Resolução. Admitindo x = x. I) Ax = b

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1 Considr uma população d igual númro d homns mulhrs, m qu sjam daltônicos % dos homns 0,% das mulhrs. Indiqu a probabilidad d qu sja mulhr uma pssoa daltônica slcionada ao acaso nssa população. a) b) c) 8 d) ) Sja a o númro d homns a o númro d mulhrs. Tmos, conform a tabla Homns Mulhrs População Total a a a Daltônicos % a 0,% a % a + 0,% a A probabilidad d sr mulhr uma pssoa daltônica é: P 0, % a % a + 0, % a 0, 00 a 0, 0 a 0, 00 a 0, 0 a + 0, 00 a Sjam α, β tais qu α β α β. Então, α + β é igual a a) b) 0 c) d) ) i ) α β, ntão α cos + i. sn β cos + i. sn. ) α β (cos cos) + i. (sn sn) ) α β (cos cos ) + ( sn sn) cos.cos.cos + cos + sn.sn.sn + sn cos.cos + sn.sn 0 cos( ) 0 ) α + β cos + i sn + cos + i sn (cos + cos) + i (sn + sn) cos( + ) cos( ) + i sn( + ) cos( ) 0, pois cos( ) 0 0 Considr o sistma A b, m qu A k 6 k, b 6 0 k R. Sndo T a soma d todos os valors d k qu tornam o sistma impossívl sndo S a soma d todos os valors d k qu tornam o sistma possívl indtrminado, ntão o valor d T S é a) b) c) 0 d) ) Admitindo I) A b { } com,, R, tmos: k 6. k + + k com + + (k ) 0 k 6 k 6 6 k k matrizs complta incomplta do sistma, com caractrísticas rspctivamnt iguais a p q. II) Para k 0, tmos: p q (sistma possívl indtrminado) Para k, tmos: p q (sistma impossívl) Dssa forma, T, S 0 T S Sjam A C matrizs n n invrsívis tais qu dt(i + C A) / dta. Sabndo-s qu B (A + C ) t, ntão o dtrminant d B é igual a a) n b) n c) ) n n d) ) Como (A + C ). A I + C. A, tmos: dt[(a + C ) A] dt(i + C A) ITA Dzmbro/007

2 dt (A + C ) dt A dt (I + C A) dt (A + C ) dt (A + C ) ) dtb dt [(A + C ) t ] n dt(a + C ) t n dt (A + C ) n n Um polinômio P é dado plo produto d polinômios cujos graus formam uma progrssão gométrica. S o polinômio d mnor grau tm grau igual a o grau d P é 6, ntão o d maior grau tm grau igual a a) 0 b) c) d)6 ) 8 Sndo (; q; q ; q ; q ) os graus dos polinômios considrados, tmos : ) gr [ P] + q + q + q + q 6 q * q + q + q + q 0 0 q * ( q ) ( q + q + 7q + ) 0 q, pois, para q *, tm-s q + q + 7q + > 0 ) O grau do polinômio d maior grau, ntr os cinco considrados, é q 06 Um didro md 0. A distância da arsta do didro ao cntro d uma sfra d volum cm qu tangncia as facs do didro é, m cm, igual a a) b) c) d) ) Sndo R o raio da sfra d a distância da arsta do didro ao cntro O da sfra, tm-s: ) R cm R cm R cm 0 R R ) sn60 d d sn60 Assim : d cm d cm 7 Considr o quadrado ABCD com lados d 0 m d comprimnto. Sja M um ponto sobr o lado AB N um ponto sobr o lado AD, quidistants d A. Por M, traça-s uma rta r paralla ao lado AD por N, uma rta s paralla ao lado AB, qu s intrcptam no ponto O. Considr os quadrados AMON OPCQ, ond P é a intrscção d s com o lado BC Q é a intrscção d r com o lado DC. Sabndo-s qu as áras dos quadrados AMON, OPCQ ABCD constitum, nsta ordm, uma progrssão gométrica, ntão a distância ntr os pontos A M é igual, m mtros, a a) + b) 0+ c) 0 d) ) 0 D Q C N O 0 - P d R R O A M 0 - Sndo (0<<0) a distância, m mtros, ntr os pontos A M, d acordo com o nunciado, tm-s: (( ) ) (( ) ) ( ) B ITA Dzmbro/007

3 Portanto: Considr o polinômio, pois < p() a + a + a + a a, m qu uma das raízs é. Sabndo-s qu a, a, a, a a são rais formam, nsta ordm, uma progrssão aritmética com a /, ntão p( ) é igual a a) b) 7 c) 6 d) 9 ) 0 Sja r a razão da progrssão aritmética (a, a, a, a, a ), com a ) a a + r + r (I) ) Como é raiz d p() a + a + a + a a, tmos : p( ) a + a a + a a 0 r r a + r 0 a r ( II ) ) D (I) (II), tm-s + r r r ) A progrssão aritmética considrada é ( ; ; 0; ; ) po, is a r O polinômio considrado é p() ( ) p() + + ) Dssa forma, p( ) ( ) + ( ) ( ) + 09 Sobr a quação polinomial + a + b + c 0, sabmos qu os coficints a, b, c são rais, duas d suas raízs são intiras distintas / i/ também é sua raiz. Então, o máimo d a, b, c é igual a a) b) c) d) ) D acordo com o nunciado, o conjunto solução da quação + a + b + c 0 é i; + i ; m; n, com m, n Assim, i. + i. m. n. m. n m. n S m. n { m, n}, ntão : m n ou m n Escrvndo a quação aprsntada na forma fatorada, tmos :. ( )( +) i + i Logo : a, b, c O maior valor é. 0 É dada a quação polinomial (a + c + ) + (b + c + ) + (c - a) + (a + b + ) 0 com a, b, c rais. Sabndo-s qu sta quação é rcíproca d primira spéci qu é uma raiz, ntão o produto abc é igual a a) b) c) 6 d) 9 ) Lmbrando qu sndo a 0 0, a quação ITA Dzmbro/007

4 a 0 + a + a +a 0 é rcíproca d primira spéci s, somnt s, a 0 a a a, sabndo qu é raiz da quação, tmos: a + c + a + b + b + c + c a a + c + + b + c + + c a + a + b + 0 b + c a + b + c 7 a + b + c b + c a + b + c 7 b c 6 a + b + c 7 a b + c b c c Logo, o produto abc é igual a. ( ). ( ) Sndo [ p/, p/] o contradomínio da função arcosno [0, p] o contradomínio da função arcocossno, assinal o valor d cos arcsn + arccos a) c) ) b) d) 7 Nas condiçõs do problma, tmos: ) arcsn a sn a cos a ) arccos b cos b sn b Portanto: cos arcsn + arccos cos (a + b ) cos a. cos b sn a. sn b.. 7 Dada a cônica λ :, qual das rtas abaio é prpndicular à λ no ponto P (, )? a) ( ) b) c) ( + ) d) ( 7 ) ) ( ) A quação da cônica λ, no o quadrant, rsulta: Sja t a rta tangnt a λ no ponto P (; ). S d d, ntão o coficint angular da rta t é mt A rta r, prpndicular à rta t, no ponto P (; quação: ( ) ( ) ), tm O conjunto imagm o príodo d f() sn () + sn(6) são, rspctivamnt, a) [, ] b) [, ] c), d) [, ] ) [, ] f() sn () + sn (6) sn (6) [ sn ()] sn(6) cos(6) ITA Dzmbro/007

5 sn(6) sn(90º 6) cos o sn cos º sn (6 º) sn (6 º) Sndo f() o sn(6 º), tmos qu: ) sn (6 º) < sn(6 º) f(), isto é, o conjunto imagm d f() é o intrvalo ; ) o príodo da função rsulta: P 6 Para R, o conjunto solução d + +. é { } a) 0, ±, ± { ( )} b) 0,, log + ± ou ± + ou ou +, pois > 0 Assim sndo : ou ou + ou + ou ou + ou +, portanto : 0 ou log ( ) ou log + log + ( ) ( ) Um subconjunto D d R tal qu a função f : D R, dfinida por f() ln ( + ) é injtora, é dado por a) R b) (, ] c) [0, /] d) (0,) ) [/, ) O gráfico da função g, dfinida por g() +, é do tipo: ou c) 0, log, log,log { ( ) + ( ) ( )} d) 0, log +, log, log O gráfico da função h, dfinida por h() ln ( + ), é do tipo: ) A única solução é 0 Substituindo por > 0, tmos: Tmos, ntão, as duas sguints possibilidads: 0 O gráfico d função f, dfinida por f() ln ( + ), é do tipo: ) 0 ). ( ) 0 ou + 0 ITA Dzmbro/ Dos subconjuntos d R aprsntados, o único m qu f é injtora é [0, /]

6 6 A soma d todas as soluçõs distintas da quação cos + cos 6 + cos 9 0, qu stão no intrvalo 0 /, é igual a a) b) ) c) 9 6 d) 7 6 Fazndo-s a na quação cos + cos 6 + cos 9 0, rsulta: cos a + cos a + cos a 0 cos a + cos a + a cos a a cos a + cos a cos a 0 cos a ( + cos a) 0 cos a 0 ou cos a Portanto: cos 6 0 ou cos 0 8 Considr o triângulo ABC isóscls m qu o ângulo distinto dos dmais, BÂC, md 0. Sobr o lado AB, tom o ponto E tal qu AC ˆE. Sobr o lado AC, tom o ponto D tal qu DBˆC. Então, o ângulo EDˆB val a) b) c) d) 7 ) 8 Com os dados do nunciado, pod-s montar a sguint figura, ond θ é a mdida, m graus, do ângulo EDˆB E A 0 90 θ 6 + n ou + n, (n ) + n 6 ou + n (n ) F θ 7 D Para 0, a soma d todas as soluçõs distintas é: S Considr o conjunto D {n ; l n 6} H P (D) formado por todos os subconjuntos d D com lmntos. Escolhndo ao acaso um lmnto B H, a probabilidad d a soma d sus lmntos sr 8 é igual a 6 9 a) b) c) d) ) 70 ) O númro d lmntos d H é 6. 6 C 6 660, ) Os lmntos d H, cuja soma dos dois lmntos é 8, são {;8}, {;8}, {;80} ; {9;9}, portanto, são 9. 9 ) A probabilidad pdida é B C ) Da congruência ntr os triângulos rtângulos FBC FBE, rsulta: FC FE ) Os triângulos rtângulos FDC FDE são congrunts plo critério LAL, pois: FC FE, FD é lado comum DFˆC DFˆE 90º Assim: FĈD FÊD º 90º θ θ 90º º θ 7º 9 Sjam X, Y, Z, W subconjuntos d tais qu (X Y) Z {,,, }, Y {, 6}, Z Y, W (X Z) {7, 8}, X W Z {, }. Então, o conjunto [X (Z W)] [W (Y Z)] é igual a a) {,,,, } b) {,,,, 7} c) {,, 7, 8} d) {, } ) {7, 8} ITA Dzmbro/007

7 Os conjuntos X, Y, Z W não stão bm dfinidos plas condiçõs dadas. O qu s pod afirmar é o qu s sgu: a) D (X Y) Z {; ; ; } X W Z {; }, tmos: {; } X, {; } Z, W W b) D W (X Z) {7; 8} X W Z {; }, tmos: {7; 8} W, {7; 8} X, 7 Z 8 Z c) D Y {; 6} Z Y, tmos: Z 6 Z d) As informaçõs dos itns a, b c prmitm colocar os númros,,,, 7 8 conform o diagrama X W a)7 b)7 c) 7 d) 7 ) 700 P C t // r Q r // s A R B s Do diagrama, pod-s dtrminar qu X (Z W) {; ; ; ; 7; 8} ITA Dzmbro/007 8 Z ) Como {; } Z {; } W, tmos qu {; } [W (Y Z)] Como W W, tmos qu [W (Y Z)] [W (Y Z)] Como 7 Z 8 Z, tmos qu 7 [W (Y Z)] 8 [W (Y Z)] f) [X (Z W)] [W (Y Z)] {; ; ; ; 7; 8} [W (Y Z)] {; ; 7; 8} 0 Sjam r s duas rtas parallas distando 0 cm ntr si. Sja P um ponto no plano dfinido por r s trior à rgião limitada por stas rtas, distando cm d r. As rspctivas mdidas da ára do prímtro, m cm cm, do triângulo quilátro PQR cujos vértics Q R stão, rspctivamnt, sobr as rtas r s, são iguais a Sja, a mdida, m cntímtros, do lado do triângulo qüilátro PQR ) AR + AR l ) RB + 0 RB l 00 ) PC AB AR + RB Assim: PC l + l 00 ) (PC) + Assim :, +, 00, ( ) + ( )( ),, 00 00, 700, 700, 0,, pois, > 0 ) A ára S, m cntímtros quadrados, do triângulo qüilátro PQR é dada por: l 700 S 7 6) O prímtro u, m cntímtros, do triângulo qüilátro PQR é dado por: u l

8 { } Dado o conjunto A R; + < prss-o como união d intrvalos da rta ral. I) + 0 ou 0 II) + < + < > 0 ( ) > 0 ( ) > 0 [ ( + ) ( ) ( + )] ( + ) ( ) > 0 ( + ) ( +) ( ) > 0 ( + ) ( ) > 0 ( ) > 0 ( < 0 ou > ). D I II, concluímos qu ou > Rsposta: A ] ; [ ] ; ] ] ; + [ Dtrmin as raízs m d z , na forma a + bi, com a, b R, qu prtnçam a S {z ; < z + < }. ) z z 6 6 z 6 6 (cos 80 + i. sn 80 ) ) As raízs dssa quação são: z. (cos 0 + i. sn 0 ) z. (cos 90 + i. sn 90 ) i z. (cos 0 + i. sn 0 ) z. (cos 0 + i. sn 0 ) + i z. (cos 70 + i. sn 70 ) i z 6. (cos 0 + i. sn 0 ) ) Obsrv qu: ± i 8 + ± i 8 +,9 ± i 8, + i i i, ) Os valors d z ncontrados m () qu obdcm à condição < z + < < z + < 9 são: i ; i ; + i ; i Rsposta: i; i; + i; i Sja f() ln ( + + ), R. Dtrmin as funçõs h, g : R R tais qu f() g() + h(), R, sndo h uma função par g uma função ímpar. ) f() ln ( + + ) f( ) ln ( + ) ) f() g() + h() f( ) g( ) + h( ) f( ) g() + h(), pois g é função ímpar h é função par. Como f() g() + h() f( ) g() + h (), tmos: h () f ( ) + f ( ) g () h () g () f ( ) f ( ) ln( + + ) + ln( + ) ln( + + ) ln( + ) h () ln ( + + ) ( + ) g () ln + + +, R Rsposta: h () ln ( + + ) ( + ) g () ln + + +, R Sjam α, β, γ. Considr o polinômio p() dado por 9 + (α β γ) + (α + β + γ ) + + (α β γ + ) + (α + β + γ ). Encontr todos os valors d α, β γ d modo qu 0 sja uma raiz com multiplicidad d p(). Para qu o polinômio 9 ITA Dzmbro/007

9 p() 9 + (α β γ) + (α + β + γ ) + (α β γ + ) + (α + β + γ ) tnha 0 como raiz com multiplicidad, dvmos tr: S m, tmos : 0, m m Rsposta: α 0, β m γ m, com m m Uma matriz ral quadrada A é ortogonal s A é invrsívl A A t. Dtrmin todas as matrizs qu são simétricas ortogonais, prssandoas, quando for o caso, m trmos d sus lmntos qu stão fora da diagonal principal. Sja A z w I) S A é simétrica, dvmos tr : t A A z w II ) S A é ortogonal, vm : z w z A A t. A A A. A t I A. t A 0 0 z. w z w z + w z + w z + w. Como z, tmos : ± + 0 ou w + w 0 w ± w + III ) Para 0, : 0 0 tmos A ou A ou A ou A 0 0 ITA IV ) Para Dzmbro/007 w, tmos : A 0 III ) Para 0, : 0 0 tmos A ou A ou A ou A 0 0 IV ) Para w, tmos : A ou A 6 Dtrmin todos os valors α quação (m ), + tg α 0 admita apnas raízs rais simpls. tais qu a A quação + tg α 0, com, rsulta: + tg α 0. A quação m admit apnas raízs rais simpls quando a quação m admitir raízs rais distintas stritamnt positivas, o qu ocorr nas sguints condiçõs: I) > 0 ( ) tg α > 0 tg α < C II) P tg α > 0 A Assim: 0 < tg α <, no intrvalo rsulta 0 < α <, Rsposta: 0 < α < 7 Em um spaço amostral com uma probabilidad P, são dados os vntos A, B C tais qu: P (A) P (B) /, com A B indpndnts, P (A B C) /6, sab-s qu P ((A B) (A C)) /0. Calcul as probabilidads condicionais P (C A B) P (C A B C ). ) S A B são vntos indpndnts, ntão: P (A B) P(A) P(B),

10 ) P (C A B) P (A B C) 6 P (A B) ) P ((A B) (A C)) P (A B) + + P (A C) P (A B C) 9 + P ( A C) P ( A C) ) Obsrv, plo diagrama abaio, qu n (C A B C ) n (A C) n (A B C), portanto: P (C A B C ) P (A C) P (A B C) Um triângulo acutângulo d vértics A, B C stá inscrito numa circunfrência d raio. Sab-s qu AB md BC md. Dtrmin a ára do triângulo ABC. Com os dados do nunciado, podmos montar a sguint figura: ) Obsrv, plo diagrama sguint, qu: n (A B C ) n (A) n (A B), portanto: P (A B C ) P (A) P (A B) 6) P (C A B C ) P (C A B C ) 0 C P (A B ) Rspostas: P (C A B) P (C A B C ) ) sn ) cos ) sn ) cos ) sn ( + ) sn cos + sn cos Assim: sn ( + ) ITA Dzmbro/007

11 6) A ára S do triângulo ABC é dada por: AB BC sn S ( + ) Assim: S 0 S S 6 Rsposta: 6 unidads d ára 9 Sja C uma circunfrência d raio r cntro O AB um diâmtro d C. Considr o triângulo quilátro BDE inscrito m C. Traça-s a rta s passando plos pontos O E até intrcptar m F a rta t tangnt à circunfrência C no ponto A. Dtrmin o volum do sólido d rvolução grado pla rotação da rgião limitada plo arco AE plos sgmntos AF EF m torno do diâmtro AB. O ) V r 6 ( r ) + r V 7 r 8 ) V r. r + r. r + r V r ) V V V V 7 r r V 6 r 8 V r Rsposta : r unidads d volum 0 Considr a parábola d quação a + b + c, qu passa plos pontos (, ), (, ) tal qu a, b, c formam, nsta ordm, uma progrssão aritmética. Dtrmin a distância do vértic da parábola à rta tangnt à parábola no ponto (, ). Sabndo-s qu a, b, c (nssa ordm) stão m P.A. qu a parábola passa plos pontos (, ) (, ), conclui-s qu: a b + c 0 a + b + c a b + c a b c Assim, a quação da parábola é + +, cujo vértic tm coordnadas V (; 6). S ' d d + m f''() t. + O volum V do sólido grado é dado por: V V V, ond V é o volum d um tronco d con circular rto d raios das bass r r altura r, V é o volum d um sgmnto circular d raio da bas r altura r. Assim sndo, tm-s: é o coficint angular da rta tangnt no ponto (, ), ntão a rta tangnt nss ponto rsulta:. ( ) A distância do vértic V (, 6) à rta é: d Rsposta : d ITA Dzmbro/007

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