Nota 1: Esta questão poderia ser resolvida de outra maneira, usando a seguinte propriedade: RESOLUÇÃO DA PROVA MODELO N.º 14

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1 RESLUÇÃ DA PRVA MDEL N.º GRUP I ITENS DE ESCLHA MÚLTIPLA. Cosidrmos o sguit squma: S as duas ltras A ficassm as duas primiras posiçõs a ltra D a trcira posição tmos: As duas ltras A podm ocupar as oito posiçõs d 8 C mairas distitas. Etr as rstats sis posiçõs dispoívis scolhmos uma para a ltra D, o úmro d mairas d o fazr é C. Por fim scolhmos, ordadamt, cico ltras tr as rstats oz para ocuparm as posiçõs qu rstam, o úmro d mairas d é fazr é dado por A. Logo o úmro total d palavras as codiçõs pdidas é dado por 8 C A a rsposta corrcta é a B.. i) Como os acotcimtos A B são idpdts tão PA (Também s tm PA B PA PB P A B Assim como PA B 0, tão P A 0,. ii) PA B PA PBPA B A rsposta corrcta é a C. Justificaçõs: i) A A D S A 0 98 A P A P B P B P A B i) PA PB PB PA PB AB A B PA B PB PA B ). 0, 0, 0, 0, 0, 0, B Nota : Esta qustão podria sr rsolvida d outra maira, usado a sguit propridad: S os acotcimtos A B são idpdts tão os acotcimtos A B também são idpdts. Dmostração: Como os acotcimtos A B são idpdts tão PA B PA PB. Assim: P A B P B P A B P B P A P B P B P A P A P B Etão os acotcimtos A B também são idpdts. Usado tão sta propridad vm: P A B P A P B P A B 0, 0, P A P B 0, 0, 0, 0, 0, 0,0 0, Nota : Dmostra-s, utilizado um procsso smlhat, qu s os acotcimtos A B form idpdts tão os acotcimtos A B também são idpdts.. Vamos comçar por fazr uma tabla d dupla trada para ajudar a rsolução dsta qustão. Assim tmos: Com a ajuda da tabla cocluímos qu a variávl alatória X toma os valors 0,,, ou sja, X 0,,,. E qu as rspctivas probabilidads são: 8 PX 0 8 PX PX PX José Carlos da Silva Prira ENES.º Ao Matmática A Provas Modlo.º Proposta d Rsolução

2 Logo a tabla d distribuição d probabilidads da variávl alatória X é dada por: i 0 P X i A rsposta corrcta é a A.. Tm-s 8 log9 a a 9 a a. Etão: log 9a 9 log log 9 log 9 log log log A rsposta corrcta é a B.. i) Como os potos d coordadas A, B0, prtcm à rcta r tão AB é um vctor dirctor da rcta r. Assim: Logo o dcliv da r é AB B A, 0,, como o poto d coordadas 0, prtc à rcta r tão a sua quação rduzida é. ii) Como a rcta d quação é assimptota do gráfico d f, quado, tão: A rsposta corrcta é a C.. Sjam a, b c os zros da fução g, com a b c. Fazdo um quadro d sial vm: a b c g g P.I. P.I. gráfico da fução g tm cocavidad voltada para baio m a,b. D todos os itrvalos aprstados o úico qu pod star cotigo m a,b é o itrvalo,0 portato a rsposta corrcta é a D.. úmro complo zz i é um imagiário puro s só s R z z i 0 Im z z i 0. Assim: z z i a i a a ai i ai a a a ai i a a a i a a a a a i a Etão Rz z i a a a Assim: a a a 0 a 0 a a a 0 a Im z z i a. a 0 a a 0 a a 0 a a a lim f 0 f lim lim f f lim f lim Como a 0 a tão a. A rsposta corrcta é a A. 8. Cosidrmos a sguit figura: Im(z) Logo lim f lim f f lim f lim lim f lim f argz i Imz arg z i arg z i José Carlos da Silva Prira ENES.º Ao Matmática A Provas Modlo.º Proposta d Rsolução R(z)

3 As smi-rctas têm origm a imagm gométrica do úmro ii) Cosidrmos a sguit figura: complo i. Como opçõs d rsposta, triâgulo é:, tão, tdo m cota as. Logo a codição m C qu dfi arg z i Imz C B Im(z) A R(z) A rsposta corrcta é a D. D GRUP II ITENS DE RESPSTA ABERTA.. i) Vamos comçar por scrvr o úmro complo z a forma trigoométrica, tm-s: z 8 8. Sja um argumto do úmro complo z, assim Como.ºQ tão. Logo 8 tg. 8 z cis. Utilizado a fórmula da radiciação vamos dtrmiar as raízs quartas do úmro complo z. Assim: k z cis cis, k 0,,,, ou sja, k cis, k 0,,,. 0 Para k 0 cis cis cis 8 Para k cis cis cis Para k cis cis cis 8 0 Para k cis cis cis Portato os úmros complos cujas imags gométricas são os potos A, B, C D são, rspctivamt, cis, cis, cis cis. A ára da rgião sombrada da figura é dada por: sombrada círculo ABDC A A A AB 8 8 Cálculo Auiliar: Plo Torma d Pitágoras tm-s:. AB A B AB AB 8 i) úmro complo z é da forma z cis, portato o 9 úmro complo z é da forma z cis cis. 9 8 ii) A imagm gométrica do úmro complo w z prtc à bissctriz do sgudo quadrat ral s só s arg w z k, k Z. Assim: Logo w z ciscis cis cis cis cis cis cis k, kz k, kz José Carlos da Silva Prira ENES.º Ao Matmática A Provas Modlo.º Proposta d Rsolução

4 k, kz k, k Z Para k 0, Para k, Portato..... Cosidrmos os acotcimtos M/F: «aluo scolhido é do so Masculio/Fmiio» C/L: «aluo scolhido prfr um curso rlacioado com Ciêcias/Ltras». Qurmos dtrmiar P F C. Vamos costruir uma tabla para rspodr a sta qustão. Do uciado tm-s PL F 0,. Assim: P M 0, 0, PC M M F p.m. P L M 0 0 iii) iv) PC F Como 0% dos participats o studo ram rapazs como 0,00 0 tão participaram o studo 0 rapazs 0 raparigas. úmro d casos possívis é dado por 00 C (dos 00 aluos qu participaram o studo scolhmos sis). Para dtrmiarmos o úmro d casos favorávis tmos d cosidrar dois casos: A comissão é formada por quatro rapazs duas raparigas, o úmro d comissõs qu é possívl formar stas codiçõs é C C 9 C (como a Sóia tm d fazr part da comissão tão das rstats 9 raparigas scolhmos uma dos 0 rapazs scolhmos quatro); A comissão é formada por cico rapazs uma rapariga, o úmro d comissõs qu é possívl formar stas codiçõs é 0 C (como a Sóia tm d fazr part da comissão tmos apas d scolhr cico rapazs tr os 0). Logo o úmro d casos favorávis é 9 C C. Pla Rgra d Laplac a probabilidad d um 0 0 acotcimto é o quocit tr o úmro d casos favorávis o úmro d casos possívis, quado sts são quiprovávis C C Assim a probabilidad pdida é dada por 00 C. Comcmos squmatizar a situação, rprstado a Curva d Gauss associada à variávl alatória X:. C 0 0 L ,0 0, 0,0 Logo PF C Justificaçõs: i) p.m. 0 PF C 0 PC 0 M. 0 P C P C M PC M P M 0 ii) F P L P L F PL F P F 0 0 Como PX PX 0, 0, 0,0 como P X % 0, tão: P X X P X P X 0,0 0,0 0,0 Logo o úmro d raparigas qu têm pso ifrior a kg suprior a kg é dado por 0,0 0.. úmro d casos possívis é dado por A (Para a primira bola qu vamos colocar tmos compartimtos à scolha para a sguda bola tmos compartimtos à scolha). Como o úmro d compartimtos é par tão istm José Carlos da Silva Prira ENES.º Ao Matmática A Provas Modlo.º Proposta d Rsolução

5 compartimtos umrados com um úmro para compartimtos umrados com um úmro ímpar. Para dtrmiar o úmro d casos favorávis comçamos por scolhr uma das bolas (visto qu são distitas) para colocar um dos compartimtos umrados com um úmro par, ssa scolha pod sr fita d C mairas distitas. Para cada uma dstas mairas istm formas distitas d colocar a bola scolhida um dos compartimtos umrados com um úmro para formas distitas d colocar a outra bola um dos compartimtos umrados com um úmro ímpar. Portato o úmro d casos favorávis é. Assim tm-s:. gráfico da fução g a rcta r itrsctam-s m plo mos um poto cuja abcissa prtc ao itrvalo, s a quação g for possívl ss itrvalo, para o provarmos vamos utilizar o Torma d Bolzao. Para mostrarmos qu ss poto é úico tmos d vrificar qu a quação g tm uma úica solução m,. i) A fução g é cotíua m IR pois é difrça d duas fuçõs cotíuas m IR ( cos é cotiua m IR porqu é a composta tr a fução cos, trigoométrica, cotiua m IR, a fução, poliomial, cotíua m IR s é fução trigoométrica cotíua m IR) Logo g é cotíua m, IR. Como g é cotíua m, como g g 0 0, ou tão plo Torma d Bolzao, : g sja, o gráfico d g a rcta r itrsctam-s m plo mos um poto cuja abcissa prtc ao itrvalo,. g cos s ii) Figura Auiliar: Para k 0 cos s s 0 s s s 0 s s 0 s s 0 Eq. impossívl s s s k k, k Z g cos s cos g cos s cos Para k Para k Etão é a úica solução da quação o itrvalo, portato o gráfico da fução g a rcta r itrsctam-s um úico José Carlos da Silva Prira ENES.º Ao Matmática A Provas Modlo.º Proposta d Rsolução

6 poto cuja abcissa prtc a ss itrvalo. As coordadas dss poto são,.. Mudaça d Variávl: S 0 tão. S 0 tão.. Sja. Vamos comçar por dtrmiar a prssão aalítica d f dtrmiar os sus zros. i) f l l l l ii) f 0 l 0 0 l 0 Fazdo um quadro d sial vm: 0.d. 0 l.d. f.d. 0 f.d. Mi. Assim cocluímos qu a fução f é dcrsct m crsct m qu é: 0 l 0 IR, 0, é. A fução f tm míimo absoluto para Logo a rcta d quação 0 ão é assimptota vrtical do gráfico d f. Como a fução f é cotíua m IR tão o gráfico d f ão assimptotas vrticais. ii) Quado tm-s: f m lim lim l lim l l Logo o gráfico da fução f ão tm assimptotas ão vrticais. Cocluímos tão qu o gráfico da fução f ão tm qualqur tipo d assimptotas (m vrticais m ão vrticais). i) Sja a abcissa do poto P. Como a rcta s é tagt ao gráfico d f o poto P tão f ms. A rcta s é prpdicular à rcta d quação, portato o dcliv da rcta s é dado por ms ms. Qurmos tão dtrmiar o valor d para o qual f. Nota: Duas rctas r t, do plao, são prpdiculars s só s mr. m t ii) Utilizado o ditor d fuçõs da calculadora vamos dfiir as fuçõs f l btmos: a jala 0,, f l l. f. domíio da fução f é IR. Assim: l lim f lim l lim l lim l i) 0 0 0, l lim lim Logo a abcissa do poto P é, aproimadamt,, (, ). José Carlos da Silva Prira ENES.º Ao Matmática A Provas Modlo.º Proposta d Rsolução

7 .. Como passados dz aos, ou sja, uma década, a massa d CS prst o local ra d 9, g como m 00, ou sja, passados aos (uma década mia) a massa d Cs prst o local ra d,8 g tão m,,8. Assim tm-s: b m 9, a 9, b, m,,8 a,8 9, a b 9,,b b,8 m 9,,b,8 b 9, 0,b 0,89 0,b l0,89 9, a 0,9 a 00 l0,89 b 0,9 b 0,9 0, Logo, a altura da plosão, a massa d Cs librtada foi d 00 gramas. Tm-s: 0,9 t m t 0, m t a 0, a 0,90,9t 0,9t 0, 0,90,9t 0, 0,9t 0,90,9t 0,9t 0,9 0, 0, 0,9 l 0, l 0,, 0,9 0,9t A coctração d Cs rduz-s 0% a cada, décadas, ou sja, a cada aos, aproimadamt. José Carlos da Silva Prira ENES.º Ao Matmática A Provas Modlo.º Proposta d Rsolução