TÓPICOS. ordem; grau; curvas integrais; condições iniciais e fronteira. 1. Equações Diferenciais. Conceitos Gerais.
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- Luzia Carreiro Garrido
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1 Not bm, a litura dsts apontamntos não dispnsa d modo algum a litura atnta da bibliografia principal da cadira hama-s à atnção para a importância do trabalho pssoal a ralizar plo aluno rsolvndo os problmas aprsntados na bibliografia, sm consulta prévia das soluçõs propostas, anális comparativa ntr as suas rsposta a rspostas propostas, postrior posição junto do docnt d todas as dúvidas associadas. TÓPIOS Gnralidads sobr quaçõs difrnciais: ordm; grau; solução gral, particular, singular; curvas intgrais; Módulo condiçõs iniciais frontira.. Equaçõs Difrnciais. oncitos Grais... Equação difrncial. hama-s quação difrncial a toda a quação m qu a incógnita é uma função dsconhcida (variávl dpndnt d uma ou mais variávis (indpndnts, nvolvndo drivadas da variávl dpndnt m rlação a uma ou mais variávis indpndnts. Emplos., função incógnita f( d d. 5 dt dt, função incógnita f(t. ( 6 tan(, função incógnita f(. s v v v 5. 6, função incógnita f( t, s, função incógnita v f(,, t.. Equação difrncial ordinária (EDO Uma quação difrncial diz-s ordinária s a função incógnita dpnd d uma só variávl. Gnricamnt Emplos ( ( n F(,,,,,, L, 6., é uma quação difrncial ordinária. Prof. José Amaral MAT M - --7
2 E Q U A Ç Õ E S D I F E R E N I A I S M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D d d 7. 5 dt dt, é uma quação difrncial ordinária... Equação difrncial às drivadas parciais (EDP Uma quação difrncial diz-s com drivadas parciais (ou às drivadas parciais, s a função incógnita dpnd d mais qu uma variávl. Gnricamnt F(,, L, m,,, L,,, L, n m n m Emplos. s v v v 9. 6, é uma quação difrncial às drivadas parciais., é uma quação difrncial às drivadas parciais... Ordm Uma quação difrncial diz-s d ordm n s n for a drivada d maior ordm das drivadas nla nvolvidas, ou sja, chama-s ordm d uma ED à ordm mais alta das drivadas qu nla intrvêm. Emplos. s, é uma quação difrncial d a ordm.., é uma quação difrncial d a ordm.., é uma quação difrncial d a ordm.. ( 6 tan(, é uma quação difrncial d a ordm v v v. 6, é uma quação difrncial d a ordm d d 5. 5 dt dt, é uma quação difrncial d a ordm. 6. (, é uma quação difrncial d a ordm. ( 7. n cos(, é uma EDO d n a ordm..5. Grau Uma quação difrncial diz-s d grau n s, podndo primir-s na forma d um polinómio, n for o pont da drivada d maior ordm das drivadas nla nvolvidas. Emplos., é uma quação difrncial do o grau. Prof. José Amaral MAT M - --7
3 E Q U A Ç Õ E S D I F E R E N I A I S M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D d d 9. 5 dt dt. s v v v. 6, é uma quação difrncial do o grau., é uma quação difrncial do o grau., é uma quação difrncial do o grau.. (, é uma quação difrncial do o grau.., é uma quação difrncial do o grau. (. n cos(, é uma quação difrncial do o grau. 5. ( 6 tan(, é uma quação difrncial do o grau. / 6. (, não pod sr scrita na forma d um polinómio m, plo qu não pod sr classificada quanto ao grau..6. Solução Gral Dsigna-s por solução gral (ou intgral gral d uma ED toda a função qu vrifica idnticamnt a quação difrncial (ou sja, quando substituída na quação a transforma numa idntidad, vm prssa m trmos d n constants arbitrárias. S a ED é d a ordm a solução gral tm uma constant, s é d a ordm tm duas constants, tc.. Gomtricamnt, a solução gral rprsnta uma família d curvas, dnominadas curvas intgrais. Emplos 7. A solução gral da EDO é Trata-s d uma EDO d a ordm plo qu a solução gral tm duas constants. Podmos vrificar qu a função indicada é solução da quação difrncial. Sndo tmos Substituindo na EDO tmos. Prof. José Amaral MAT M - --7
4 E Q U A Ç Õ E S D I F E R E N I A I S M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D.7. Solução Particular Dsigna-s por solução particular (ou intgral particular d uma ED toda a solução da ED qu s obtém da solução gral por particularização da(s constant(s. Gomtricamnt, a solução particular rprsnta uma das curvas da família d curvas intgrais. Emplos. A solução gral da EDO é obtmos a solução particular. S fizrmos, Fazndo obtmos a solução particular Qualqur dstas funçõs vrifica, obviamnt, a ODE... Solução Singular Dsigna-s por solução singular d uma ED toda a solução da ED (ou sja, toda a função qu vrifica idnticamnt a quação difrncial qu não pod sr obtida da solução gral por particularização dos valors das constants. Gomtricamnt, a solução singular, s istir, rprsnta a nvolvnt da família d curvas intgrais corrspondnts à solução gral. Emplos 9. A quação difrncial ( é uma EDO d a ordm o grau qu tm como solução gral (m R ± Na figura M. stão rprsntadas algumas das parábolas qu constitum as curvas intgrais dsta quação. A chio, stá rprsntada uma solução particular: a qu s obtém fazndo, corrspondndo à parábola qu passa no ponto (,. As funçõs ± também vrificam a quação idnticamnt, constituindo portanto uma solução da ED. No ntanto, não pod sr obtida a partir da solução gral por particularização do valor da constant. Trata-s pois d uma solução singular. omo s obsrva na figura, as rctas ± corrspondm à nvolvnt da família d parábolas corrspondnts à solução gral Figura M. Prof. José Amaral MAT M - --7
5 E Q U A Ç Õ E S D I F E R E N I A I S M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D.9. ondiçõs iniciais Quando, para a particularização das constants da solução gral com o objctivo d obtr uma solução particular, são dadas, para uma EDO d ordm n, condiçõs para os valors da função das n primiras drivadas para o msmo valor da variávl indpndnt, dsignam-s stas condiçõs por condiçõs iniciais, o problma da dtrminação da solução particular por problma d valors iniciais. Emplos. A quação tm como solução gral sn( cos(. S stablcrmos as condiçõs ( ( com o objctivo d dtrminar uma solução particular, stamos prant um problma d valors iniciais, uma vz qu as condiçõs stão stablcidas para o msmo valor da variávl indpndnt (. Sndo sn( cos(, rsulta cos( sn(, logo, d ( sn( ( cos( rsulta a solução particular cos(. cos( sn(.. ondiçõs frontira Quando, para a particularização das constants da solução gral com o objctivo d obtr uma solução particular, são dadas, para uma EDO d ordm n, condiçõs para valors difrnts da variávl indpndnt, dsignam-s stas condiçõs por condiçõs frontira o problma da dtrminação da solução particular por problma d valors frontira. Emplos. A quação tm como solução gral sn( cos(. S stablcrmos as condiçõs ( ( com o objctivo d dtrminar uma solução particular, stamos prant um problma d valors frontira, uma vz qu as condiçõs stão stablcidas para difrnts valors da variávl indpndnt (. Sndo sn( cos(, rsulta cos( sn(, logo, d ( ( sn( cos( rsulta a solução particular sn(. cos( sn( Prof. José Amaral MAT M
6 E Q U A Ç Õ E S D I F E R E N I A I S M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D Ercícios. lassificação d quaçõs difrnciais.. lassifiqu as sguints quaçõs difrncias. a. ( ( 5 b. ( cos( 5 c. Equação difrncial ordinária d a ordm o grau. Equação difrncial ordinária d a ordm o grau. d d cos( ( 7 d d 7 Equação difrncial ordinária d a ordm o grau. z z z d. 5 7 Equação difrncial às drivadas parciais d a ordm o grau. Solução gral, particular singular.. Mostr qu cos( sn( é solução gral da quação difrncial. Sndo cos( sn(, tmos sn( cos( cos( sn( Substituindo na quação difrncial, rsulta cos( sn( ( cos( sn( A função vrifica idnticamnt a quação difrncial, logo é uma solução gral.. Mostr qu,, são soluçõs da quação difrncial (. Diga para cada uma das soluçõs s é gral, particular ou singular. Rprsnt as curvas intgrais. Sndo, tmos Substituindo na quação difrncial, rsulta Prof. José Amaral MAT M
7 E Q U A Ç Õ E S D I F E R E N I A I S M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D ( ( é uma solução gral da quação difrncial. Sndo, tmos Substituindo na quação difrncial, rsulta ( ( é uma solução particular da quação difrncial (. Sndo tmos Substituindo na quação difrncial, rsulta ( é uma solução singular dado qu vrifica idnticamnt a quação difrncial mas não pod sr obtida da solução gral por particularização do valor da constant. Na figura M. stão rprsntadas algumas das rctas qu constitum as curvas intgrais dsta quação. omo s obsrva, a parábola corrspond à nvolvnt da família d rctas corrspondnts à solução gral Figura M. urvas intgrais.. Dtrmin a quação difrncial associada à família d curvas. Dada uma família d curvas é smpr possívl dtrminar a quação difrncial qu lh stá associada. Para isso dv-s: drivar a função qu rprsnta a família d curvas até à ordm da quação difrncial procurada, qu é igual ao númro d constants arbitrárias qu aparcm na quação da família d curvas; Prof. José Amaral MAT M
8 E Q U A Ç Õ E S D I F E R E N I A I S M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D liminar as constants arbitrárias ntr a quação da família d curvas dada as quaçõs obtidas por drivação. Assim, dada a família d curvas, sabmos qu a quação difrncial procurada é d a ordm, uma vz qu só ist uma constant. Portanto é apnas ncssário drivar uma vz Eliminando agora a constant da duas quaçõs tmos d imdiato a quação difrncial procurada ( ( ondiçõs iniciais frontira. 5. Sabndo qu a quação difrncial admit a solução gral dtrmin a solução particular qu vrifica as condiçõs ( (. (, Estamos prant um problma d valors iniciais, uma vz qu as condiçõs stão stablcidas para o msmo valor da variávl indpndnt (. Sndo rsulta (, logo, d ( ( ( ( ( ( rsulta a solução particular ( (. 6. Sabndo qu a quação difrncial admit a solução gral sn( cos(, dtrmin a solução particular qu vrifica as condiçõs ( ( 6. Estamos prant um problma d valors frontira, uma vz qu as condiçõs stão stablcidas para difrnts valors da variávl indpndnt ( 6. Sndo sn( cos( Prof. José Amaral MAT M - --7
9 E Q U A Ç Õ E S D I F E R E N I A I S M A T E M Á T I A A P L I A D A T U R M A L T D Prof. José Amaral MAT M rsulta cos( sn( ( cos( sn( 6 ( plo qu d ond rsulta a solução particular cos( (sn( cos( (sn( cos( sn( cos( sn(
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O emprego da proporção na resolução de problemas
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