UFPB CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO DIFERENCIAL I 5 a LISTA DE EXERCÍCIOS PERÍODO

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Stéphanie Brezinski Clementino
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1 UFPB CCEN DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CÁLCULO DIFERENCIAL I 5 a LISTA DE EXERCÍCIOS PERÍODO 0 Nos rcícios a) ), ncontr a drivada da função dada, usando a dfinição a) f ( ) + b) f ( ) c) f ( ) 5 d) f ( ) ) f ( ) + Considr f dfinida por, para 0 f ( ), para > 0 a) Calcul f ( ) b) Eistm f ( 0) f ( 0 )? c) f é drivávl m 0? Sja f a função dada por f ( ) + a) Eist f (0)? b) Eist f ( ) para 0? c) Como s dfin a função f? 4 Nos rcícios 4a) 4c), invstigu a drivabilidad da função dada no ponto indicado + 4a) 4c), para 0 f ( ) ; 0 4b), para > 0, para 0 < < f ( ) ; ( + ), para <, para 0 < < f ( ) ;, para < 5 Eist algum ponto no qual a função 4 não é drivávl? 6 Suponha qu uma função f sja drivávl m qu Quanto valm f () f ()? f lim h a 0 ( + h ) h 5 7 Suponha qu f sja uma função drivávl m R, satisfazndo f ( a + b ) f ( a ) + f ( b ) + 5ab, a, b R S lim h a 0 f ( h ) h, dtrmin f (0) f ( ) 8 Encontr o valor d a o d b, d modo qu a função, s f ( ) sja drivávl m a + b, s > 9 Nos rcícios 9a) 9c), dtrmin as quaçõs das rtas tangnt normal ao gráfico d f, no ponto cuja abscissa é forncida 9a) / f ( ), 8 9b) / 4 f ( ), 6 9c) f ( ), 0 Qual é a quação da rta tangnt à parábola Faça um gráfico, com inclinação m 8?

2 Qual é a quação da rta normal à curva, com inclinação 6 8 m? 9, para S é a função dada por, ncontr as quaçõs das rtas tangnt, para normal ao gráfico d, no ponto d abscissa Dtrmin a quação da rta qu tangncia o gráfico da função Vrifiqu qu a rta tangnt ao gráfico da função io X no ponto ( a, 0 ) é paralla à rta f ( ), no ponto d abscissa a, intrcpta o 5 Dtrmin as quaçõs das rtas horizontais qu são tangnts ao gráfico da função g ( ) +, para 6 Considr a função f dfinida por f ( ), para > a) Esboc o gráfico d f b) f é contínua m? c) f é drivávl m? 7 Rpita o rcício antrior, considrando agora a função f dfinida como, para f ( ), para > 8 Considr a função f ( ), dfinida para todo m R a) Eist f (0)? b) Dtrmin f ( ) para < 0 para > 0 c) Esboc o gráfico d f o d f 9 S 0 S + u + u, calcul + d, vrifiqu qu ( ) d d d d d Suponha qu (t ) sja uma função drivávl m R S tm-s d dt d dt, vrifiqu qu, t R, + Suponha qu (t ) sja uma função drivávl até a sgunda ordm S, vrifiqu qu d d d 6 + dt dt dt Sabndo-s qu g ( ), f ( ), g ( ) f ( ) 6, dtrmin as quaçõs das rtas tangnt normal à curva h ( ) f ( g ( ) ), m 4 S h ( ) [ f ( ) ] + f ( ), calcul h ( ), sabndo qu f ( ), f ( ) 7 qu f ( 8)

3 5 Us a Rgra da Cadia para mostrar qu a drivada d uma função par é uma função ímpar qu a drivada d uma função ímpar é uma função par 6 Calcul a drivada d primira ordm d cada uma das funçõs abaio π 6a) + ln 6b) 6d) + 6g) cos 6h) 6j) + 5cos 6k) 6m) arccos ( ) 6p) , 5 6c) 6) arcsn 6f) + ln ln ( + ) sn 6i) ( ) 5 sn cos 6l) + 5 6n) sn( ) + cos + tg ( ) + arctg 6o) 5 + cos cos arctg ( ) ( ) 6q) ln( sn ) 6r) ln ln ( ln ) 7 Vrifiqu qu a função é solução da quação ( ) 8 Vrifiqu qu a função + + ln é solução da quação ( ln ) 9 S a b são constants quaisqur, vrifiqu qu a função é solução da quação a b a + b? 0 S n é um númro natural, qual é a drivada d ordm n da função ( ) n Nos rcícios a) f), ncontr como função d a) + d d d) 4 cos sn ) m cada uma das quaçõs qu, implicitamnt, dfinm b) + + c) + cotg ( ) f) + Dtrmin as quaçõs das rtas tangnt normal à circunfrência + 5, no ponto ( 4 ) P 0, Msma qustão antrior, considrando agora a hipérbol P 0 5, 4 4 Suponha qu f sja uma função drivávl m su domínio D qu, para todo m D, satisfaça f ( ) + sn [ f ( ) ] 4 S + cos [ f ( ) ] 0, mostr qu f ( ) ( ) [ f ( ) ] f + cos

4 5 Os gráficos da coluna da squrda são das drivadas das funçõs cujos gráficos stão na coluna da dirita Faça corrspondência, numrando, convnintmnt, a coluna da dirita

5 6 Para cada uma das funçõs f dfinidas abaio, comprov a istência da função invrsa g, dtrmin o domínio dsta última uma prssão qu a dfina plicitamnt Esboc, ainda, o gráfico d f o d g 6a) f ( ), 0 6b) f ( ), 0 6c) f ( ) 4, d) f ( ) 4, 0 6) f ( ), 6f) f ( ), > + 7 Por mio d rstriçõs adquadas, faça com qu cada uma das funçõs dadas abaio gr duas funçõs invrtívis f f, dtrminando, m sguida, as rspctivas invrsas g g Calcul as drivadas dssas invrsas sboc os gráficos das funçõs f i g i, i,, m cada caso a) b) + + c) d) 4 8 Vrifiqu qu a função função f ( ), dfinida para todo ral, tm como invrsa a + g ( ), dfinida para < 9 Qual é a invrsa da função f ( )? E da função imagns, sboçando, também, os gráficos f ( ) +? Espcifiqu os domínios as 40 Considr a função f ( ), dfinida para /, sja g ( ) sua invrsa a) Qual o domínio qual a imagm d g? b) Sabndo-s qu g ( ), calcul g () 4 Considr as funçõs f ( ) arctg + arctg g ( ) arcsn + arccos, dfinidas, rspctivamnt, para > 0, para [ ] a) Mostr qu f ( ) 0, > 0, qu g ( ) 0, (, ) b) Lmbrando qu as funçõs constants são as qu possum drivada nula, mostr qu π π f ( ), > 0, qu g ( ), [, ] 4 S f é uma função drivávl, tal qu f ( ) f ( ) /, dtrmin a quação da rta tangnt à curva arctg ( f ( ) ), no ponto d abscissa 4 Sabndo-s qu no ponto ( 0, ) o gráfico da função qu o d uma crta função g, dtrmin g (0) f ( ) + possui a msma rta tangnt 44 S f é uma função drivávl, tal qu f ( ) f ( ), mostr qu a função g dada por f ( ) g ( ) é constant

6 45 Para cada uma das funçõs dfinidas abaio, dtrmin o domínio calcul a drivada d primira ordm 45a) f ( ) ln 5 45b) f ( ) ln( sn ) 45c) f ( ) ln 45d) f ( ) ln 45) f ( ) 45f) f ( ) ln( ln ) f ln 45g) ( ) 46 Considr a função ( ) ln( + ) a) Qual é o domínio d f? f ln 45h) f ( ) ln( cos( + 5) ) 45i) f ( ) sn( ln( + ) ) b) Qual é a quação da rta tangnt ao gráfico d f, no ponto d abscissa? E no ponto d abscissa 0? 47 O logaritmo d um númro N > 0, numa bas 0 < b, é dfinido por mio da quivalência log b N a b N ln N a) Prov a propridad d Mudança d Bas: log b N lnb b) S f é a função dfinida por f ( ) a log b, para > 0, mostr qu 48 Calcul a drivada d primira ordm d cada uma das funçõs abaio sn 48a) f ( ) 48b) ( ) f ( ) lnb f 48c) f ( ) ( ) 48d) f ( ) 48) f ( ) ) 48f) ( ) f 48g) ( ) sn f ( ) 48h) f ( ) 48i) ( ) ( f 49 As funçõs trigonométricas hiprbólicas sno hiprbólico, cossno hiprbólico, tangnt hiprbólica cotangnt hiprbólica dnotadas, rspctivamnt, por snh, cosh, tgh cotgh, são dfinidas plas prssõs abaio: snh cosh Com bas nssas dfiniçõs, mostr qu: + tgh cotgh + + snh cosh b) lim a 0 a) ( ) ( snh ) d) ( cosh ) snh tgh / cosh ) ( ) ( ) c) ( snh ) cosh / snh f) (cotgh) ( ) 50 Para cada uma das funçõs dadas abaio, calcul o limit quando a 0 sn a) f ( ) b) f ( ) sn c) ( ) f tg sn

7 d) f ( ) g) ( ) f cos + sn sn ( ) sn ( ) ) f ( ) f) f ( ) sn h) f ( ) i) f ( ) sn ( ) sn ( ) ( sn )( sn ) sn 5 Uma partícula s mov d modo qu, no instant t, a distância prcorrida é dada por t s( t ) t t a) Encontr as prssõs qu forncm a vlocidad a aclração da partícula b) Em qu instant a vlocidad é zro? c) Em qu instant a aclração é zro? 5 Uma partícula mov-s sobr a parábola Sabndo-s qu suas coordnadas (t ) (t ) são funçõs drivávis, m qu ponto da parábola las dslocam-s à msma taa? 5 Um ponto mov-s ao longo da curva, d tal modo qu sua abscissa varia a uma + vlocidad constant d cm/s Qual srá a vlocidad da ordnada, quando cm? 54 Um ponto mov-s sobr a parábola Supondo-s qu suas coordnadas (t ) (t ) são funçõs drivávis qu ( t ) 0, m qu ponto da parábola a vlocidad da ordnada srá o triplo da vlocidad da abscissa? 55 Um cubo s pand d modo qu sua arsta varia à razão d,5 cm/s Encontr a taa d variação d su volum, no instant m qu a arsta ating 0cm d comprimnto 56 Uma sfra aumnta d modo qu su raio crsc à razão d,5 cm/s Quão rapidamnt varia su volum no instant m qu o raio md 7,5cm? ( Obs: O volum d uma sfra d raio r é dado por 4 π r ) 57 Sjam os cattos d um triângulo rtângulo θ o ângulo oposto a Supondo-s qu qu θ dcrsc à razão d /0 rad/s, calcul (t ) quando θ π/ 58 Uma scada d 8m stá ncostada m uma pard vrtical S a trmidad infrior da scada for afastada do pé da pard a uma vlocidad constant d m/s, com qu vlocidad a trmidad suprior stará dscndo no instant m qu a infrior stivr a m da pard? 59 Uma viga mdindo 0m d comprimnto stá apoiada numa pard o su topo stá s dslocando a uma vlocidad d 0,5m/s Qual srá a taa d variação da mdida do ângulo formado pla viga plo chão, quando o topo da viga stivr a uma altura d 8m? 60 A Li d Bol para a dilatação dos gass é dada pla quação P V C, ond P é a prssão, mdida m Nwtons por unidad d ára, V é o volum C é uma constant Num crto instant, a prssão é d 000 N / m, o volum é d 5 m stá crscndo à taa d m / min Qual é a taa d variação da prssão nss instant?

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