4.1 Método das Aproximações Sucessivas ou Método de Iteração Linear (MIL)

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1 4. Método das Aproimaçõs Sucssivas ou Método d Itração Linar MIL O método da itração linar é um procsso itrativo qu aprsnta vantagns dsvantagns m rlação ao método da bisscção. Sja uma função f contínua m um intrvalo [a,b] qu contnha uma raiz d f. O Método d Itração Linar inicia-s rscrvndo a função f como, f = 4.4 Essa forma d scrvr f é bastant útil. No ponto qu corrspond à raiz d f, isto é, f =, trmos qu: f = = 4.5 = 4.6 ou sja, no ponto qu corrspond à raiz d f, ao substituirmos o valor d na função, trmos como rsultado o próprio valor d. Portanto, a raiz d f srá o ponto fio d, ou sja, o valor qu ao sr substituído m rtorna o próprio valor d. Por mplo, a função f = - pod sr rscrita como, f = =, ond =. Essa função tm como ponto fio o valor =, pois = =. E ss é atamnt o valor da raiz d f, pois f = =. Portanto, para ncontrarmos a raiz d f, podmos ncontrar o valor numérico qu ao substituirmos m rtorna o próprio valor d. Para ncontrarmos ss valor d, vamos utilizar um procsso itrativo, ond comçamos a calcular o valor d com um valor inicial d, rcalculamos rptidamnt o valor d smpr usando o rsultado d uma dada itração como a nova stimativa d, ou sja, fazndo: k k 4.7 ond, k é a ordm da itração m qu stamos k =,,, 3, 4,... A função é chamada d função d itração. Pod-s notar qu dada uma função f istm divrsas funçõs d itração qu podm sr usadas no procsso. Emplo: Encontr algumas funçõs d itração a partir d f =

2 ou ntão, ou ainda, Mais um mplo, Emplo: Encontr uma stimativa para a raiz d : usando o método da itração linar. Vamos iniciar a solução ncontrando uma boa stimativa inicial para o valor da raiz d f. Para isso, vamos usar o método gráfico para o isolamnto d raízs. Escrvndo: f = g h g = h = tmos: f f. coscos coscos cos cos cos cos arc arc f

3 4 * p A partir do sboço gráfico acima, conclui-s qu a raiz ncontra-s no intrvalo [-,]. Dvmos agora scolhr uma função d itração. Para isso, scrvmos: f Ou sja, podmos tr como função itração, os dois casos abaio: Usando, tmos : 3 4,66,738,69,77,66 3,738,69,66,66,738,738,69,69,77 Substituindo os valors d k m f para cada itração k, vmos qu a cada tapa nos aproimamos mais da raiz d f, pois o valor dssa função fica mais próimo d zro a cada itração, como mostrado na tabla abaio:

4 f -,63 -,66 -,78 -,738,67 -,69 -,4 -,77,7 4.. O problma da convrgência no Método da Itração Linar Como já discutido, para s obtr um rsultado cornt prciso com um procsso itrativo, é ncssário qu a cada itração a rsposta s aproim mais mais da solução ral, ou sja, qu o método convirja para o valor ral. No caso do método da bisscção, nós não prcisamos nos procupar com a convrgência, pois com ss método la stá smpr garantida, já qu isolamos a raiz m um dado intrvalo nunca diamos ss intrvalo inicial. Já no método da itração linar, a convrgência não é garantida a priori. A cada itração podmos nos aproimar ou nos afastar da solução ral. Portanto, ants d rsolvr um problma através dss método é prciso s vrificar s havrá ou não a convrgência. O sguint Torma coloca condiçõs suficints, porém não ncssárias para qu o método d itração linar sja convrgnt. Torma: Sja uma função f contínua m um intrvalo [a,b] uma raiz d f contida m [a,b]. Sja uma função d itração obtida a partir d f. S: i form contínuas m [a,b]; ii iii < para todo [a,b]; [a,b]. Então: lim n n f Emplo: Dsja-s ncontrar a raiz d itração:,96,8. Para isto, prtnd-s usar uma das sguints funçõs d,8,96,96,8 Vrifiqu s satisfazm as condiçõs i ii do Torma d convrgência no intrvalo [,].

5 Vamos iniciar vrificando a condição i para a função.,8,96,8.,96 '.,96,8 ',96,8.,96. Ambas as funçõs são contínuas para todo R com -,96. Em sguida, vamos vrificar a condição ii para. ',8,96,8,96,8,96,8,8,96,9,96,9,96,8,9,584 Portanto, para os valors d qu satisfazm a quação acima, trmos <, ou sja, a condição ii do torma da convrgência é satisfita. Vamos ncontrar as raízs da função acima +.9,584, como la s trata d uma parábola com concavidad para cima, sabmos qu a função srá positiva para valors mnors qu a raiz d mnor valor valors maiors qu a raiz d maior valor, como ilustrado a sguir. + + _ As raízs dssa função são:,9,584 8,3,9, 4, 48 8,3

6 Portanto: < para <,4 ou >,48. Finalmnt, concluímos qu as condiçõs i ii do Torma d Convrgência são satisfitas por: no intrvalo [,].,8,96 Vamos vrificar s ssas condiçõs são satisfitas para a função. Para a condição i, tmos:,96,8 ',96 Portanto, são contínuas para R. Para a condição ii sr satisfita, dvmos tr: Ou sja:,96,96,96 -,48 ',96,96,96,96 -,48,96 < para,48 < < -,48. Tmos, portanto, qu não satisfaz a condição ii do Torma d Convrgência, no intrvalo [,]. Emplo: Já calculamos o valor da raiz da função f =, utilizando: Vamos vrificar s ssa função satisfaz as condiçõs do torma da convrgência. Para a condição i, tmos:.... Portanto, são contínuas para R. Para a condição ii, dvmos tr <, ou sja:

7 - ln.ln,386 O Torma d convrgência srá satisfito s <,386. Finalmnt, para a condição iii, dvmos tr <,386, qu é satisfita para = -.5, qu foi o valor usado. Ainda nss mplo, vimos qu a função satisfaz todas as condiçõs do torma da convrgência?, a princípio, também podria sr usada. Mas, srá qu la Dvido sua smlhança com a função também para valors d <,386., podmos concluir qu la satisfaz o torma da convrgência Ao tntarmos rsolvr st problma usando a função, notamos qu ssa condição não é satisfita m todas as tapas do problma. A tabla abaio mostra o qu acontc ao tntarmos ncontrar a raiz d f usando. A tabla aprsnta o índic das itraçõs qu stamos i, o valor d i d f i para cada itração: I i i fi Notamos qu o procsso stá divrgindo, isto é, s afastando da raiz d f, já qu o valor d f é cada vz mais distant d zro. Também podmos notar qu isso acontc dvido ao fato d usarmos valors d >,386 a partir da itração i=. Portanto, ssa função não satisfaz o torma da convrgência m todas as itraçõs. 4.. Critérios d Parada no método da itração linar No caso do método da itração linar, podmos usar qualqur uma ou todas simultanamnt das condiçõs abaio como critério d parada:

8 . Variação d k : k k k Conform avançamos no númro d itraçõs, s as stimativas da raiz d f comçam a variar muito pouco, podmos concluir qu stamos bm próimos da raiz d f o procsso itrativo pod sr parado.. Valor d f k: f k 3. Númro d Itraçõs.

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