FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA

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1 FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA Ettor A. d Barros 1. INTRODUÇÃO Sja s um númro complxo qualqur prtncnt a um conjunto S d númros complxos. Dizmos qu s é uma variávl complxa. S, para cada valor d s, o valor d outro númro complxo w é dtrminado, ntão w é uma função d variávl complxa s no conjunto S: O conjunto S é chamado d domínio d F. w = F( (1 A função F( pod sr xprssa pla soma das suas componnts ral imaginária: F( F x if y (2 Sndo F( um númro complxo, obdc às msmas dfiniçõs propridads stablcidas no capítulo antrior. Em particular: Valor absoluto d F(: F Argumnto d F(: y tg 1 Fx F 2 2 ( F x Fy No qu sgu, utilizarmos uma dfinição da variávl complxa, mais afita aos dsnvolvimntos rlativos à toria d sistmas dinâmicos sistmas d control: s i (3, ond é a part ral i a part imaginária da variávl complxa. 2. EXEMPLOS DE FUNÇÕES DE VARIÁVEL COMPLEXA 2.1 FUNÇÕES POLINOMIAIS E RACIONAIS Exmplos: F ( s 3 2s 3 1 F ( s Função Exponncial Dfinimos a função xponncial m trmos d funçõs rais, como sgu: s (cos isn (4

2 Como casos particulars, tm-s s qu é a função xponncial ral, no caso m qu, i cos isn (5, para. Tal rsultado sria obtido na xprssão da séri d Maclaurin para i : t, quando t é substituído por ( i n i 2n 2n 2n1 2n1 n n! n (2n! n (2n 1! i 2n n = ( 1 i ( 1 (2n! n n n 2n1 (2n 1! (6 O valor do limit da primira somatória é somatória rsulta m analogamnt ao caso ral d cos, nquanto qu o limit aplicado à sgunda sn. Qu a séri original (xtrmo squrdo d (6 convrg para t, é dmonstrado m [1]. i, 3. LIMITE E DERIVADA Vizinhança: Uma vizinhança d um ponto z é o conjunto d todos os pontos para os quais: s s, ond é alguma constant positiva. Portanto, uma vizinhança consist m todos os pontos d um disco, ou rgião circular, no plano complxo, inclusiv o cntro z, mas, sm incluir o círculo d contorno. Limit: (7 Sja F uma função dfinida m todos os pontos d uma vizinhança d um ponto s, xcto, vntualmnt, o próprio ponto s. Dizmos qu o limit d F, quando s tnd a s, é um númro w, quando o valor d F é arbitrariamnt próximo d w para todos os pontos s d uma vizinhança d s, xcto, vntualmnt, s= s, quando ssa vizinhança s torna suficintmnt pquna. D forma mais prcisa, lim F( w ss s, para cada númro positivo xist um númro positivo tal qu: (8 F( w smpr qu s s s ( s Torma 1

3 Sjam Então F( u(, iv(,, s σ iω s i (9 Exist o limit d F(s m s é igual a u iv, lim F( u iv ss limits d u v xistm m são iguais a u v, rspctivamnt., s somnt s os Torma 2 Sjam, F G funçõs cujos limits xistam m s : Então lim F( w s s lim G( W (1 s s lim [ F( G( ] w ss lim [ F( G( ] ww ss W (11 (12, s W, ntão: lim ss F( w W G( (13 Continuidad: Uma função F é contínua num ponto s s, somnt s, todas as três condiçõs abaixo são satisfitas: F ( s xist. lim ss F( xist lim F( F( s ss (14 Drivada: Sja s um ponto arbitrário d uma vizinhança d um ponto fixo s. Tal vizinhança stá contida no domínio d dfinição d uma crta função F. Sja s s s uma variávl complxa. A drivada f, ou df/ m s é dfinida pla fórmula: f ( s f ( s f ( s lim, s o limit xist. (15 s s Not qu, s o limit acima xist, a função F é contínua m s, pois:

4 lim f ( s f ( s [ f ( s f ( s ] lim lim s (16 s s s s Assim, F é ncssariamnt contínua m todo ponto ond sua drivada xist. Porém, a invrsa não val: a continuidad d uma função num ponto não implica m sua drivabilidad no msmo ponto. Fórmulas d Drivação: ct 1 (17 ctf df (ct. (18 F G df dg (19 F. G df G. dg F. (2 F / G GF FG 2 [ G] (21 s n n - 1 n.s (22 Rlaçõs d Cauchy-Riman Suponha qu uma função tnha drivada m s i. Sjam: F( u(, iv(, F( F( s u u(, u(, v v(, v(, F ( a ib F( s Pla dfinição da drivada, tmos: u iv F ( lim ( a ib s i (23 Plo Torma 1 da sção d limits, tmos:

5 Δu iδv Δu iδv ( a ( b Δσ iδ Δσ iδ lim R lim Im (24 Em particular, no caso do caminho s, os limits acima s rduzm a limits d funçõs d uma só variávl, ou sja,. Nst caso, tm-s: u(, u(, v(, v(, lim ( a lim Im ( b Δσ Δσ (25 Ou sja, df( lim u v i a ib; u a v b (26 No caso do caminho s i, tr,mos: df( lim u v i ib a; u b v a (27 Como sss dois limits são iguais, tmos: u v v u (28 Estas são as rlaçõs d Cauchy-Riman Obdcr às rlaçõs d Cauchy-Riman é condição ncssária suficint para a xistência da drivada d uma função m dtrminado ponto: Torma 1: S a drivada F ( d uma função F( u(, iv(, xist num ponto s, ntão as drivadas parciais d primira ordm, m rlação a, d cada uma das parts u v xistm nst ponto satisfazm às rlaçõs d Cauchy-Riman. Além disso, F ( é dada m trmos dssas drivadas parciais d acordo com: df( u v i v u - i (29 Torma 2: Sjam u v funçõs rais univalnts das variávis as quais, juntamnt com suas drivadas parciais primiras, são contínuas num ponto s. S ssas drivadas satisfazm às rlaçõs d Cauchy-Riman nst ponto, ntão F s da função F( u(, iv(, xist, sndo s i. (

6 4. FUNÇÕES ANALÍTICAS Rfrências Uma função F d variávl complxa s s diz analítica num ponto s, s sua drivada F ( xist não só m s, como também m todo ponto s da vizinhança d s. F é analítica num domínio do plano complxo s la é analítica m todo ponto dss domínio. S uma função é analítica m algum ponto d cada vizinhança d um ponto s xcto no próprio ponto s, ntão o msmo é chamado ponto singular, ou singularidad da função. Um ponto singular qu rsulta m F suas drivadas tndndo a infinito é chamado d polo da função. Por xmplo, para 1 F ( (3 s 2 1 Os pontos s = i s = -i são polos d F(. Vrmos qu os polos possum um papl importantíssimo na anális projto d sistmas dinâmicos. Dsd qu as hipótss dos 2 tormas da sção d drivadas sjam obsrvadas num domínio D os sus rsultados são suficints para garantir qu uma função F sja analítica nss msmo domínio. Dadas duas funçõs analíticas F G m um domínio D, sua soma é analítica m D, su produto é analítico D su quocint é analítico no msmo domínio dsd qu a função do dnominador não s anul m D. Em particular, o quocint P/Q d dois polinômios é analítico m qualqur domínio no qual Q(. 1. Churchill R.V. Variávis Complxas suas Aplicaçõs. McGraw Hill Ogata, K. Engnharia d Control Modrno. Prntic-Hall. 5ª. Ed. 21.

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