III Encontro de Educação, Ciência e Tecnologia

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1 Ára d Publicação: Matmática UMA MANEIRA SIMPLES DE DETERMINAR TODOS OS TERNOS PITAGÓRICOS SILVA, Rodrigo M. F. da 1 ; SILVA, Lucas da² ; FILHO, Danil Cordiro d Morais ² 1 UFCG/CCT/UAMAT/Voluntário PET- Matmática UFCG/FNDE -mail:rodriigosilv@gmail.com: 2 UFCG/CCT/UAMAT/Bolsista PET- Matmática UFCG/FNDE -mail: lucastri09@gmail.com 3 UFCG/CCT/UAMAT/ Profssor UAMAT, Tutor PET-Matmática UFCG/FNDE RESUMO Há divrsos problmas na matmática qu instigam a curiosidad humana. Um dls foi a indagação d como s rlacionava os lados d um triângulo rtângulo, sndo a solução xibida através do Torma d Pitágoras. Ainda invstigando os lados dos triângulos rtângulos, os Babilônicos rgistraram na tabla d argila Pimpliton 322, vid [1], os númros intiros qu ram lados do triângulo rtângulo. Nss trabalho, é xibido um método d caractrizar todos os númros intiros qu podm sr lados d um triângulo rtângulo. Tal trabalho foi fundamntado a partir d uma atividad do grupo PET matmática da UFCG, na qual lmos txtos m língua strangira. Nosso txto m dstaqu é o capítulo Th Mthod of Diophantus da rfrência [2]. O método mprgado é o Método d Diofanto qu utiliza a gomtria analítica, vidnciando, assim, a idia gométrica d Diofanto. PALAVRAS-CHAVE: Trnas Pitagóricas. Diofanto. Gomtria 1. INTRODUÇÃO Sgundo [1], Um dos problmas qu stá fortmnt ligado ao Torma d Pitágoras é o d ncontrar intiros positivos qu possam rprsntar os cattos a hipotnusa d um triângulo rtângulo[...], ou sja, intiros positivos a, b om a < b < c qu satisfazm a 2 + b 2 = c 2. Os trnos d intiros positivos qu cumprm ssa condição são chamados trnos Pitagóricos. Sab-s qu os babilônicos conhciam o torma d Pitágoras, mas, srá qu também conhciam os trnos pitagóricos, tndo m vista qu os trnos pitagóricos stão ligados ao torma d Pitágoras? Há forts vidências acrca não só dss conhcimnto, mas também, da dscobrta d trnos pitagóricos plos babilônicos. Est fato, ncontra-s na Plimpton 322, qu é uma tabla d argila m scrita cuniform datada por volta do século XVIII a. C., vja [1]. Diant disso, nst trabalho abordarmos um rsultado qu ficou conhcido como O método d Diofanto, vid [2]. Além d sr lgant, ss método nos fornc uma forma d ncontrar todos os trnos pitagóricos. Além disso, Diofanto faz uma bla abordagm do rsultado por mio da gomtria. 1

2 2. METODOLOGIA Est trabalho provém da atividad Litura d txtos m língua strangira do PET MATEMÁTICA da UFCG o txto m qustão foi o capítulo Th Mthod of Diophantus da rfrência [2]. Além disso, st trabalho foi discutido aprfiçoado m outra atividad do msmo PET, chamado Workshop Didático Pdagógico. 3. RESULTADOS E DISCUSSÃO Iniciarmos os rsultados com a dfinição d trnos smlhants, mostrarmos alguns lmas qu localizarão os trnos pitagóricos m uma circunfrência d raio unitário, por fim, provarmos o Método d Diofanto. Dizmos qu (a, b, c) (d,, f ) são smlhants, s xistm intiros positivos l m tais qu l d = a m, l = m b l f = m c. Por xmplo, os trnos (3, 4, 5) (6, 8, 10) são smlhants. D fato, pois s tomarmos l = 1 m = 2, obtrmos 2 3 = 1 6,2 4 = = Obsrvmos qu s (a, b, c) é um trno pitagórico, ntão sss númros satisfazm a 2 + b 2 = c 2 ( a c )2 + ( b c )2 = 1 (I) Figura 1: Localização dos trnos pitagóricos no círculo unitário cntrado na origm Rlmbramos qu o gráfico da quação x 2 + y 2 = 1 é uma circunfrência d raio 1 cntro na origm. Assim, pla quação (I), um trno pitagórico pod sr idntificado como um ponto no plano cartsiano d coordnadas racionais qu stá no primiro quadrant dsta circunfrência. Obsrvmos, a sguir, algumas propridads dsss pontos qu stão no primiro quadrant, ond stão dmostradas m [2]. 2

3 Lma 1: Sjam (g, h) um ponto sobr o círculo unitário difrnt do ponto ( 1, 0) l a rta qu un sss dois pontos. Então l tm como quação y = t(x + 1), ond t = h g t2 2t, g = h = 1 + t2 1 + t 2. Figura 2: Rta l formada plo ponto ( 1, 0) (g, h). Lma 2: Sja (g, h) um ponto sobr o círculo unitário difrnt do ponto ( 1, 0). S t é a inclinação da rta qu un sss dois pontos, ntão t é um númro racional s, somnt s, (g, h) é um ponto racional. Lma 3: S (a, b, c) é um trno pitagórico, ntão o ponto ( a, b ) é um ponto racional no arco d um círculo d raio unitário do primiro quadrant ond a < b. Mais spcificamnt, ond, 2 1 < t < 1. ( a c, b t2 ) = (1 c 1 + t 2, 2t 1 + t 2) Esss três lmas nos dão toda a bas ncssária para dmonstrar o Método d Diofanto. Sgum abaixo o nunciado, dpois, a dmonstração do rsultado. Torma (Método d Diofanto): Todo trno pitagórico (a, b, c) é smlhant a um trno pitagórico da forma (q 2 p 2, 2pq, q 2 + p 2 ) (II) ond q > p são intiros positivos tais qu 2 1 < p q < 1. 3

4 Dmonstração: Notmos qu, s (a, b, c) é um trno pitagórico, ntão l stá rlacionado com o ponto d coordnadas racionais ( a, b ). Além disso, sndo t a inclinação da rta l dfinida por (-1, 0) ( a, b ), ntão plo Lma 3, sgu qu a c = 1 t2 1 + t 2 b c = 2t 1 + t 2 ond 2 1 < t < 1. Plo lma 2, sgu qu t é um númro racional, digamos, t = p q. Daí, Assim, a = q2 p 2 c q 2 +p 2 b c = 2pq q 2 +p 2. a(q 2 + p 2 ) = c(q 2 p 2 ) b(q 2 + p 2 ) = c(2qp). D (IV), dnotmos l = q 2 + p 2 m = c Dssa forma, a l = m (q 2 p 2 ) = m a a = q 2 p 2 b l = m (2qp) = m b b = 2qp c l = m c c l = c c c = l c = p 2 + q 2. Portanto, o trno (a, b, c) é smlhant ao trno (q 2 p 2, 2qp, q 2 + p 2 ) 2 1 < p q < 1. Mas todos os trnos Pitagóricos podm sr scritos dssa forma? Obsrvmos o trno (9,12,15). Suponhamos qu l possa sr scrito da forma (II). Assim, 4

5 2qp = 12 qp = 6 q = 6 p = 1 ou q = 2 p = 3 Supondo q = 6 p = 1 tmos 0 < 1 < 0,414 < 2 1. Dssa forma, não 6 podmos considrar ss caso. Agora, supondo q = 3 p = 2, obtmos 2 1 < 2 3 < 1. Assim, aplicando q = 3 p = 2 m (II). Sgu ntão qu ( , 2 3 2, ) = (5,12,13) (9,12,15) Porém, (9,12,15) é smlhant a (3,4,5) qu cumpr (II). Portanto, (9,12,15) não é da forma (II). Dond concluímos qu nm todos os trnos pitagóricos são da forma (II). Logo, a rcíproca do Método d Diofanto é falsa. 4. CONSIDERAÇÕES FINAIS Nss trabalho foi xibido uma rlação ntr duas áras da matmática a Toria dos númros a Gomtria. Comprndndo, assim, uma forma d invstigar as propridads inrnts dos númros caractrizá-las. Além disso, foi mostrado como caractrizar a forma d todos os trnos pitagóricos xistnts, através do Método d Diofanto. E também mostramos qu não val a rcíproca utilizando um contra-xmplo. REFERÊNCIAS 1. EVES, Howard. Introdução à História da Matmática; tradução: Hygino H. Domingus. Editora da UNICAMP, Campinas, São Paulo, ROTMAN. Josph J. Journy Into Mathmatics: An Introduction to Proofs. Minola, Nw York. Dovr, AGRADECIMENTOS Agradcmos primiramnt a Dus por nos prmitir fazr tal trabalho, m sguida, ao PET-MATEMÁTICA qu nos forncu o caminho para a psquisa. Nssa prspctiva, agradcmos ao Tutor, Danil Cordiro d Morais Filho, cada um dos intgrants dss PET. Além disso, agradcmos ao FNDE por financiar parcialmnt o PET-MATEMÁTICA. Por fim, agradcmos a cada um dos profssors qu nos influnciam dirta ou indirtamnt na nossa formação acadêmica humana. 5