Sistemas de coordenadas em movimento

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1 Sistmas d coordnadas m movimnto Na suprfíci da Trra stamos m movimnto d translação m torno do Sol rotação m torno do ixo trrstr, além, é claro, do movimnto qu o sistma solar intiro tm pla nossa galáxia. Qualqur sistma d coordnadas xo com rlação à suprfíci da Trra é, portanto, um sistma d coordnadas m movimnto. Mas, m movimnto com rlação a qu rfrncial? Ao Sol? Crtamnt, mas não apnas com rlação ao Sol; a Trra tm movimntos aclrados qu podm sr dtctados usando, por xmplo, um pêndulo d Foucault. Nsta postagm quro dmonstrar o torma d Coriolis. Ess torma stablc a rlação ntr a aclração m um rfrncial girant a aclração m um rfrncial inrcial, dsprovido d aclraçõs. Sja S o sistma d coordnadas d origm no ponto O com vrsors xos no spaço ˆx, ŷ ẑ. Considr qu a origm O também stja xa no spaço. Agora, sja S um sistma d coordnadas qu tm a msma origm O qu o sistma S, porém sus ixos stão girando solidamnt com rlação aos ixos coordnados d S. Assim, os vrsors do sistma girant S são funçõs vtoriais do tmpo são scritos ˆx, ŷ ẑ. Qualqur vtor A pod sr scrito m trmos d suas coordnadas m S ou m S, A = A xˆx + A y ŷ + A z ẑ (1) A = A xˆx + A yŷ + A zẑ, (2) ond A x, A y A z são suas coordnadas com rlação ao sistma S, qu prmanc xo no spaço, A x, A y A z são suas coordndas com rlação ao sistma S, cujos ixos giram solidamnt com rlação ao sistma S. Agora vamos tomar as drivadas tmporais das Eq. (1) (2): = x ˆx + y ŷ + z ẑ (3) = x ˆx + y ŷ + z ẑ + A dˆx x + dŷ A y + dẑ A z, (4) já qu os vrsors ˆx, ŷ ẑ são dpndnts do tmpo m um sistma d coordnadas girant. Para qum stá girando junto com o sitma S, apsar da tontura, os ixos coordnados x, y z stão, rlativamnt ao obsrvador xo m S, parados. Logo, ss obsrvador tonto calcula a variação tmporal d A, não como nas Eqs. (3) (4) acima, mas sim como d A Substituindo a Eq. (5) na Eq. (4) dá = x ˆx + y ŷ + z ẑ. (5) + A dˆx x + dŷ A y + dẑ A z. (6) 1

2 Como quaisqur vtors podm sr scritos m trmos da bas formada plos vrsors ˆx, ŷ ẑ, sgu qu dˆx = a xˆx + b x ŷ + c x ẑ, (7) dŷ dẑ = a yˆx + b y ŷ + c y ẑ (8) = a zˆx + b z ŷ + c z ẑ, (9) ond as constants a's, b's c's dvm sr dtrminadas. Multiplicando scalarmnt a Eq. (7) por ˆx dá Mas, ˆx dˆx ˆx dˆx = a xˆx ˆx + b xˆx ŷ + c xˆx ẑ = a x. = d ( ˆx ˆx ) = d 2 ( ) 1 = 0. 2 Logo, a x = 0. (10) Multiplicando scalarmnt a Eq. (7) por ŷ dá Mas, ŷ dˆx = a x ŷ ˆx + b x ŷ ŷ + c x ŷ ẑ = b x., portanto, ŷ dˆx = d (ŷ ˆx ) ˆx dŷ b x = ŷ dˆx Multiplicando scalarmnt a Eq. (7) por ẑ dá = ˆx dŷ. (11) Mas, ẑ dˆx = a x ẑ ˆx + b x ẑ ŷ + c x ẑ ẑ = c x. ẑ dˆx = d (ẑ ˆx ) ˆx dẑ 2

3 , portanto, c x = ẑ dˆx = ˆx dẑ. (12) D manira análoga, multiplicando a Eq. (8) scalarmnt por ˆx, ŷ ẑ, fornc ˆx dŷ = a y, (13) ŷ dŷ = b y, b y = 0 (14) ẑ dŷ = c y = ŷ dẑ. (15) Finalmnt, multiplicando a Eq. (9) scalarmnt por ˆx, ŷ ẑ, fornc ˆx dẑ = a z, (16) ŷ dẑ = b z, (17) ẑ dẑ = c z, b z = 0. (18) Das Eqs. (11) (13) sgu qu b x = a y. (19) Das Eqs. (12) (16) sgu qu c x = a z. (20) Das Eqs. (15) (17) sgu qu c y = b z. (21) 3

4 Com as Eqs. (10), (14), (18), (19), (20) (21), as Eqs. (7), (8) (9) cam dˆx = b x ŷ a z ẑ, (22) dŷ dẑ = b xˆx + c y ẑ (23) = a zˆx c y ŷ. (24) Not qu é possívl dnir um vtor ω assim: ω = c yˆx + a z ŷ + b x ẑ, (25) tal qu ω ˆx = (c yˆx + a z ŷ + b x ẑ ) ˆx = a z ŷ ˆx + b x ẑ ˆx = a z ẑ + b x ŷ, (26) ω ŷ = (c yˆx + a z ŷ + b x ẑ ) ŷ = c yˆx ŷ + b x ẑ ŷ = c y ẑ b xˆx (27) ω ẑ = (c yˆx + a z ŷ + b x ẑ ) ẑ = c yˆx ẑ + a z ŷ ẑ = c y ŷ + a zˆx. (28) Comparando a Eq. (22) com a Eq. (26), a Eq. (23) com a Eq. (27) a Eq. (24) com a Eq. (28) fornc dˆx = ω ˆx, (29) dŷ dẑ = ω ŷ (30) = ω ẑ. (31) Substituindo as Eqs. (29), (30) (31) na Eq. (6) rsulta m + A xω ˆx + A yω ŷ + A zω ẑ, + ω ( A xˆx + A yŷ + A zẑ ), 4

5 ou sja, + ω A, (32) ond usi a Eq. (2). Como a Eq. (32) val para qualqur vtor A, sgu qu, portanto, dω dω = d ω + ω ω = d ω, (33) qu é uma propridad intrssant. Agora stamos m condiçõs d dmonstrar o torma d Coriolis. Tmos, da Eq. (32), qu a drivada tmporal d sgunda ordm do vtor A é dada por 2 = d ( ) = d ( ) + ω, qu, usando novamnt a Eq. (32) fornc d 2 ( A 2 = d d ) ( A d ) A + ω A + ω + ω A, ou sja, 2 = d 2 A 2 + d (ω A) + ω d A + ω (ω A), 2 = d 2 A 2 + ou ainda, ( d ) ω A + ω d A + ω d A + ω (ω A), 2 = d 2 A 2 + ω (ω A) + 2ω d A A dω, (34) ond usi a Eq. (33). Tomando o vtor A como sndo o vtor posição r na Eq. (34) rsulta no torma d Coriolis: d 2 r 2 = d 2 r 2 + ω (ω r) + 2ω d r r dω. (35) O vtor ω é chamado vlocidad angular d rotação instantâna. O trmo ω (ω r) é chamado d aclração cntrípda, o trmo 2ω d r/ é chamado d aclração d Coriolis o trmo r dω/ só aparc s a vlocidad angular d rotação não for constant, mas não tm um nom spcíco. 5

6 Da sgunda li d Nwton da Eq. (35), sgu qu a força rsultant sobr uma partícula d massa m é dada por ou sja, m d 2 r 2 m d2 r 2 = F, + mω (ω r) + 2mω d r mr dω = F, m d 2 r 2 = F mω (ω r) 2mω d r dω + mr. (36) O trmo mω (ω r) é a chamada força cntrífuga 2mω d r/ é conhcida como a força d Coriolis. Essas forças são dnominadas forças ctícias, já qu têm sua origm no movimnto aclrado do rfrncial m movimnto. O trmo mr dω/ não tm um nom spcíco só aparc s a frquência angular ω não for constant no tmpo. Quando o sistma d coordnadas S, além d girar, também tm translação com rlação a S, ntão há uma origm difrnt m S, qu vou chamar d O, qu é sparada da origm O d S plo vtor instantâno h. Assim, um vtor m S pod sr scrito m trmos d suas coordnadas com rlação a S, dadas plo vtor r, assim: Então, dr dr r = r + h. (37) = d r = dr + dh, (38) + ω r + dh, (39) ond usi a Eq. (32), qu val para as coordndas girants d S, qu giram m torno d O. Agora dcorr da Eq. (38) qu ou sja, d 2 r 2 = d2 r 2 + d2 h 2, (40) d 2 r 2 = d 2 r 2 + ω (ω r ) + 2ω d r r dω + d2 h 2, (41) ond usi a Eq. (35). Bibliograa [1] Kith R. Symon, Mchanics, trcira dição (Addison Wsly, 1971). 6