura abaixo stá uma possívl rprsntação gráfica da função ). ( ), portanto,.. Assim, como,, vm A função é contínua m IR, pois é produto, soma quocint ntr funçõs contínuas m IR, logo é contínua m [ ]. Tm-s: Logo, como têm sinais contrários ntão também têm sinais contrários portanto plo corolário do torma d Bolzano ] [: prtnc ao contradomínio da função. Proposta d Rsolução do Exam-Tipo 5 Página 7

8 6. Tm-s ( ), assim: ( ) ( ) ( ) ( ) Fazndo um quadro d variação do sinal da função, vm: n.d. p.i. n.d. p.i. O gráfico d tm a concavidad voltada para baixo m ] ] m ] ], tm a concavidad voltada para cima m [ [ m [ [ tm ponto d inflxão m m Tm-s ( ). Assim a ára colorida da figura é dada por [ ] ( ). ( ), Como [ ], vm portanto. Proposta d Rsolução do Exam-Tipo 5 Página 8

9 A rta é tangnt ao gráfico d no ponto, assim, como, vm: Assim, a quação rduzida da rta é do tipo como o ponto prtnc à rta, tm-s: Logo, a quação rduzida da rta é portanto Utilizando o ditor d funçõs da calculadora, dfin-s na janla d visualização [ ] [ ]. Fazndo um quadro d variação do sinal da função, vm: min. máx. min. máx. A função é dcrscnt m [ ], é crscnt m [ ] m [ ], tm um mínimo rlativo m m tm um máximo rlativo m m, m qu. Proposta d Rsolução do Exam-Tipo 5 Página 9