Probabilidades e Estatística

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Melissa Natal Azevedo
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1 Probabilidads Estatística o Tst Tst A 2 o smstr 2004/05 Duração: hora 0 minutos 0/04/005 9 horas RESOLUÇÃO ABREVIADA. Acontcimnto Probabilidad IP incêndio d pqunas proporçõs P (IP ) 0.75 IP incêndio d grands proporçõs P (IP ) P (IP ) 0.25 Eincêndio é xtinto m 24 horas MLmio aéro do tipo ligiro MP mio aéro do tipo psado P (ML IP ) P (MP IP ) 0.7 P (ML IP ) P (MP IP ) 0. P (E IP ML) 0.9 P (E IP MP ) 0.8 P (E IP ML) 0.5 (a) P (E) P ((E IP ) (E IP )) P (E IP ) + P (E IP ) pois P (E IP ) P ((E IP ML) (E IP MP )) () P (E IP ML) + P (E IP MP ) () P (E IP ML) P (IP ML) + 0 P (E IP ML) P (ML IP ) P (IP )

2 P (E IP ) P ((E IP ML) (E IP MP )) (2) P (E IP ML) + P (E IP MP ) P (E IP ML) P (IP ML)+ + P (E IP MP ) P (IP MP ) P (E (IP ML)) P (ML IP ) P (IP ) + P (E IP MP ) P (MP IP ) P (IP ) (b) () MP IP P (MP IP ) 0; (2) MP ML IP. P (MP IP E) P (MP IP E) P (E IP MP ) P (IP MP ) P (IP E) P (IP E) P (C A) () P (C A) P (C A B) + P ( C A B ) P (A) P (A) (2)() P (C A B) P (A B) + P ( C A B ) P ( A B ) P (A) () P (C A B) P (A) P (B) + P ( C A B ) P (A) P ( B) P (A) P (C A B) P (B) + P ( C A B ) P ( B) Obsrvar qu: () C A (C A) Ω (C A) (B B) (C A B) (C A B); (2) P (A B) > 0 P (A B) > 0 pois A é indpndnt d B logo P (A B) P (A) P (B) para além disso P (A) > 0 P (B) > 0 admit-s qu P (B) ; () A é indpndnt d B ntão A é indpndnt d B.. X v.a. qu indica o atraso, m minutos, na ligação marítima ntr duas cidads. X unif orm(0, 5); admit-s qu os atrasos m ligaçõs distintas são indpndnts. (a) P (X < 2 X > 0) P (0 < X < 2) P (X > 0) 2/5 5/5 2/ dx 5 dx dx 2

3 (b) Sja Y v.a. qu rprsnta o númro d ligaçõs, m 0, com atraso infrior a 0 minutos. Como os atrasos são indpndnts m difrnts ligaçõs tm-s ( Y binom n 0, p P (X < 0) 2 ) pois p P (X < 0) P (X 0) 5 2. Obsrvar qu na alína (a) já 5 s calculou P (X > 0). A probabilidad pdida é: P (Y ) P (Y < ) P (Y 0) ( ) 0 0 (2/) 0 (/) (c) Sja W v.a. qu indica o númro d ligaçõs sucssivas obsrvadas até qu surja uma com um atraso suprior a 0 minutos. ond p P (X > 0). Prtnd-s: W gom (p P (X > 0)), 4 P (W 5) P (W 4) Ou d forma quivalnt, P (W 5) ( ) w5 ( ) w ( ) t ( ) ( ) t 2 w w5 ( ) ( ) w ( ) w 5 ( ) O númro mais provávl corrspond à moda da v.a. W. Assim, dnotando por Mo a moda da variávl alatória W, tr-s-á qu Mo argmax{p (W w)}. Para ncontrar ss valor basta obsrvar qu a função d probabilidad d W, ( ) w 2 P (W w), w, 2,, é dcrscnt, logo a moda srá Mo. Então o númro mais provávl d chgadas qu ssa pssoa vai assistir é um. 4. X v.a. indicadora da urgência do matrial rcbido; Y v.a. indicadora do tipo d contúdo do matrial rcbido; (a) E(XY ) xyp (X x, Y y) x,y x0 b b xyp (X x, Y y) 0.6 Por outro lado P (X x, Y y) a a 0. x y y0

4 (b) F Y X (y) P (Y y X ) P (Y y j X ) y j y 0, y < , 0 y < , y < 2 2 y pois P (Y y X ) P (X, Y y) P (X ) , y , y , y 2 (c) Corr(X, Y ) Cov(X, Y ) V ar(x)v ar(y ) E(XY ) E(X)E(Y ) V ar(x)v ar(y ) pois pla alína (a) sab-s qu E(XY ) 0.6. Vrifica-s ainda qu X Brn (p 0.45) logo E(X) 0.45 V ar(x) E(Y ) y yp (Y y) E(Y 2 ) y y 2 P (Y y) já qu V ar(y ) E(Y 2 ) (E(Y )) 2 2. (.) P (Y y) x 0.20, y 0 0.0, y P (X x, Y y) 0.50, y 2 X Y são v.a. dpndnts pois Corr(X, Y ) 0. X Y têm tndência para variar no msmo sntido porqu Corr(X, Y ) > 0. A dpndência linar ntr las é xtrmamnt fraca (0.09) pois o coficint d corrlação stá próximo d zro. Isto é, a urgência do matrial rcbido stá fracamnt rlacionada com o contúdo dss matrial. 4

5 Probabilidads Estatística o Tst Tst B 2 o smstr 2004/05 Duração: hora 0 minutos 0/04/005 horas RESOLUÇÃO ABREVIADA. Acontcimnto Probabilidad Engnhiro xprint P (E) x + x 2, x a dtrminar Ēngnhiro inxprint P (Ē) 2 x + 2 Rproblma sr prontamnt rsolvido P (R E) 0.95 P (R Ē) 0.80 (a) Nst caso tm-s P (E) 5 7 P (Ē) 2 7, logo P (Ē R) P ( R Ē)P (Ē) P ( R) (To. Bays) [ P (R Ē) ] P (Ē) [ (Tor. Prob. Total) P (R E)P (E) + P (R Ē)P (Ē)] [ ] Obsrvar qu E Ē formam uma partição d Ω. (b) Prtnd-s dtrminar x tal qu P (R) 0.9. Plo torma da probabilidad total sab-s qu ssa condição é quivalnt a P (R E)P (E) + P (R Ē)P (Ē) x x x x x x x 0 x O númro mínimo d ngnhiros com xpriência a incluir srá quatro. 2. X v.a. qu indica o númro d falhas smanais d um braço robótico. X P oisson(λ), para algum λ > 0 sab-s qu E(X) 0. logo qu X P oisson(0.). 5

6 (a) P (X > X > 0) P (X > X > 0) P (X > 0) P (X ) P (X 0) P (X > ) P (X > 0) () () Valors obtidos consultando a tabla da função d distribuição P oisson(0.) ou fctuando os rspctivos cálculos usando a função d probalidad. O númro mais provávl corrspond à moda da v.a. X. Assim, dnotando por Mo a moda da variávl alatória X, tr-s-á qu Mo argmax{p (X x)}. Para ncontrar ss valor basta obsrvar qu P (X x + ) P (X x) 0. 0.x+ (x + )! 0. 0.x x! 0. x + <, x 0 o qu implica qu a função d probabilidad d X é dcrscnt, logo a moda srá Mo 0. Então o númro mais provávl d falhas por smana é zro. (b) Dfina-s W v.a. qu rprsnta o tmpo (m smanas) qu dcorr até à ocorrência d uma falha. Para qu a falha sguint ocorra ants d trminar a smana é porqu na smana ocorru plo mnos uma falha. Logo, a probabilidad pdida P (W < ) P (X ) P (X 0) Ou, m altrnativa, usando a rlação da distribuição Poisson com a distribuição xponncial sab-s qu W xp(λ 0.). A probabilidad pdida vm ntão P (W < ) dw (c) Dfina-s Y v.a. qu indica o númro d paragns, num ano, da linha d montagm dvido à ocorrência d falhas do braço robótico. X 52 v.a. qu indica o númro d falhas, num ano (52 smanas), qu ocorrm no braço robótico. Plas propridads do Procsso d Poisson sab-s qu X 52 P oisson( ), pois plo nunciado, X P oisson(0.). Sab-s ainda qu a probabilidad da linha d montagm parar dvido a falha no braço robótico é igual a 0.0. A variávl alatória Y condicionada a X 52 x qu rprsnta o númro d paragns da linha d montagm, num ano, m x falhas do braço robótico, tm, assumindo indpndência ntr as falhas no braço robótico, Y (X 52 x) binom(n x, p 0.0). 6

7 A probabilidad pdida é P (Y ) P (Y 0) [P (Y 0 X 52 0) + P (Y 0 X 52 ) +P (Y 0 X 52 2) + ] x0 x0 x0 P (Y 0, X 52 x) P (Y 0 X 52 x) P (X 52 x) ( 0.0) x x ( ) x x! x X v.a. indicadora da ocorrência d grands catástrofs naturais; Y v.a. qu indica o númro d nascimntos por casal; (a) A função probabilidad marginal d X é dada por P (X x) P (X x, Y y) y {0,,2} 7 8, x 0 8, x ( i.. X Brn p 8 ). A função probabilidad marginal d Y é dada por i.. Y unif {0,, 2}. P (Y y) x! P (X x, Y y) x0 {, y 0,, 2 (b) A função d probabilidad condicionada d Y dado X 0 é 2/9 P (X 0, Y y) 7/8 7 4, y 0 /9 P (Y y X 0) 7/8 7 2, y P (X 0) /8 7/8 7, y 2 dond E(Y X 0) y yp (Y y X 0)

8 (c) Corr(X, Y ) Cov(X, Y ) V ar(x)v ar(y ) E(XY ) E(X)E(Y ) V ar(x)v ar(y ) pois E(Y ) E(Y 2 ) y {0,,2} y {0,,2} yp (Y y) ( ) y 2 P (Y y) ( ) 5 V ar(y ) E(Y 2 ) (E(Y )) Pla alína antrior pod afirmar-s qu: E(X) 8 V ar(x) ( ) E(XY ) x0 y {0,,2} xyp (X x, Y y) X Y são v.a. dpndnts já qu Corr(X, Y ) 0. X Y têm tndência para variar no msmo sntido porqu Corr(X, Y ) > 0. A dpndência linar ntr las é modrada (0.487) pois o coficint d corrlação stá próximo d 0.5. Isto é, a ocorrência d catástrofs naturais parc star associada com o aumnto d nascimntos por casal, no ntanto sta rlação é modrada. 8

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