Um caso particular do problema de Apolonio, os teoremas de Stewart e de Heron e a demonstração nasaulas de matemática

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1 Um caso particular do problma d Apolonio, os tormas d Stwart d Hron a dmonstração nasaulas d matmática Rudimar Luiz Nós Olga Harumi Saito Carlos Albrto Maziozki d Olivira Rsumo Aprsntamos nst trabalho o Torma d Stwart sua dmonstração, mprgando-o para dmonstrar outros tormas solucionar problmas aplicados. Objtivamos dssa manira nfatizar a importância da dmonstração nas aulas d matmática do nsino médio também como a aplicação d um torma rlativamnt simpls pod simplificar a solução d um problma mais laborado. Palavras Chav: Torma d Stwart, Torma d Hron, cvianas, arblos, um caso particular do problma d Apolonio. Abstract. W prsnt Stwart s thorm and its dmonstration and w mploy this thorm to dmonstrat othr thorms, as wll as to solv applid problms. Th objctiv is to mphasiz th importanc of dmonstration in high school math classs vn as th application of a rlativly simpl thorm can simplify th solution of a mor laborat problm. Kywords. Stwart s thorm, Hron s thorm, cvians, arblos, a spcific cas of Appolonius problm. 1 Introdução Os alunos do nsino médio brasiliro gralmnt não conhcm tormas, não sabm dmonstrar têm dificuldads para solucionar problmas aplicados utilizando conhcimntos matmáticos prviamnt assimilados. Para xmplificar, citamos o trabalho d Olivira[10], qu aplicou uma atividad cntrada no Torma d Stwart a alunos do sgundo ano do nsino médio público, constatando qu sss studants, rudimarnos@utfpr.du.br. UTFPR, Curitiba, PR harumi@utfpr.du.br. UTFPR, Curitiba, PR ccoruja@hotmail.com. CPM-PR, Curitiba, PR 48

2 msmo já tndo studado rlaçõs métricas trigonométricas m triângulos quaisqur, não foram capazs d mprgar a Li dos Cossnos [4, 6] para solucionar os problmas propostos. Um dos problmas dssa atividad é o problma das quatro circunfrências tangnts, um caso particular do problma d Apolônio [1, ], nunciado a sguir. Proposição 1 (Caso spcífico do problma d Apolonio [4]). Calcular o raio da circunfrência d cntro E, sabndo-s qu o raio da circunfrência d cntro D md 1cm o raio da circunfrência d cntro C md cm. As três circunfrências são tangnts ntr si tangnts à circunfrência d cntro O, como ilustra a Figura 1. Figura 1: Circunfrências tangnts d cntros C, D, E O. Olivira [10] sprava qu os studants solucionassm o problma das quatro circunfrências tangnts aplicando a Li dos Cossnos, como dscrvmos a sguir. Figura : Mdidas dos raios das quatro circunfrências tangnts. Sjam x a mdida do raio da circunfrência d cntro E ilustrada na Figura, DÔE = α CÔE = β. Vrificamos facilmnt qu o raio da circunfrência d cntro O md 3cm qu OE = OT ET = 3 x = z; DE = 1+x = a; CE = +x = b; OD = = m; OC = 1 = n. 49

3 Aplicando a Li dos Cossnos aos triângulos ODE OCE, ilustrados na Figura, obtmos, rspctivamnt, (1+x) = (3 x) + ()(3 x)cos(α) (1.0.1) (+x) = (3 x) +1 (1)(3 x)cos(β). (1.0.) Como α β são ângulos suplmntars, cos(β) = cos(α). Podmos ntão rscrvr as Equaçõs (1.0.1) (1.0.) como 1+x+x = (3 x) +4 4(3 x)cos(α) (1.0.3) 4+4x+x = (3 x) +1+(3 x)cos(α). (1.0.4) Calculando a difrnça ntr as Equaçõs (1.0.3) (1.0.4), tmos qu: 3 x = 3 6(3 x)cos(α); cos(α) = x+3 3(3 x). (1.0.5) Substituindo a Equação (1.0.5) na Equação (1.0.3), obtmos: 1+x+x = 9 6x+x +4 4(3 x) x+3 3(3 x) ; 8x = 1 4 x+3 ; 3 4x = 36 4x 1; 8x = 4; x = 6 7. Basados nas constataçõs d Olivira [10], rdigimos st artigo. Assim, aprsntamos nas próximas sçõs a dmonstração do Torma d Stwart utilizamos ss torma para dmonstrar o Torma d Hron para solucionar problmas aplicados, como o problma das circunfrências tangnts a inscrição d uma circunfrência m uma arblos. O Torma d Stwart Matthw Stwart ( ), matmático scocês, foi aluno d Colin Maclaurin na Univrsidad d Edimburgo, assumindo a cadira dst m Sua obra mais conhcida é Som gnral thorms of considrabl us in th highr parts of mathmatics [1], cuja contracapa é ilustrada na Figura 3. Nssa obra, Stwart aprsntou na Proposição II a rlação ntr as mdidas dos lados d um triângulo uma cviana qualqur, porém não a dmonstrou. Por tr sido aprsntada por l, a rlação é chamada d Torma d Stwart. Est torma foi dmonstrado m 1751 por Thomas Simpson ( ), m 1780 por Lonard Eulr ( ) m 1803 por Lazar N. M. Carnot ( ). Stwart foi um studioso d gomtria qu priorizava m sus trabalhos a simplicidad das dmonstraçõs gométricas [9]. 50

4 Figura 3: Contracapa do livro d Matthw Stwart [9]. Torma (Torma d Stwart [4, 6, 7, 10, 11, 1]). Dados um triângulo ABC um ponto D do lado AB, val a rlação a n+b m d c = cmn, ond a, b c são as mdidas dos lados, d é a cviana CD m n são os sgmntos dtrminados pla cviana CD no lado AB. Dmonstração. Sjam B um ângulo agudo k a projção da cviana 1 CD sobr o lado AB do triângulo ABC, como ilustrado na Figura 4. No triângulo BCD, valm as rlaçõs a = (m k) +h (.0.6) d = h +k. (.0.7) Figura 4: Triângulo ABC a cviana CD. Comparando as Equaçõs (.0.6) (.0.7), concluímos qu a m +d = mk. (.0.8) 1 Cviana é o sgmnto d rta qu tm por xtrmos um vértic d um triângulo um ponto do lado oposto a ss vértic. 51

5 Procdimnto análogo prmit concluirmos qu no triângulo ACD val a rlação b = n +d +nk. (.0.9) Multiplicando a Equação (.0.8) por n a Equação (.0.9) por m, obtmos a n = m n+d n mnk (.0.10) b m = mn +d m+mnk. (.0.11) Somando as Equaçõs (.0.10) (.0.11), tmos qu a n+b m = mn(m+n)+d (m+n). (.0.1) Como m+n = c, podmos rscrvr a Equação (.0.1) como a n+b m = cmn+d c ou a n+b m d c = cmn. A dmonstração quando o ângulo B é rto ou obutso é análoga a sta. 3 O Torma d Hron Torma 3 (Torma d Hron [3, 4, 6, 7, 10, 11]). A ára S d um triângulo ABC qualqur é dada por S ABC = p(p a)(p b)(p c), sndo p = a+b+c o smiprímtro do triângulo a, b c as mdidas dos lados. Figura 5: Triângulo ABC a altura h c. Dmonstração. Sja o triângulo ABC d bas c altura h c, ilustrado na Figura 5. Aplicando o Torma d Pitágoras aos triângulos BHC AHC, obtmos, rspctivamnt, a = x +h c (3.0.13) b = y +h c. (3.0.14) 5

6 Calculando a difrnça ntr as Equaçõs (3.0.13) (3.0.14), tmos qu Como x+y = c, ntão a b = x y = (x+y)(x y). (3.0.15) y = c x. (3.0.16) Substituindo a Equação (3.0.16) na Equação (3.0.15), obtmos x = a b +c. (3.0.17) c Substituindo a Equação (3.0.17) na Equação (3.0.16), tmos qu y = a +b +c. (3.0.18) c Aplicando o Torma d Stwart ao triângulo ABC, obtmos a y +b x h cc = cxy. (3.0.19) Substituindo as Equaçõs (3.0.17) (3.0.18) na Equação (3.0.19), tmos qu: a a +b +c +b a b +c h c c cc = c a b +c a +b +c ; c c a 4 +4a b +a c b 4 +b c 4h cc = a 4 b 4 +c 4 +a b ; 4h cc = a 4 b 4 c 4 +a b +a c +b c. (3.0.0) Somando subtraindo a c ao lado dirito da Equação (3.0.0), obtmos: 4h cc = 4a c ( a 4 +b 4 +c 4 a b +a c b c ) ; 4h cc = 4a c [( a 4 +a c +c 4) b ( a +c ) +b 4] ; 4h cc = 4a c [ (a +c ) ( a +c ) b +b 4] ; 4h cc = 4a c ( a +c b ) ; 4h cc = [ ac+ ( a +c b )][ ac ( a +c b )] ; 4h cc = [( a +ac+c ) b ][ ( a ac+c ) +b ] ; [ 4h cc = (a+c) b ][ b (a c) ] ; 4h cc = (a+c+b)(a+c b)(b+a c)(b a+c). (3.0.1) O prímtro do triângulo ABC é dado por p = a+b+c. Logo: a+c b = a+b+c b = p b = (p b); (3.0.) b+a c = a+b+c c = p c = (p c); (3.0.3) b a+c = a+b+c a = p a = (p a). (3.0.4) Substituindo as igualdads (3.0.), (3.0.3) (3.0.4) na Equação (3.0.1), tmos qu: 4h cc = p(p b)(p c)(p a); h c = 4 c p(p a)(p b)(p c); h c = p(p a)(p b)(p c). (3.0.5) c 53

7 Como a ára S do triângulo ABC pod sr calculada plo smiproduto d um lado pla altura rlativa a ss lado, tmos qu Substituindo a Equação (3.0.5) m (3.0.6), obtmos: S ABC = 1 h cc. (3.0.6) S ABC = 1 c c p(p a)(p b)(p c); S ABC = p(p a)(p b)(p c). 4 Aplicaçõs 4.1 O problma das circunfrências tangnts Aplicando o Torma d Stwart ao triângulo CDE com cviana EO, ilustrados na Figura, obtmos: a n+b m z c = cmn; (1+x) (1)+(+x) () (3 x) (3) = 3()(1); 1+x+x +8+8x+x 7+18x 3x = 6; 8x = 4; x = 6 7. É possívl constatarmos aqui como a aplicação do Torma d Stwart simplifica a solução do problma. 4. Dmonstração d outros tormas Emprgamos agora o Torma d Stwart para dmonstrar os Tormas 4 5, propostos m [11]. Torma 4 (Diagonais do parallogramo). A soma dos quadrados das mdidas dos lados d um parallogramo é igual à soma dos quadrados das mdidas das diagonais. Figura 6: Parallogramo MNOP as diagonais MO NP. 54

8 Dmonstração. Sjam o parallogramo M N OP, ilustrado na Figura 6, d lados MP = NO = a MN = OP = b, MO = d 1 NP = d as diagonais do parallogramo MNOP MC = CO = d 1 NC = CP = d. Aplicando o Torma d Stwart aos triângulos MOP MNP, obtmos, rspctivamnt, a d 1 +bd 1 a ( ) d d 1 d 1 = d 1 + b d 4 = d 1 4 d 1, (4..1) a d +bd a ( ) d1 d d = d Somando as Equaçõs (4..1) (4..), tmos qu: a d, + b d 1 4 = d 4. (4..) +b d 1 4 d 4 = d d 4 ; ( a +b ) = d 1 +d. Torma 5 (Quadriscção da hipotnusa). Em um triângulo rtângulo, a soma dos quadrados das mdidas das distâncias do vértic do ângulo rto aos pontos d quadriscção da hipotnusa é igual a 7 8 do quadrado da mdida da hipotnusa. Figura 7: Triângulo ABC as cvianas AT 1, AT AT 3. Dmonstração. SjamotriânguloABC, rtângulomadladosbc = a, AC = b AB = c, ilustrado na Figura 7; T 1, T T 3 os pontos qu dividm a hipotnusa BC m quatro parts iguais, ou sja, BT 1 = T 1 T = T T 3 = T 3 C = a 4 ; AT 1 = d 1, AT = d AT 3 = d 3 as distâncias do vértic A aos pontos d quadriscção da hipotnusa. Aplicando o Torma d Stwart ao triângulo ABC para as cvianas 55

9 AT 1, AT AT 3, obtmos, rspctivamnt, c 3a 4 +ba 4 d 1 a = a a 3a 4 4, 3c 4 + b 4 d 1 = 3a 16 ; (4..3) c a +ba d a = a a a, c + b d = a (4..4) 4 c a 4 +b3a 4 d 3 a = a 3a a 4 4, c 4 + 3b 4 d 3 = 3a 16. (4..5) Somando as Equaçõs (4..3), (4..4) (4..5), tmos qu: d 1 +d +d 3 = 3 ( b +c ) 5 8 a. (4..6) Aplicando o Torma d Pitágoras ao triângulo ABC, obtmos b +c = a. (4..7) Substituindo a Equação (4..7) m (4..6), concluímos qu d 1 +d +d 3 = 7 8 a. (4..8) Dmonstraçõs d outros rsultados gométricos mprgando o Torma d Stwart podm sr ncontradas m Nós, Saito Olivira [8] Posamntir Salkind [11]. 4.3 Arblos Arblos, do grgo faca d sapatiro, é uma rgião plana dlimitada por três smicircunfrências d raios r 1, r r 1 +r, rspctivamnt, como ilustra a Figura 8 [8]. Acrdita-s qu Arquimds tnha sido o primiro a studar as propridads matmáticas da arblos na obra Book of Lmmas. Uma dssas propridads é a quivalência (msma ára) da arblos do círculo tracjado d diâmtro AB na Figura 8. Figura 8: Arblos d raios r 1, r r 1 +r. 56

10 Proposição 6. Rlacionar os raios r 1, r r 1 +r d uma arblos com o raio r da circunfrência inscrita. Sja o triângulo ABC cujos vértics são os cntros das smicircunfrências d raios r 1 r da circunfrência inscrita, d raio r, como na Figura 9. Vrificamos facilmnt qu o triângulo ABC tm lados d mdidas r+r 1, r+r r 1 +r. Sndo D o cntro da smicircunfrência d raio r 1 +r, tmos qu BD = r, DC = r 1 AD = r 1 +r r. Aplicando o Torma d Stwart no triângulo ABC considrando a cviana AD, chgamos a (r +r 1 ) (r 1 )+(r +r ) (r ) (r 1 +r r) (r 1 +r ) = r 1 r (r 1 +r ). (4.3.1) Figura 9: Circunfrência d raio r inscrita m uma arblos d raios r 1, r r 1 +r. Dsnvolvndo algbricamnt a igualdad (4.3.1), obtmos: 4rr 1 r +4rr 1 +4rr 3r 1r 3r 1 r = r 1 r (r 1 +r ); 4r ( r 1 r +r 1 +r ) 3r1 r (r 1 +r ) = r 1 r (r 1 +r ); 4r ( r 1 r +r 1 +r ) = 4r1 r (r 1 +r ); r = r 1r (r 1 +r ) r 1 +r +r 1r. (4.3.) Proposição 7. Rlacionar a distância h do cntro da circunfrência inscrita ao diâmtro da circunfrência d raio r 1 +r com o raio r da circunfrência inscrita na arblos. A ára S do triângulo ABC é dada por S = 1 h(r 1 +r ). (4.3.3) Aplicando o Torma d Hron a ss triângulo, tmos qu S = (r +r 1 +r )rr 1 r. (4.3.4) 57

11 Substituindo a Equação (4.3.) m (4.3.4), obtmos: ( ) r1 r (r 1 +r ) r1 r (r 1 +r ) S = r1 +r +r +r 1 +r 1r r1 +r +r r 1 r ; 1r (r 1 +r ) ( r1 +r 1r +r S = S = ) r 1 +r +r 1r r 1 r (r 1 +r ) r 1 +r +r 1r r 1 r ; (r 1 +r )(r 1 +r ) r 1 +r +r 1r r 1 r (r 1 +r ) r 1 +r +r 1r r 1 r ; S = (r 1 +r ) r 1 r r 1 +r +r 1r. (4.3.5) Igualando as Equaçõs (4.3.3) (4.3.5) mprgando a Equação (4.3.), concluimos qu: 5 Conclusão h = (r 1 +r )r 1 r r 1 +r +r 1r ; h = r. A solução do problma das quatro circunfrências tangnts, assim como a rlação ntr os raios das smicircunfrências qu dfinm uma arblos com o raio da circunfrência inscrita, foi simplificada com o uso do Torma d Stwart, o qual também prmitiu dmonstrar outros tormas, como o Torma d Hron. Rssaltamos nst artigo a dmonstração d tormas [5] com o intuito d incntivar os profssors d matmática do nsino médio a incorporar ftivamnt a dmonstração no procsso nsino-aprndizagm também a usar os tormas dmonstrados na solução d problmas aplicados. Rfrências [1] BOYER, C. B. História da matmática. Edgard Blüchr: São Paulo, [] COURANT, R.; ROBBINS, H. What is mathmatics?.d d., NwYork: OxfordUnivrsity Prss,1996. [3] DALCIN, M. A dmonstração fita por Hron. Rvista do Profssor d Matmática, n. 36, SBM, São Paulo, 009. [4] DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamntos d matmática lmntar - gomtria plana. v. 9, 6. d., São Paulo: Atual, 005. [5] FOSSA, J. A. Introdução às técnicas d dmonstração na matmática.. d., São Paulo: Livraria da Física, 009. [6] MORGADO, A. C.; WAGNER, E.; JORGE, M. Gomtria II. 4. d., São Paulo: VstSllr, 009. [7] NÓS, R. L.; SAITO, O. H.; OLIVEIRA, C. A. M. Os tormas d Stwart d Hron a dmonstração nas aulas d matmática. In: Procding Sris of th Brazilian Socity of Applid and Computational Mathmatics, v. 3, n. 1, SBMAC,

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