Matemática A Extensivo V. 6
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- Heitor da Conceição
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1 Matmática A Etnsivo V. 6 Rsolva.) a) Aula. ( ) <. ( ) < 6 < 8 < < b) ( ). ( ) ' = ; " = ou.) C < 7 () 8 < () ( ) > ( ) ( ) < 7 () < < 8 < () < < 9 ( ) > ( ) () 6 > > /9 /9 Solução: < < 9.) D f() = f( ) ( ). ( ) ' = ; " = Solução: [, ] Entr as altrnativas aprsntadas, o único conjunto no qual [, ] stá contido é o intrvalo [, ]. Aula.) a)( 8). ( ) = 8 =. Solução: ou b) = =. Solução: ou > Matmática A
2 c) < <.( ) ( ).( ).( ) < < < Solução: < <.) a)f() = D = { R/ }.) B ( ). ( ) > ( ) é smpr positivo para ±. Dssa forma, basta analisarmos o sinal d ( ). Como o pont é ímpar, ( ) tm o msmo sinal d. Assim, a inquação dada é quivalnt a: > > Aula.) a) < < < < < < < 6 b) ou ou c) < Condição d istência > > () < < < < () < < () < b)f() = D = { R/ < < } c) f() = () 6 > () D = { R/ < 6}.) a)f() = ( 7 ) Domínio ( 7 ).() ( 7 ) Como a prssão stá lvada ao quadrado, nunca srá ngativa; apnas positiva ou nula Matmática A
3 para = =. D = {, } magm f() = 6 = f() = = m = {, } b)f() = ; f() = ( ) =, Como: =, < =, > f() =. =, < D = { R/ } m = {, } o ) = Vamos diminuir unidads do gráfico antrior. = = = = Aula.) a) f() = m = (, ) d)f() = o ) = b)f() = É o gráfico antrior acrscido d unidads. m = (, ) o ) = c) f() = o ) = Matmática A
4 o ) = Basta subirmos o gráfico antrior unidads..) 9 f() =. Vrdadiro rdadiro. f(a ) = a = a. f(a) =. a = a.. Falso also. f() = f() =. Falso also. (fof)() = f( ) = ( ) 8. Vrdadiro rdadiro. o ) = Basta rbatrmos para cima a part ngativa do gráfico antrior. 6. Falso also. Não é bijtora.. Falso also. ntrcpta no ponto (, ). Tsts Aula.) a) ( ) < < < < b)( ) ( ) 6 6 c) 8 < < < 7. () > 7 > 7 d) ) 6. ( ) <. 6 < < <.() > > f) g) 7. ( ) 7 =. () 8 8 ou Matmática A
5 h) ( 7). ( ) > 7 > >.() < 7 < < 7 i). ( ) ( ). ( ) j) 6 9 k) > =.. = 8 l) < < () < S = S = {} S = R.) B (). () () 6 S = = R/.) D 7 () (). () S = = { R/ } N os intiros:,,.) D < 9 < 6 6 < 8 <,6 N os intiros positivos: =.) m > () m > 76 m > 9, 8 m 7 > m () () 8m > m m > 9. () m < 9 m < 96, D, tiramos qu m = 96. Soma dos dígitos: 9 6 = 6.6) C S = S = {} Matmática A
6 .7) B > 8 < > 8 () 8 > 6 < () < 6 6 S = { R/ < < 6}.8) C < < < () < () (A B) C = [, ] [, ] = [, ].) E A =.) D A = [, ] B = > B = (, ) (, ) B = R B = [, ] A B = [, ] [, ] = [, ] m m = > m. m. > m m > m < ou m >.) B = ( p). a < D < < <.9) B A = { R/ } B = { R/ } C = { R/ } p < < p (). ( p). () < 8 p < p <.() p > p > () D, tiramos qu p >..) E f() = p A B =, [, ] = [, ] > 6 Matmática A
7 p.. > p > p < ou p >.) k > Qurmos qu o gráfico sja:.) A Para isso, basta fazrmos <. 6.. (k ) < 6 8k < 8k <.() 8k > k > f() = m m O domínio é R s, somnt s, m m >, isto é, <. m.. m < m 8m <.8). Vrdadira rdadira. f() = Domínio: { R/ ou 6}. Vrdadira rdadira. = o ) = o ) = = ( ) = =. Vrdadira rdadira. h() = ; k() = h(k()) = h() = 9 8. Falsa alsa. f() = é crscnt. < m < 8.6) A f() = 6; g() = 8 h() = ( fog)( ) = f ( ) h() =.( ) 6 h() = Domínio: ou.7) E < < < < < <. () > > 6. Vrdadira rdadira. g() = Todos os ponts são pars.. Falsa alsa. h() = = Somando > > > > Matmática A 7
8 h() = m = [, ).9) E 6 b c (6 b) c Como a solução é o intrvalo [, ], o gráfico é: = b b a a = b b a a = raiz v sto significa qu é a média aritmética ntr v uma das raízs, ou. D qualqur forma, stá ntr as raízs. Assim, a função é positiva para todo tal qu < <. Aula.) a) ( ). ( ) = = Dss modo, as raízs são. Soma 6 b = 6 b = 6 b = Produto c =. c = c =.) C a < < = a b c. S = { R/ ou } b) 8 = 8 = C v= = b a é a abcissa do vértic, assim, < <. = b b ac a = b a / S = { R/ ou < < } c) > > ( )( ) > ( ) 8 Matmática A
9 > S = R/ < > = ; = = 8 < = S = { R/ < } d)(6 ) 7 O sinal d (6 ) 7 é o msmo d 6. Então, basta rsolvrmos a inquação. 6 6.() 6 S = { R/ } ) ( 7 6) () Como ( 7 6) para todo R, os únicos valors qu satisfazm a inquação são ' = " = 6. S = {, 6} f) (6 ) 7. ( 7 6) < () ( 7 6) > para todo R, ; 6. (6 ) 7 tm o msmo sinal d 6. Então, a inquação é quivalnt a: 6 <, ; 6 < 6.() > 6 > S = { R/ > ; 6}.) B ( ). ( ). ( ) < = = =.) C ( 7 ). ( ) <.) E = 7 = 9 6= = = S = R. 6 < = 6 = S = { R/ < ; }.) D = = < N os intiros:,,,, númros.6) E < Matmática A 9
10 .7) E = = 8 6 / S = R/ < =, 7 ( )( ) Como é smpr positivo, basta rsolvrmos a inquação. 7 = 7 = S = { R/ < < ou } a) "Passar para o outro lado" quival a multiplicar os dois lados por. Como o sinal d dsigualdad não mudou, l considrou como positivo. Aí stá o quívoco, pois pod sr também ngativo ( < para < ). b) > > > 8 > = 8 =.) D 6 < S = R/ < < ) A f() = ; g() = 6 < h() = 6 < Domínio: < = = = 7 D = { R/ } = = S = { R/ < < }.9) > Matmática A
11 .) D = = /.) 8 8 s = (,] = = / S = (, ] Soluçõs intiras: =.). Vrdadira rdadira. Propridad m.d.c (a, b). m.m.c (a, b) = a. b. =. 8 = 7. Falsa alsa. = = = = = 6 = 6 A = {,, 9, 6,, 6}. Vrdadira rdadira. D r d Q D = dq r () Sja o mnor númro a sr somado a D para qu a divisão sja ata. D d Q D = d(q ) Usando, tmos: dq r = dq d = d r 8. Falsa alsa. Qurmos qu o quocint sja ngativo ou nulo. Como o numrador já é ngativo (), basta tornarmos o dnominador positivo. > > S = { R/ > } 6. Vrdadira rdadiral A B disjuntos n(a B) = n(a B) = n(a) n(b) n(a B) n(a B) = n(a) n(b).).( 7 ) 8.( )( ) 8; ( ) 8 9, 6, Mnor solução intira: 6.) D > >. () >. ( ) > Matmática A
12 = = S = { R/ < < ou > }.6) B ( ). > ( ). > >. ( ) > Como >, basta fazrmos > >. A = ], [.7) ( ) ( ) = = Então, basta rsolvrmos a inquação ( 9). ( ) <. = 9 =. S = { R/ < }.9) p() = dt a a)p() = ( ). (a ). ( ). ( ) Para a = p() = ( ). ( ). ( ). ( ) p() = ( ). ( ).( ) p() = ( ). [( ) ] p() = ( ). [ ] p() = ( ). ( ) p() = = = ou = =.. = 6 = ± i = ± i S = {, ± i} b) p() = ( ). (a ). ( ). ( ) p() = ( ). [(a ). ( ) ] p() = ( ). [a a ] p() = ( ). [ (a ). a ] p() tm uma única raiz ral quando ( a ). a não tivr raiz ral, isto é, <. ( a ).. (a ) < a a a 6 < a a <. S = { R/ }.8) A ( 9). ( ) 7 < ( 9) tm o msmo sinal d 9. ( ) 7 tm o msmo sinal d. < a <.). Corrta. = 6 6 Matmática A
13 ( ).( ) = = = 6 ( ).( ). ncorrta. < < < = = S = R/ < ou >. ncorrta. = 8. Corrta. = 8 = = 7 6. ncorrta. =, = =, mas = 6 pois tríamos = stá dfinido val 6 Aula não stá dfinido, 6. 6.) a) < < < < < < < b) 6 6 ou 6 6 ou c) Condição d istência () () () () > para qualqur. 6. ncorrta. = z S =, = z =, tmos: = = z =. Corrta. = ( ). ( ) = = = () ou = = () Gomtricamnt, = () = () () Solução: d) < < < < <.() > > > > S = { R/ < < } Matmática A
14 ) ou 6 8 S = R/ ou 7 f) < < < < < Como, basta considrarmos: < < S = { R/ < < }.) a) f() = D = { R/ } b)f() = 9 9 D = { R/ ; } 6 c) f() = 9 8 () 9 8 > () D = { R/ < ou 7 < 8} 8 d)f() = 6 6 D = { R/ } ) f() = 6 6 D = { R/ } f) f() = D = { R/ }.) a) f() = ( 9) A prssão só faz sntido para = ±, pois qualqur outro valor produzirá raiz quadrada d númro ngativo. D = {, } f() = 6 = 7 f() = 6 = m = {, 7} b)f() = f() = ( ) ; f() = ;, Como =, tmos:, < =, > f() = =, < D = { R/ } m = {, } c) f() = ( ) ( ) A prssão ( ) só ist para os valors qu a tornam nula, já qu para qualqur outro ral la srá a raiz quadrada d um númro ngativo. Matmática A
15 =. ( ) = = ou = = ; = D = {,, } f() = (. ) = f() = (. ) = f() = (. ) = m = {,, } > () >.) E < < < < < 7 ntiros não ngativos:,,,,,, 6 7 númros D = R/<.) B A = { Z/ = } A = {, } B = { Z/ < } < < < < < B = {,,,, } B A = {,, } Númro d lmntos:.6) < < < < < < < () > () < < S = { R/ < < }.7) f() = g() = 8 a)d(f) = { R/ } D(g) = R.8) B b)f(g()) = f( 8) = 8 Domínio: 8 D = { R/ ou } f() = ().().9) f() = D = { R/ < }.) A f() = 6; g() =.) D h() = ( fog)( ) = f( g( )) = f ( ) =.( ) 6 = D = { R/ ou } f() = = = D = { R/ ou > } Matmática A
16 .) D ( ).() S = { R / }.) A f() = g(t) = ft () t= t t t Domínio: t = t t = t t t t t t D = {t R/ < t ou t }.) V = t t 6 t, t t t = t, t < < t t 6, t 6 t t 6 = t 6, t 6 < t < Para t : t = t t 6 = t 6 V(t) = ( t) (t 6) = t t 6 = t Para < t < : t = t t 6 = t 6 V(t) = ( t) (t 6) = t t 6 = 8 Para t : t = t t 6 = t 6 V(t) = ( t) (t 6) = t t 6 = t Obsrv qu V(t) é constant. V(t) = 8 apnas no intrvalo < t <. Como o tmpo stá sndo contado a partir das 8 h, o volum prmancrá constant ntr 8 h h = h 8 h h = h.) A < < > > < ou () < < < < < () < < 7 7 S = { R/ < < ou < < 7}.6) E > > > ou < < < S = { R/ < ou > }.7) C < < < Dvmos tr, ond: <. () () > > > 7 > 7/ ou < < Vrdadira para todo R. S = R < () > > mpossívl ou < < 7 < Matmática A
17 S =, S = R/ < 7.8) A 7 Dvmos tr, m qu: () ou S = (, ] [, ) 7 () S = [6, 8] S = [6, ] [, 8].9) C > Para, tmos: > () ( ).( ) > > >.() < S = [, ) Para, tmos: > () ( ). ( ) > ( ) > >.() < S = (, ] Solução: S = S S = [, ) (, ] = (, ).) E f() = Prcisarmos tr, m qu: () ou S = (, ] [, ) Matmática A 7
18 () 6 S = [, 6] 6 6 S = S S = [, ] [, 6] Aula.) a) f() = m = (, ) d) f() = o ) = m = (, ) b) f() = o ) = Basta dscr o gráfico antrior m unidads. m = (, ) c) f() = 7 o ) = 7 m = (, ) ) f() = o ) = o ) = 7 Basta subirmos o gráfico antrior m unidads. 8 Matmática A
19 o ) = Basta rbatr o gráfico antrior d forma simétrica ao io. m = (, ) f) f() = o ) = 8. Vrdadira rdadira. f() = a = 6. Falsa alsa. f() = = = =.) A f() = a ; a > ; a S a > S < a < o ) = Dscr o gráfico m unidads. f só assum valors positivos..) 8 o ) = Rbatr para cima a part ngativa do gráfico. f() = ; g() =. ncorrto. S =, f() = g() = ; os gráficos s intrcptam no ponto (, ).. ncorrto. f dcrsc < < g crsc >. Corrto. g(). f() =. = 6. = = f() m = [, ).) f() = a ; a > ; a. Vrdadira rdadira.. Falsa alsa. Crsc quando a >.. Vrdadira rdadira. f() = f() = = 8. Corrto. Como g() = ; f(g()) = f() 6. Corrto..) f() = 6 f() g() = f() = 6 = 6 = = = f() = 6 = 6 = 6 = f() = 6 = 6 = 6 = ( ) = = 8 Matmática A 9
20 Assim, f() f() f() = 8 =.6) D f() = f() f() f() = =.7) E f() = f(a) = f(b) a =. b a =. b a b = a = b a b = ( ) a b =.8) A t B(t) = Cinco dias: t =. = B() = = =.9) C M(t) =.,8 t Massa inicial: M() = g Em um dia: M() =.,8 =. 8,% S m um dia a massa passa a sr 8,% da inicial, ntão s dsintgra 6,%..) E f() = No gráfico, f(a) = c a = c f(b) = d b = d a b Assim, f a b = a b = ( ) a b = (. ).) E h(t) = t t., t h(t) = t t.,t = t t, t =. = =,t t =, t = ( cd) = cd.) E P(r) = k. r r = P(r) = = k.. 98 = k. 98 = k. 768 k = P(r) =. r P() =.. =. 9 = 6.) P = 8. (,. d ) 8. (,. d ) = 7, d = =., d =,. d 8 7,. d = 7 =,. d 7 = d d = 8.) B f() =. 6 f() =. 6 = = 8 f() =. 6 = 7= 9 8 Durant o o ano: 9 8 = 7.) A f() = = = Como a bas stá ntr, o gráfico é do tipo:.6) A f() = a. b O gráfico antrior foi obtido plo rbatimnto do sguint gráfico: Matmática A
21 b) é maior do qu, pois > = b Então, a < b >.7) f() =, Como =, <, f() = =, < m = [, ).8) f() = 7 7 > < (somando 7) 7 < 7 (dividindo por 7) 7 < < 7 Então, a imagm d f() é (, ) a =.9) a) f() = ; g() = > > 8 > 8. >.) E M = C( i) t M = (,9) 6 M = [(, 9)8] M = ( ) M = (876) M = 876 M trilhão.) a) Usando a fórmula M = C( i) t sabndo qu M = C, tmos: C = C. ( i) = ( i) = i, = i i =, i =,% b) juros = montant capital 7%C = M C 7%C C = M 8%C = M Como o capital duplica m dois mss a taa bimstral é d % =. Assim, M = C( i) t 8% C = C ( ) t 8 = t t = bimstrs = 6 mss. g.) f() = p ; g() = (fog) (p) = f(g(p)) = f( p ) = ( p ) p ( p ) p = p p = p f / / / p p = p = p p p = p(p ) = p' = ; p" = Matmática A
22 .) C [, ] f() =. cos π Como cos (a) = cos a, tmos: f() =. cos π f dcrsc m [, ] g() = g dcrsc m [, ] h() = 8 9 Como a bas é mnor do qu, 8/9 h é dcrscnt m [, ].) B k f() = Considrando = k, tmos f() =. Como f é crscnt, su maior valor srá assumido quando for máimo, isto é, quando = v. v = a v = ( k.( ). ) v = k v = k Máimo d f f( v ) = = k k = 6 k = k = 6 k = ± Soma: =.) D f() = a ) Falsa alsa. [f()] n = (a ) n = a n.6) C f( n ) = a n ) Vrdadira rdadira. f( ). f( ) = a. a = a f( ) = a ) Vrdadira rdadira. f(n) = a n [f()] n = (a ) n = a n f() = f() = = = =.( ) = = f() Como f() = f(), f é ímpar. g() =. sn = é impar = sn é ímpar. Como (ímpar). (ímpar) = par, g é par. Matmática A
23 .7) C f() = g() = f() = =, A B A B são os pontos d ncontro. Suas abcissas são as raízs da quação f() = g() prtncm ao intrvalo (, ). f g f() = ( ) Como a bas é maior do qu, f é crscnt. sso é suficint para obtr o domínio, fazndo. ( ) = = = ( ) = = 6 Assim, domínio: = [, 6] comprimnto: m = 6 k = 7. m 99 k = k = 97 =.) D M(t) = C. kt Quantidad inicial: M() = C. k. M() = C Em 6 anos, a quantidad d radium é: M(6) = C. 6 k = C.8) E f() = = g() = sn () p = π = π = π m 6 k = ( k ) 6 = k = 6 k 6 = Em anos, a quantidad d radium é: M() = C. k f = C. ( k ) 6 = C. = C. Então, a quantidad prdida é: 6 p g p p p.) C C C. 6 = C. 6 D a π d π a π há pontos d ncontro m cada intrvalo. Como g() = sn (), tm príodo π ss comportamnto s rptirá até o intrvalo d π a π. Tmos assim, pontos d ncontro, portanto, a quação = sn () tm raízs. A B C f ()=.9) f: = [, ] n n Matmática A
24 S ABC = n bas. altura = n BC. AB = n n.[ f( n) f( n)] = n n n = 6 ( n ) n 6 = Fazndo n =, 6 = ' = ; " = n = (impossívl) ou n = Assim, f(n) = n =.) D f(t) = ab t f() = ab = a = f() = 8. ab = 8.. b = 8. b = Assim, f(t) =. t Em minutos, ou sja, hora, tmos: f =. =.., = Matmática A
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