ESTUDO DAS REAÇÕES DINÂMICAS DE UM MECANISMO PLANAR DE QUATRO BARRAS USANDO O MS EXCEL

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1 ESTUDO DAS EAÇÕES DINÂMICAS DE UM MECANISMO PLANA DE QUATO BAAS USANDO O MS EXCEL Marclo d Souza ocha 1 ; orintador 1 : Osvaldo Prado d znd ; orintador : Carlos Srgio Pivtta 1,, ETEP aculdad d Tcnologia d São José dos Campos/Escola d Engnharia, Av, Barão do io Branco, 88 Jardim Esplanada CEP 1-800, São José dos Campos SP, 1 mrocha8@ig.com.br, osvaldo.rznd@tp.du.br, carlos.pivtta@tp.du.br sumo- A anális dinâmica d mcanismos d quatro barras é fita com mnor frquência do qu as análiss cinmáticas, visto qu xig maiors conhcimntos domínio d alguns programas computacionais não muito difundidos. Est trabalho aprsnta uma rvisão brv da cinmática dinâmica d mcanismos d quatro barras, m qu é dfinido o procdimnto para dtrminar as raçõs dinâmicas nas juntas o torqu no motor acionador d um mcanismo scolhido como rfrência usando as planilhas d cálculo do MS Excl. O método dsnvolvido é ralizado d forma rptitiva m um ciclo complto do mcanismo, ou sja, d 0 a 60 com incrmnto d 1 grau no ângulo d acionamnto. Para isso é prciso rsolvr um sistma matricial AX=B m qu uma matriz A[9x9] é utilizada. Os rsultados obtidos comparados com a litratura studada aprsntaram pqunas variaçõs, prmitindo obsrvar boa confiabilidad no procdimnto dsnvolvido. Palavras-chav: Anális dinâmica d mcanismos d quatro barras, análiss cinmáticas, sistma matricial, raçõs dinâmicas. Ára do Conhcimnto: III - Engnharias Introdução Para o dimnsionamnto d mcanismos qu rsistam a sforços, é d fundamntal importância qu s conhçam as forças momntos agindo sobr cada lmnto. Cada um dls dvrá sr analisado na função d transmitir forças (MABIE OCVIK, 1980 para isso s faz ncssária a anális da cinmática da dinâmica. O principal objtivo da anális cinmática é dtrminar as aclraçõs, pois, as forças dinâmicas são proporcionais à aclração. A anális dinâmica pod sr fita por divrsos métodos, mas aqula qu fornc mais informaçõs sobr as forças intrnas do mcanismo rqur somnt o uso das Lis d Nwton (NOTON, 010. A anális da dinâmica do mcanismo d quatro barras dsnvolvida nst trabalho rfr-s ao cálculo das forças raçõs nas articulaçõs do sforço do lo motor, considrando difrnts carrgamntos. Para isto é solucionado um sistma linar matricial do tipo AX=B, sndo a matriz A[9x9] rgnt do quilíbrio m cada posição do mcanismo. O procdimnto proposto é ralizado d forma rptitiva, considrando um ciclo complto do mcanismo, ou sja, d 0 a 60 graus com incrmnto d 1 grau no ângulo θ d acionamnto do lo. O método prmit criar uma rotina d análiss da cinmática da dinâmica do mcanismo d barras, ntndr avaliar os sforços cíclicos nas juntas o torqu no lo d ntrada, podndo assim calcular a potência do motor acionador. O objtivo é o d ralizar todo o procdimnto usando as planilhas ltrônicas d cálculo do MS Excl. Mtodologia A igura 1 aprsnta um squma simpls d um mcanismo d quatro barras ilustrando as configuraçõs abrta cruzada conform Norton (010. igura 1 Esquma d um mcanismo d quatro barras (NOTON, 010, modif.. As barras ou los stão rprsntados por 1,, comçando plo lo fixo 1 sus comprimntos por d, a, b c rspctivamnt. O 1

2 ponto O é convncionalmnt dfinido como origm do plano cartsiano XY (NOTON, 010. A anális da cinmática pod sr fita por vários métodos, Norton (010 aprsnta uma solução analítica com quaçõs do sgundo grau notação m númros complxos, o qu possibilita a anális m várias posiçõs com boa prcisão matmática. Mabi Ocvirk (1980 fazm uso d construção d polígonos d vtors d vlocidads aclraçõs d forma gráfica, tornando o método limitado quanto ao númro d posiçõs studadas ainda podm ocorrr dificuldads no traçado indfiniçõs d scala, grando rro nas mdiçõs dos vtors dos ângulos. Pivtta t al. (009 dfin um método numérico para anális d vlocidads aclraçõs d pontos d intrss, obsrvando as Equaçõs 1 d Mabi Ocvirk (1980: V = lim ( s/ t 1 p t 0 p A = l i ( v / t 0 m Δ t Pivtta t al. (009 ncontra as vlocidads aclraçõs médias do ponto P nas dirçõs x y difrnciando suas posiçõs vlocidads no tmpo dpois ncontra os rspctivos valors médios rsultants. O valor d t m sgundos é calculado pla Equação : o o / 60 ω t = π θ Nss trabalho, a anális da cinmática do mcanismo d quatro barras foi fita d acordo com a solução analítica d Norton (010. O método tm início na Equação dos vtors posição d acordo com a igura 1: = Em notação complxa chamando o comprimnto dos los d a, b, c d j a unidad imaginária, a Equação torna-s: a jθ jθ jθ jθ + b + c d 1 = 0 solvndo as quivalências d Eullr para os jθ trmos o rsultado dfin as Equaçõs 6 7 qu dtrminam θ θ : θ ( B± B ² AC / A = arctan 6 ( ± E ² D / D θ = arctan - E - 7 As Equaçõs 8 à 1 dtrminam os fators: 5 A = cosθ K + K K cosθ B = -sn θ 9 C = K 1 - ( K + 1 cosθ + K 10 D = cosθ - K 1 + K cosθ + K5 11 E = -sn θ 1 = K 1 + ( K -1 cosθ + K5 1 As constants K 1, K, K, K K 5 são dfinidas por Norton (010 para simplificar as quaçõs são obtidas m função dos comprimntos dos los. As Equaçõs 6 7 têm dois rsultados obtidos por mio das soluçõs ngativa positiva da raiz quadrada, sss rsultados s rfrm às configuraçõs abrta cruzada rspctivamnt do mcanismo, conform igura 1. Sndo conhcida a vlocidad angular d ntrada ω do lo, as vlocidads angulars ω do lo ω do lo podm sr calculadas plas Equaçõs 1 15 qu são a drivada primira no tmpo da quação 5. ω s θ θ ω s θ = b ( θ n 1 ( n ω a ω θ = c θ Drivando mais uma vz no tmpo a Equação 5, a dtrminação das aclraçõs angulars α do lo α do lo podm dr obtidas conform as Equaçõs cujos fators são dtrminados plas Equaçõs 18 a. α α 15 CD A = 16 AE BD CE B = 17 AE BD A = snθ 18 B = snθ 19 a a b c C = αsnθ + ω cosθ + ω cosθ - ω cosθ 0 D = c cosθ 1 E = bcosθ cosθ aω snθ bω snθ cω snθ = a α + Nos cálculos dinâmicos são considrados os coficints inrciais d translação nas dirçõs x y d acordo com as Equaçõs 5, da dinâmica da rotação m torno do cntro d massa para a componnt z Equação 6, dos los,.

3 x = ma x = ma 5 y y T = I cm α 6 São calculadas as forças d ração nas juntas fixas O O nas móvis A B ainda o torqu T 1 sobr o lo, conform na igura. A posição do ponto d aplicação d cada uma das forças é dfinida m rlação ao cntro d massa d cada lo. A notação ij rprsnta a ação do lo i sobr o lo j a posição do ponto d aplicação tm a msma notação. Assim indica a posição do ponto d aplicação da força. As aclraçõs absolutas dos cntros d massa a, a a, são dtrminadas substituindo as quivalências d Eullr drivando duas vzs no tmpo as Equaçõs 7, 8 9. Aplicando as Equaçõs, 5 6 são obtidos os conjuntos d Equaçõs 0, 1 qu govrnam o movimnto d cada lo: Elo + 1x 1y Τ 1 + x y + ( 1x 1y x y 1y 1x + ( x y y x = I CM α 0 igura Localização dos cntros d massa carrgamntos (EZENDE t al.,010. Os vtors cm, cm cm rprsntam as distâncias do cntro d massa dos rspctivos los com rlação às suas juntas são dtrminados plas Equaçõs 7, 8 9 m notação complxa: j ( θ + β cm = cm 7 j ( θ + β jθ cm = a + cm 8 = j ( θ β 9 cm cm As quaçõs do movimnto são drivadas a partir do sistma d rfrência não girant O XYZ, com origm na junta fixa O obtidas pla rprsntação das forças momntos d força atuants m cada lo conform DCL da igura. Elo x x + Px = m ax 1 + y ( y x y Elo 1x 1y ( x y 1x 1y Py y x 1y y ( x y 1x x y ( x + ( y x y y Px Py x + Τ Py Px = I = I CM As xprssõs acima são agrupadas numa quação matricial linar do tipo AX=B. A matriz A [9x9] é formada plos coficints das incógnitas, a matriz X [9x1] rprsnta as incógnitas a matriz B [9x1] é formada plas componnts x y das forças momntos inrciais, componnts da força d carrgamnto P, as componnts Z dos momntos inrciais o torqu rsistivo T. A igura ilustra os diagramas qu auxiliam na dtrminação das componnts ij, as Equaçõs à foram dduzidas utilizadas para dtrminar os valors corrspondnts. CM α α igura Diagrama dos vtors posição dos los, (EZENDE t al.,010, modif.. igura Diagrama d corpo livr d cada lo (EZENDE t al., x = CM cos( θ + β 1 y = CM + β x = cos(θ CM cos(θ + β 5

4 y = CM + β 6 x = CM cos(θ + β 7 y = CM + β 8 x = cos(θ CM cos(θ + β 9 y = CM + β 0 x = cos(θ CMcos(θ β 1 y = CM β 1x = CMcos(θ β 1y = CM β As componnts x y do vtor posição p da força P são dtrminadas plas Equaçõs 5, 6, 7 8 conform igura. Px = P cos(θ + βp 5 Py = P + βp 6 Px = P cos(β P 7 Py = P sn(β P 8 Aplicação dos métodos Para aplicação dos procdimntos, comparação validação dos cálculos rsultados, foi utilizado o mcanismo d quatro barras d Norton (00, ilustrado na igura 5. Em todas as análiss cinmáticas, as barras foram considradas como corpos rígidos as articulaçõs sm folga sm atrito conform Pivtta t al. (009. Comparados validados os rsultados, foram fitas as simulaçõs com os carrgamntos xtrnos P força no ponto P T. A localização o módulo da força P, stão aprsntados na Tabla conform znd t al. (010.. Tabla - Localização módulo da força P (EZENDE t al., 010 Posição Símbolo Unidad Valor Ponto P P N 100 Ponto P P mm 17,6 Ponto P β P grau 65,9 Ponto P β P grau 15 O torqu T, rsistivo à vlocidad angular ω da barra, rprsnta o atrito causado plas forças rativas normais à junta fixa O foi calculado pla Equação 9 sgundo Stolarski (1990: T = d 9 f Ond f é a força d atrito, calculada pla Equação 50 d é igual ao raio do pino da junta O, qu na simulação foi atribuído o valor d 0,015 m. fw f = 50 igura 5 Mcanismo d quatro barras (NOTON, 00, modif.. Norton (00 considrou apnas os sforços causados plas aclraçõs momntos d inércia. A Tabla 1 mostra os dados gométricos, massas coficints inrciais. A vlocidad angular da barra ω =1,566 rad/s constant. Tabla1- Dados gométricos, massas coficints inrciais (NOTON, 00 Elos 1 [mm] 57, 15, 06, 0,79 cm [mm] ,,9 10,87 Massa [Kg] --- 0,55 1,050 1,050 I cm [Kgm²] --- 0,057 0,011 0,55 β [grau] --- 6,667 15,9 10,01 Sndo f o coficint d atrito igual a 0,1 W é a carga normal à junta O, rsultant das forças 1x 1y. A potência no motor acionador foi calculada d acordo com a Equação 51 d Norton (010. P = Tω 51 Ond T ω são rspctivamnt o torqu a vlocidad angular do lo. sultados A Tabla aprsnta os rsultados das aclraçõs angulars α absolutas dos cntros d massa a cm nas dirçõs x y dos los, conform Norton (00 quando θ val 0, calculados com os programas computacionais Mathcad TKSolvr. A Tabla mostra os rsultados obtidos para o msmo valor do ângulo θ, calculados com o MS Excl. Norton (00 não aprsnta os gráficos das raçõs nas juntas móvis A B do torqu T 1.

5 Nst trabalho, sss gráficos, além o da potência no motor acionador são aprsntados para complmnto mlhor ntndimnto das análiss. Tabla - sultados aprsntados por Norton (00 Elos 1 α[rad/s²] ,7 18 a cmx [m/s²] 0-7, -,6-1,9 a cmy [m/s²] 0-11, -7,9,9 Tabla - sultados obtidos Elos 1 α[rad/s²] ,6 17,95 a cmx [m/s²] 0-7,05,597 1,885 a cmy [m/s²] 0-11,60-7,885,9 igura 7- orças dinâmicas m x y na junta O sm carrgamntos xtrnos (Norton, 00. A comparação ntr os rsultados da anális dinâmica d Norton (00 os calculados quando θ val 0, é aprsntada na Tabla 5. Tabla 5- Comparação ntr os rsultados d Norton (00 os calculados ij Norton (00 [N] Calculados [N] 1x -55,8-57,1 1y -178,1-178,91 x 5 5, y 17, 17 x -15,6-17 y -16,9-16,75 1x 01 0, 1y ,8 T 1 [Nm] -,55 -,5 igura 8- orças nas dirçõs x y nas juntas O O calculadas sm carrgamntos xtrnos. A igura 9 ilustra as raçõs absolutas nas juntas móvis A B com sm os carrgamntos xtrnos P T com θ variando d 0 a 60. As iguras 6 7 ilustram as forças rativas nas dirçõs x y nas juntas fixas O O conform Norton (00, a igura 8 mostra os rsultados obtidos, ambos m uma volta complta do lo. igura 9- açõs dinâmicas absolutas nas juntas A B com sm os carrgamntos xtrnos. igura 6- orças dinâmicas m x y na junta O sm carrgamntos xtrnos (Norton, 00. As forças dinâmicas absolutas nas juntas O O são aprsntadas na igura 10. O torqu a potência ncssários ao motor acionador stão ilustrados nas iguras 11 1 com sm carrgamntos xtrnos. 5

6 iguras 11 1 os msmos aprsntam módulos sntidos variávis. Conclusão igura 10- orças dinâmicas absolutas m O O com sm os carrgamntos P T. As análiss dsnvolvidas nss trabalho dmonstraram qu o método dsnvolvido é bastant confiávl possívl d sr ralizado nas planilhas do MS Excl. oi possívl ntndr avaliar os sforços cíclicos nas juntas no torqu do motor m um ciclo complto do mcanismo ainda prcbr a influência dos carrgamntos xtrnos. Os rsultados obtidos aprsntam pqunas variaçõs m rlação à litratura studada, o qu indica qu torias da cinmática dinâmica d mcanismos foram bm aplicadas. Agradcimntos O autor agradc primiramnt à Dus, à sua família, aos orintadors Osvaldo Prado d znd Carlos Srgio Pivtta plo apoio incntivo prstados à ETEP aculdads. frências igura11- Torqu T 1 com sm os carrgamntos P T. - MABIE, H. H.; OCVIK,. W. Mcanismos Dinâmica das Máquinas.. d. io d Janiro: Ao Livro Técnico S.A., NOTON,. L. Projto d Máquinas. Uma abordagm intgrada.. d. Porto Algr: Ed. Bookman, 00. p NOTON,. L.. Cinmática Dinâmica dos Mcanismos. Porto Algr: AMGH Ed. LTDA, 010. igura 1- Potência ncssária ao motor acionador com sm os carrgamntos P T. Discussão Os rsultados obtidos nas Tablas 5 no gráfico da igura 8, comparados aos rsultados publicados por Norton (00 nas Tablas 5 nos gráficos das iguras 6 7, aprsntam pqunas variaçõs qu podm tr ocorridas m função d arrdondamntos ou pla difrnça dos métodos d rsolução do sistma matricial AX=B. Para o motor acionador do mcanismo srão ncssários controls ltromcânicos d torqu potência, pois, d acordo com os gráficos das - PIVETTA, C. S., EZENDE, O. P., GECHI,., CAMPOS, M. L., BANDÃO, J. G. T. Anális Cinmática d Mcanismos d barras com Abordagm Gométrica Computacional. In: IX Congrsso Nacional d Engnharia Mcânica Industrial (CONEMI. [CD-OM],.1p., Campo Grand, MS, Brasil, EZENDE, O. P.,PIVETTA, C. S., GECHI,., CAMPOS, M. L., BANDÃO, J. G. T. Uma Contribuição à Anális Dinâmica Computacional d Mcanismos d Barras. In: X Congrsso Nacional d Engnharia Mcânica Industrial (CONEMI. [CD-OM],.10p.,Vitória,ES, Brasil, STOLASKI, T. A. Tribology in Machin Dsign. Woburn: Buttrworth-Hinmann,